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机密*启用前
2026 年5 月山东师大附中高一期中检测试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1．已知向量
，
，若
，则实数
的值为
A．-2
B．-2 或1
C．2 或-1
D．1
2．如图所示，
是一个平面图形的直观图，斜边
，则原平面图形的面积是
A．
B．
C．1
D．
3．已知
，
表示两个不同的平面，
，
，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是
A．若
，
，则
B．若
，
，
，
，则
C．若
，
，
，
，则
D．若
，
，则
4．已知平面向量
，
满足
，且
，
，则向量
与
的夹角为
A．
B．
C．
D．
5．在
中，已知
，
，
，则满足条件的三角形个数为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无法确定
6．如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，过
，
，
三点的截面把
正方体
分成两部分，则该截面的周长为
A．
B．
C．
D．
7．革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准
备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为
点，
纪念碑的最底端记为
点（
在
的正下方），在广场内（与
在同一水平面内）选取
，
两点，测
得
的长为15 米，在
，
两点处测得纪念碑最顶端
处的仰角分别为
和
，
，
则纪念碑的高度为
A．17 米
B．16 米
C．15 米
D．14 米
8．如图，圆
为
的外接圆，
，
，
为边
的中点，则
A．7
B．
C．8
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每个小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．
是边长为3 的等边三角形，
，则下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量是
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥
中，
为底面正方形的中心，
，
分别为侧棱
，
的中点，则下列结论中正确的是
A．
平面
B．
C．直线
与直线
所成角的大小为
D．设平面
底面
，则二面角
的余弦值为
11．已知在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，则下列说法正确的是
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
C．若
，则
是等腰直角三角形
D．若
，且
，则
为等边三角形
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，则
________．
13．在
中，点
满足
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
，
设
，
，则
______________．
14．如图，在一个二面角的棱上有两个点
，
，线段
，
分别在这个二面角的两个面内，并且都
垂直于棱
，
，
，
，
，则这个二面角的大小为
__________．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13 分）
如图，在平面四边形
中，
，
，
的面积为
．
（1）求
的长；
（2）若
，
，求
的长．
16．（本题满分15 分）
如图所示，在四边形
中，
，
，
，
，
为
的中点，
连接
．
（1）将四边形
绕着线段
所在直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将
绕着线段
所在直线旋转一周形成几何体
，若球
是几何体
的内切球，求球
的
表面积．
17．（本题满分15 分）
如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
为等边三角
形，平面
平面
，
．
（1）设
，
分别为
，
的中点，求证：
平面
；
（2）求证：
平面
；
（3）求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．（本题满分17 分）
已知
，
，
分别为
三个内角
，
，
的对边，且
．
（1）求
；
（2）若
，
的面积为
，求
的周长；
（3）若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围．
19．（本题满分17 分）
如图，等腰梯形
中，
，
于点
，
且
．沿
把
折起到
的位置，使
．
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）线段
上是否存在点
，使得
平面
．若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，
请说明理由．
2026 年5 月山东师大附中高一期中检测试题答案
数 学
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
C
A
C
D
二、选择题
题
号
9
10
11
答
案
BD
ABD
ACD
三、填空题
12．
13．3 14．
四、解答题
15．解：（1）因为
，
，
的面积为
，
所以
，所以
．
在
中，由余弦定理得
，所以
．
（2）由（1）知在
中，
，
，
，所以
．
因为
，所以
，又因为
，
，所以在
中，由正弦定理得
，即
，所以
．
16．（1）因为
，
，所以四边形
是直角梯形，
，
，将四边形
绕线段
所在的直线旋转一
周，所得几何体如图所示，几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱．故几何体表面积为
，
体积为
．
（2）易知几何体
是圆锥，且圆锥
底面半径为2，母线长为4，则圆锥的轴截面为边长是4 的正三角
形．
设圆锥
的内切球
的半径为
，则
，解得
，
所以内切球
的表面积为
．
17．证明：（1）如图，连接
，因底面
为平行四边形，则
，
，因
，则
，因
平面
，
平面
，故
平面
．
（2）取
中点
，连接
，因
为等边三角形，则
，又平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，则
平面
，又
平面
，故
，因
，
，
，
平面
，故
平面
．
（3）由（2）已得
平面
，连接
，则
即直线
与平面
所成角，
因
为等边三角形，
，则
，又
，在
中，
．即直线
与平面
所成角的正弦值为
．
18 ．解：（1 ）在
中，因为
，结合正弦定理边化角可得：
，所以
，因为
，
所以
，则
．
（2）因为
的面积为
，所以
，可得
，又由余弦定理
可得
解得
，所以
周长
为
．
（3）由正弦定理可得
，则
，
，
由
，
因为
为锐角三角形，则
，
，所以
，
即
，则
，故
，
所以
周长的取值范围为
．
19．（1）证明：
，
．
∵在等腰梯形中，
，
∴在四棱锥中，
．
又
，
，
平面
，
平面
．
又
平面
，
．
∵在等腰梯形
中，
，
，且
，
，
，
，
由勾股定理得
，故
，
，
∴由勾股定理逆定理得
．
，
，
平面
，
平面
．
（2）
，
平面
，
．
（3）线段
上存在一点
，使得
平面
，
为
的中点，证明如下：
证明：取
的中点
，
的中点
，连结
，
，
．
，
分别为
，
的中点，
且
．
且
，
且
，
且
，
∴四边形
为平行四边形，
．
又
平面
，
平面
，
平面
．
