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山西大学附属中学校2025-2026 学年高一年级第二学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
，则
C．若
，且
，则
D．若
，则与不共线
3．在
中，
则
A．
B．
C．
或
D．
或
4．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
5．在
中，
，
，
，则“
恰有一解”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知为虚数单位，如果复数满足
，那么
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
7．记
的面积为S，
的外接圆半径为1，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
中，
是边AB 上一定点，满足
，且对于边AB 上任一点P，恒有
，
则
为（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
二、多选题
9．已知复数
，
，则（ ）
A．
是纯虚数
B．
在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．
10．已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
且
，则
C．
的最大值为2
D．若在上的投影向量为
，则向量与的夹角为
11．已知锐角
三个内角
，
，
的对应边分别为，，，且
，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
外接圆半径的范围为
C．
的面积最小值为
D．
的周长范围为
三、填空题
12．若△ABC 中，
，那么cosC=__________．
13．已知
，且与的夹角为锐角，则实数
的取值范围是__________.
14．如图，在平面四边形
中，
，
.若
，则四边形
的面积为______；若
的大小可变化，则
的最大值为______.
四、解答题
15．已知向量
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)求
．
16．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，
为
的中点，
点
满足
，
.
(1)用
与
表示
；
(2)求
的取值范围；
17．已知
中，角
，
，
所对的边分别为，，，且
．
(1)求
的值；
(2)点
是
边上一点，且
，若
，求
面积的最大值．
18．在△ABC 中，P 在线段BC 上，满足
，O 是线段AP 的中点.
(1)过点O 的直线与边AB，AC 分别交于点E，F（如图1），设
，
.
（ⅰ）求证：
为定值；
（ⅱ）设△AEF 的面积为
，△ABC 的面积为
，求
的最小值.
(2)延长CO 交AB 于点Q（如图2），若
，求
的值.
19．定义：设
为坐标原点，若非零向量
，函数
的解析式满足
，则称
为
的伴随函数，
为
的伴随向量．
(1)若向量
为函数
的伴随向量，求
的坐标；
(2)若函数
为向量
的伴随函数，在
中，内角
的对边分别为
，
恰好为函数
的最大值．
（ⅰ）若
，
的角平分线交
于点
，
，求
的最大值；
（ⅱ）若
，在锐角
中，求
的范围．
参考答案
1．A
【详解】
.
2．A
【详解】由向量相等的定义知选项A 正确；
向量是有方向的量，不能比较大小，选项B 错误；
当
时，与不一定平行，选项C 不正确；
可以是
但与的模不相等，选项D 不正确.
故选：A.
3．B
【详解】由正弦定理可知
，
，故选B.
4．A
【详解】由余弦定理，有
，
由正弦定理可得
，
因为
，所以
，即
，解得
.
故选：A.
5．B
【详解】由
，得
，
方程
的判别式
，
①
，解得
．
当
时，
转化为
，解得
符合题意；
当
时
转化为
，解得
不符合题意；
②
，且两根之积
，
可得有一正根和一负根，负根舍去，此时
有一解，此时
；
③
，且两根之积
，解得
，
当
时，
，解得
符合题意；
当
时
，解得
不符合题意；
故若
有一解，则
或
，
故“
恰有一解”，是“
”的必要不充分条件
故选：B．
6．A
【详解】设
在复平面内对应的点分别为
，
因
， 且
，则复数对应的点
的轨迹为线段
，如图所示.
故
的最小值问题可理解为：动点
在线段
上移动，求
的最小值，
故只需作
，交线段
于点
，则
即为所求的最小值1，故
的最小值是1.
故选：A.
7．A
【详解】由正弦定理
（R 为
的外接圆半径），且
的外接圆半径为1，
得
，
代入
得
.
由余弦定理得
，
又
，所以
，化简得
，
因为
，所以
.
8．B
【详解】取
的中点
，
的中点
，连接
（如图所示），则
，
同理
，
因为
，所以
，
即
，所以对于边
上任意一点
都有
，
因此
，
又
，
为
中点，
为
中点，
所以
，所以
，
即
，所以
，即△
为钝角三角形，
故选：B.
9．AC
【详解】因为
是纯虚数，所以A 正确；
因为
，所以
在复平面内对应的点位于第三象限，故B 不正确；
因为
的共轭复数为
，所以C 正确；
因为
，所以D 不正确．
故选：AC
10．ABD
【详解】已知
，
，
，
.
选项A：若
，则
，得
，A 正确.
选项B：若
，则
，得
，又
，所以
，B 正确.
选项C：
，最大值为，C 错误.
选项D：在上的投影向量为
，得
，
，
，D 正确.
11．ABD
【详解】对A：因为△
为锐角三角形，故可得：
，也即
，解得
，故A 正确；
对B：设
外接圆半径为
，由正弦定理可得：
，也即
，
由A 可知：
，故
，故
，故B 正确；
对C：由正弦定理
，也即
可得：
，
故△
的面积
，
由A 可知：
，故
，故
，故
，没有最小值，故
C 错误；
对D：由C 可知：
，
，
设△
的周长为，则
也即
，由A 可知：
，故
，则
，
则
，故
，故D 正确；
故选：ABD.
12．-0.25.
【详解】试题分析：由正弦定理得
，
所以
.
故答案为-0.25.
13．
且
【详解】由题设
，又与的夹角为锐角，
所以
，则
，
所以
，可得
且
.
14．
【详解】在
中，
，
，
，
所以
，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以四边形
的面积为
；
设
，在
中，
由余弦定理得
，
因为
，所以
，
由正弦定理得
，
所以
，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，所以当
即
时，
取最大值为1，此时
，
综上所述，
的最大值为5.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，
,
所以
（2）因为
，
,
所以
，
所以
,
（3）
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）在直角梯形
中，
，
，
为
的中点，
所以
.
（2）由
，得
，由
，得
，
因此
，而
，
所以
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由
结合正弦定理得：
，即
，
由余弦定理：
，
因为
，所以
；
（2）
，
，
即
，
两边同时平方：
，
≥
，
，当且仅当
即
时，取等号．
，
即的最大值为
．
18．(1)（i）证明见解析（ii）
(2)
【详解】（1）（i）证明：根据题意，
，同理可得
，
因为
，所以
，
因为
是线段
的中点，所以
，
所以
，
由于
三点共线，所以
，
即
为一定值，且定值为.
（ii）
，
，
所以
，由（i）可知
，即
，
，
所以当
时，
有最小值，此时
.
（2）设
，由（1）可知
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，即
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，即
.
19．(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）
【详解】（1）由已知
，所以
；
（2）（i）根据题意，由
知，
，
利用辅助角公式得
，其中
，
不妨令
为锐角，当
时，
取到最大值
，即
，
则
，同理
由二倍角公式得：
，
如图，由三角形面积可得：
，
所以
，
由余弦定理得
，
因为
，所以
，
则
，当且仅当
时取等号.
（ii）由
，结合（i），
，
利用正弦定理边化角可得
，其中
，
，
所以
，
，
且
，则
，
所以
，
由于三角形是锐角三角形，则
，得
，故
，
所以
，易知
.
