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2024 年 11 月山东师大附中高二阶段性测试数学试题
数 学
本试卷共4页,19题,全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与直线 平行,且经过点 的直线的方程为
A. B. C. D.
2. 如图所示,在三棱柱 中, 为 的中点.
若 ,则 可表示为
A. B.
C. D.
3.已知圆 与直线 和 都相切,圆心在直线 上,则圆 的方程为
A. B.
C. D.
4.设两条异面直线 的方向向量分别为 ,则直线 与 所成的角为A. B. C. D.
5.已知在 中,点 ,点 ,若 ,则点 的轨迹方程为
A. B. C. D.
6.若圆 上有且只有两个点到直线 的距离等于 ,则半径 的取值范围
是
A. B. C. D.
7.已知 是椭圆的两个焦点,满足 的点 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8.在正四棱柱 中,
,
动点 分别在线段 上,则线段
长度的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是
A. 是 共线的充分不必要条件
B. 若 共线,则
C. 三点不共线,对空间中任意一点 ,若 ,则 四点共面
D. 若 为空间四点,且有 ,则 是 三点共线的充要条件
10.已知直线 ,圆 ,则下列结论正确的是
A. 直线 恒过定点
B. 直线 与圆 恒有两个公共点
C. 直线 与圆 的相交弦长的最大值为
D. 当 时,圆 与圆 关于直线 对称
11.设椭圆的方程为 ,斜率为 的直线不经过原点 ,而且与椭圆相交于 两点, 为线段
的中点,则下列结论正确的是
A. 直线 与 垂直
B. 若点 坐标为 ,则直线方程为
C. 若直线方程为 ,则点 坐标为
D. 若直线方程为 ,则
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ,则直线 的斜率为________.
13. 已知 .若 四点共面,则实数 _______.
14. 已知椭圆 , 的上顶点为 ,两个焦点分别是 ,离心率为 ,过 且垂直于 的直线与 交于 两点, ,则 的周长是________.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图所示,在正四棱柱 中,已知 分别
为 上的点,且 .
（1）求证： ;
（2）求点 到平面 的距离.
16.（15分）已知椭圆 过点 ,且离心率 .
（1） 求椭圆 的标准方程;
（2） 设 的左、右焦点分别为 ,过点 作直线 与椭圆 交于 两点, ,求
的面积.
17.（15分）已知点 是直线 上一动点,过点 作圆 切线,切点分别为
.
（1） 当 的值最小时,求切线方程;
（2） 试问：直线 是否过定点？若过,求出该定点；若不过,请说明理由.18.（17分）如图,四棱锥 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍, 为侧棱 上
的点.
（1）求证： ;
（2）若 平面 ,求平面 与平面 的夹角的大小;
（3）在（2）的条件下,侧棱 上是否存在一点 ,使得 平面 .若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
19.（17分）已知椭圆 中,点 分别是 的左顶点、上顶点, ,且
的焦距为 .
（1） 求 的方程和离心率;
（2） 过点 且斜率不为零的直线交椭圆于 两点,设直线 的斜率分别为 ,若
,求 的值.
2024 年 11 月山东师大附中高二阶段性测试数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B B A D A C A ACD ABD BD
三、填空题B. 或 13. 14.
四、解答题
15.（13分）
（1）证明：以 为原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的直角坐标系,
则
所以 .
因为 ,所以 ,又 ,所以 平面 .
（平面 的法向量为 ）
（2）解：由（1）知 , 为平面 的一个法向量,
所以点 到平面 的距离 .
所以点 到平面 的距离 .
3. （15分）
解：（1）将 代入椭圆方程可得 ,即 .因为 ,所以
,代入上式可得 ,所以椭圆的标准方程为 .
15. 由题可得 ,设直线 的方程为 ,联立 ,得 ,
设 ,则 ,
则 ,
所以
,
解得 ,所以 ,
则 的面积 .
（3） （15分）
解：（1）当 时, 的长最小,根据两直线垂直斜率之积等于 ,可得直线 的斜率为 ；
此时可得直线 的方程为 ,
联立 ,得交点 ,
当切线斜率不存在时,切线方程为 ,符合题意；当切线斜率存在时,设切线方程为 ,则有 ,解得 ,所以切线方程为
,
综上所述,切线方程为 和 .
（2）由点 在直线 上,可设 为 ,又设 ,则由
都与圆 相切,得 的方程分别为 ,
又点 在直线 上,故 ,
即可知直线 的方程为 ,即 .
令 ,得 ,即直线 恒过点 .
（3） （17分）
（3） 证 明 ： 连 接 , 交 于 点 , 连 接 , 因 为 四 边 形 是 正 方 形 , 所 以
,又因为 ,所以 ,
因为 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 .
（4）
法一：因为 , 为 的中点,所以 ,
又由（1）知 平面 ,所以 平面 .
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示空间直角坐标系.设底面边长为 ,则 ,于是
,
平面 的一个法向量 ,平面 的一个法向量 ,
设所求角为 ,则 .所以平面 与平面 的夹角的大小为 .
法二：由（1）知 平面 ,所以 ,所以 是平面 与平面 的夹
角,因为 平面 , 平面 ,所以 ,设 ,
所以 .
因为 为锐角,所以 ,所以平面 与平面 的夹角的大小为 .
（5） 存在, ,理由如下：
由（2）知 是平面 的一个法向量, ,
设 ,则 ,
而 ,解得 ,即当 时, ,而 平面 ,所以 平面 .
19. （17分）解：（1）因为 ,所以 ,又焦距为 ,所以 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 ,离心率 .
（2）由（1）知 ,设 ,且 ,
所以 ,
由题意知直线 ,
代入 得 ,易知 ,
则 ,
所以
,
即 ,
所以 ,
整理得 ,解得 或 ,又因为 ,所以 .
综上所述, 的值为 .
