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山西太原市第五中学校2025-2026 学年高一下学期期中质量评估
数学试题
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
，
，则
C．零向量没有方向
D．若
，则
4．若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2 倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
6．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中
有两个点
，
，
为坐标原点，定义余弦相似度为
，余弦距离为
.已知
，
，若A，B 的余弦距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
（
）在
上恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在菱形
中，
为边
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．13
二、多选题
9．已知复数
，
，则（ ）
A．
是纯虚数
B．
在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径
相等，下列结论正确的是
（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为
11．
满足
，且
，则（ ）
A．
三个内角
满足关系
B．
的周长为
C．若
的角平分线与
交于
，则
的长为
D．设
为
外接圆上任意一点，则
的最大值为
三、填空题
12．已知
是奇函数，则实数a 的值是________．
13．已知
，且与的夹角为锐角，则实数
的取值范围是__________.
14．如图，在
中，
，
，
，
是
的中点，
是以
为圆心，
为半
径的圆上任意一点，则
的取值范围为______．
四、解答题
15．如图所示，平行四边形
中已知
，
点在边
上运动，
(1)求
点坐标；
(2)判断是否存在点D，使得
，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由．
16．已知函数
．
(1)
的最小正周期；
(2)求
的单调区间；
(3)求不等式
在
上的解集．
17．在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台
建筑，已知正
四棱台的上、下底面的边长分别为
和
，高
．
(1)求正四棱台
的表面积和体积；
(2)在计划中需要用某种彩带从
到
沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
18．在
中，角
，
，
的对边分别是，，，
．
(1)求
；
(2)若
是边
的中点，且
，求
面积的最大值．
19．如图，长方体
的长、宽、高分别为x，y，2，且
，
．
(1)当底面
为正方形时，求长方体
的表面积和体积；
(2)求三棱锥
体积的最大值；
(3)记三棱锥
外接球的表面积为
，底面ABCD 的面积为
，求
的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：D．
2．C
【详解】因为
，所以
，所以
．
3．D
【详解】A 选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A 错误；
B 选项：若
，则
且
时，与不一定平行，B 错误；
C 选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C 错误；
D 选项：若
，则两向量模长相等且方向相同，因此
，D 正确．
4．A
【详解】设圆柱母线长为，
,则表面积
，
体积
，所以
．
故选：A
5．A
【详解】由余弦定理，有
，
由正弦定理可得
，
因为
，所以
，即
，解得
.
故选：A.
6．C
【详解】由题设
，
所以
，
由
，
所以
.
7．D
【详解】因为
，所以
．
因为
在
上恰有3 个零点，所以
，解得
．
8．A
【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系．
则
，
，
当且仅当
时取等号．
故选：A
9．AC
【详解】因为
是纯虚数，所以A 正确；
因为
，所以
在复平面内对应的点位于第三象限，故B 不正确；
因为
的共轭复数为
，所以C 正确；
因为
，所以D 不正确．
故选：AC
10．CD
【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为
，A 错误；
圆锥的母线长
，则侧面积为
，B 错误；
球的表面积为
，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C 正确；
圆柱的表面积为
，圆锥的表面积为
，
所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为
，D 正确．
故选：CD
11．ABD
【详解】因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
对于A：由余弦定理知，
，因为
，所以
，
所以
，即
，故A 正确；
对于B：因为
，
所以
的周长为
，故B 正确；
对于C：若
的角平分线与
交于
，则
，
因为
，
所以
，
即
，解得
，故C 错误；
对于D：因为
，
设
外接圆的圆心为
，半径为
，
由正弦定理知，
，所以
，
过点
作
的垂线，垂足为
，则
，
当
，且点
在
的延长线上时，
取得最大值，如图所示，
此时
，
所以
的最大值为
，故D 正确.
12．2
【详解】因为
为奇函数，所以
，即
，
化简得
，解得
或
．检验知
满足题意，故
．
故答案为：2.
13．
且
【详解】由题设
，又与的夹角为锐角，
所以
，则
，
所以
，可得
且
.
14．
【详解】因
，
，
，则有
，
又因
是
的中点，
是以
为圆心，
为半径的圆上任意一点，
则得
，
因
，
，
则
，
由图知，当
与
同方向时，
取得最大值1，
当
与
反方向时，
取得最小值
，
故
.
故答案为：
．
15．(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意，得
，
因为四边形
是平行四边形，
所以
，故
；
（2）由题意，
，
，
若
，则
，
化简得：
，解得
，
故存在点
，使得
，且
.
16．(1)
(2)单调递增区间为
；单调递减区间为
(3)
【详解】（1）
.
所以，
的最小正周期
.
（2）由
可得，
，
所以，
的单调递增区间为
；
由
可得，
，
所以，
的单调递减区间为
.
（3）由
可得
，
整理可得
.
因为
，所以
.
根据正弦函数的图象可知，
要使
，应满足
，
解得
.
所以，不等式
在
上的解集为
.
17．(1)表面积
，体积
(2)
【详解】（1）由题可知正四棱台
的体积
，
记
分别为棱台上、下底面的中心，分别取
中点
，连接
，
，在梯形
中，过
作
于
，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且
，所以
，
所以
，
所以正四棱台
的表面积
．
（2）把该四棱台沿侧棱
展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如
图所示的
路径．在等腰梯形
中，设
，易知
．
在
中，
，
又
，
由余弦定理得
，
所以彩带最少需要
．
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
， 即
．
由余弦定理可得
，则
，所以
．
因为
，所以
．
（2）因为D 是边
的中点，所以
，
所以
，即
．
因为
，所以
，即
， 当且仅当
时，等号成立，
则
的面积
，
即当
时，
的面积取得最大值
．
19．(1)表面积为10，体积为2
(2)
(3)
【详解】（1）因为底面
为正方形，所以
，
则长方体
的表面积为
，
体积为
.
（2）由图和已知，
，
当且仅当
时，等号成立，故三棱锥
体积的最大值为
.
（3）由题可知，三棱锥
的外接球即长方体
的外接球，
设该外接球的半径为
则
，
所以
，
则
，
令
，则
，
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的取值范围为
.
