山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年05月试卷_0517山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试

2025 年 4 月山东师大附中高二阶段性检测试题 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的. 1.在 的展开式中 项的系数是( ) A． B．192 C．32 D． 2.曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 ( ) A．2 B． C． D．1 3.安排6名志愿者完成 三项工作，其中 项工作需3人， 项工作需2人， 项 工作只需1人，则不同的安排方式共有( ) A．60种 B．20种 C．360种 D．45种 4.已知函数 与 的图象如图所示，则函数 （其中 为自然对数的底 数）的单调递减区间为( ) A． B． C. D． 5.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么 正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件 表示“3次 结果中有正面向上，也有反面向上”，事件 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事 件 表示“3次结果中没有正面向上”，则( )A．事件 与事件 互斥 B． C．记 的对立事件为 ，则 D．事件 与事件 相互独立 f(x)lnxax22x a 6.已知函数 有两个不同的极值点 ，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 7.若数列 的通项公式为 ，记在数列 的前 项中任取两数都 是正数的概率为 ，则( ) A. B. C. D. 8.设 为坐标原点，若曲线 和曲线 上分别存在 两点，使得 ，则 的取值范围为( ) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9.五一假期即将来临，甲、乙、丙、丁、戊五名同学决定到济南的著名景点“大明湖”、 “趵突泉”、“千佛山”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有( ) A．所有可能的方法有 种 B．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 C．若每个景点必须有同学去，且甲和乙不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 D．甲同学去大明湖的概率为 10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三 角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3 D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为 ，则 11.对于函数 ，下列判断正确的是( ) A. B. C. 当 时， 恒成立，则 D. 若函数 有两个极值点，则实数 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 (1x )n 12. (2+3x−x2 ) n 展开式中各项系数的和为 64，则 x2 展开式中的常数项为 ___________________. 13.某病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是 A传B，B传C，这就是“持续人传 人”，而A，B被称为第一代、第二代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代 传播者感染的概率分别为0.9，0.8，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴 会的人有7名第一代传播者，3名第二代传播者．若小明参加宴会，仅和感染的10人中的 一人接触，则感染的概率为________． 14．已知函数 ，设 ，若 只有一个零点，则实数a的取值 范围是 ；若不等式 的解集中有且只有四个整数，则实数a的取值范围 是 ． 四．解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知 的展开式中的第2项第3项和第4项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值. （2）记 ，求 被4除的余数. 16．某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总产量的百分 比及所生产产品的不合格率如下表所示： 乙车 车间 甲车间 丙车间 间 产量占比 25% 35% 40% 不合格率 0.05 0.04 0.02 设事件A“从该厂产品中任取一件，恰好取到不合格品” （1）求事件A的概率； （2）有一用户买了该厂一件产品，经检验是不合格品，但该产品是哪个车间生产的标志已 经脱落，判断该产品来自哪个车间的可能性最大，并说明理由． f(x)a2axex 17.已知函数 . f(x) （1）讨论 的单调性. f(x) f(x) 4a2 a a （2）若函数 有最小值，且 的最小值大于 ，求实数 的取值范围. 18．已知A，B两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.A袋中红球和 7 白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为 ；从B袋中摸出一 12 p 个红球的概率是 .在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子 1 摸一次球并放回，则该轮结束.已知在每轮中甲选A，B两袋的概率均为 .如果甲选A袋， 2 4 3 则乙选B袋的概率为 ；如果甲选B袋，则乙选B袋的概率为 . 5 5 2 （1）若p ，求在一轮中乙从B袋中摸出红球的概率. 3 （2）求在一轮中乙摸出红球的概率. p （3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为， 越大，3轮摸球后他摸出2个红球 的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由. f(x)ln(xm) 19.已知函数 . m1 f(x)ex （1）证明：当 时， .1 g(x) f '(x) af(x) f '(x) m0 （2）设 ，令 . g(x) （i）讨论 的单调性. g(x )g(x ) 1 2 2a g(x) x，x (x  x ) x x （ii）若 存在两个极值点 1 2 1 2 ，证明： 2 1 .2025年4月山东师大附中高二阶段性检验试题 数学参考答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C A D D B C A BCD ABD BCD 三、填空题 1 ln6 ln5 {a|a=0或a> } [ , ) 12.4 13.0.87 14. e 6 5 四、解答题 15．（1） 的展开式的第 项、第 项和第 项的二项式系数依次为 、 和 ， 由题意有 ，即 ，整理得 ， 因为 ，解得 . （2）因为 ， 所以 所以 能被整除 因此 被 除的余数为 . 16．（1）设事件 “任取一件产品，生产于甲车间”， “任取一件产品，生产于乙车间”， “任取一件产品，生产于丙车间”， 那么， ． （3）该产品来自乙车间的可能性最大．理由如下：由（1）得 产品来自甲车间的概率为 ． 产品来自乙车间的概率为 产品来自丙车间的概率为 所以该产品来自乙车间的概率最大． 17. （1） 的定义域为 ， 当 时， ，则 在 上单调递增； 当 时，由 得 ，由 得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 综上所述：当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）由（1）知 当 时， 在 上单调递增，无最小值； 当 时， 有最小值 ， 依题意， ，即 ， 因为 ，所以 ， 设 ，（ ），则 ， 因 ，则 在 上单调递增， 又 ，故由 可得 ， 即 ，解得 ，故实数a的取值范围是 . 18. （1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”. 由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为 ， 所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为 . （2）设A袋中白球的个数为 ， 由已知可得 ，可得 ， 因为 且 ，因此 ， 所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3. 所以，从A袋中摸出红球的概率是 . 在一轮中，乙摸出红球的概率为 . （3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为 ， 设 ，则 ， 令 ，解得 . 则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减. 所以当 时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点. 19. （1） 在定义域内是增函数 ∴当 时，要证 ，只需证 设 （ ） ∴ ∵ 在 上单调递增且 ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增 ∴ 故 时， . （2）（ⅰ） 当 时， .定义域为 ∴ ①当 时， 在 上恒成立（当且仅当 ， 时取等号） ∴ 恒成立，故 在 上单调递减. ②当 时，令 ，则 有两不等正实根 当 时， 当 时， ∴ 在 和 上单调递减，在 上 单调递增. （ⅱ）若 存在两个极值点，由（ⅰ）知 .∵ 的两个极值点 、 为方程 的两根. ∴ ， ，∴ ， 要证 等价于证明 . 设 （ ） ∴ ∴ 在 上单调递增 ∴ . ∴ 即 .