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山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检
测检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
2．设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 与时间 之间的函数关系式
为 ，则 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 的部分图象如图所示， 为 的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．当 是函数 的极值点，则 的值为
A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2
6．已知函数 在区间 单调递增，则 的最大值为（ ）A．1 B． C． D．
7．设 ， ， ，则 ， ， 大小关系是
A． B． C． D．
8．若函数 和 的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数 和 为
“对偶函数”．已知 ， 是“对偶函数”，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数 的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．函数 在 处取得最小值 B． 在区间 上单调递增
C． 是函数 的极小值点 D． 在 处切线的斜率大于零
10．设函数 ，则（ ）
A． 是 的极大值点
B．当 时，
C．当 时，D．曲线 有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
11．已知函数 ，对定义域内任意 ，都有 ，则正实
数 的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
12．已知直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则直线 的斜率为
.
13．若函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 .
14．已知函数 ，函数 ，若函数 恰有
三个零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
16．已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求a的值；
(2)证明： 时， .
17．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 表示为盒底边长 的函数；
(2) 多大时，盒子的容积 最大？并求出最大值.
18．已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明: 在 上均恰有一个零点.
19．已知
(1)设 ，求 的极值．
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
(3)若存在常数 ，使得对任意 ， 恒成立，则称 在 上有上界 ，函
数 称为有上界函数．如 是在 上没有上界的函数， 是在 上没有
上界的函数； 都是在 上有上界的函数．若 ，
则 是否在 上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明．山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检测检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B B A A ABD ACD
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】由题， ，故 .
故选：A.
2．C
【详解】切线 的斜率为 ，
由 ，
故选：C
3．A
【详解】因为 ，所以 时，此木块在水平方向的瞬时速度为
.
故选：A
4．D
【详解】由导数的几何意义可知， 表示曲线 在 处的切线斜率，
表示曲线 在 处的切线斜率，
表示 ， 两点连线的斜率，
由图可知，当 从0变化到1时， 切线斜率越来越大，
所以 ，对比选项可知，D正确.
故选：D.
5．B
【详解】由 ，得 ，
∵x＝1是函数f（x）的极值点，
∴ （1）＝6﹣ +a＝0，解得 或 2，
当 2时， 恒成立，即 单增，无极值点，舍去；
当 3时， 时，x＝1或x= 9，
满足x＝1为函数f（x）的极值点，
∴ ．
故选B.
6．B
【详解】因为函数 在区间 单调递增，所以 在区间
上恒成立，即 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，则
，故 ，即 的最大值为 ，
故选：B
7．A
【详解】考查函数 ，则 ， 在 上单调递增，
， （3） ，即 ，
，
故选： ．
8．A
【详解】因为 ， 是“对偶函数”，
所以函数 与 的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以 ，即 有两个不相等的实数解，
则 有两个不相等的实数解．
令 ，则 ，
所以当 时， ,当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，且 ， ．
又 ，所以 ，a的取值范围为 ,
故选：A.
9．ABD
【详解】由图可知，
当 时， ，当 时， ，∴函数 在 处取得最小值，
A选项正确；
当 时， ，∴ 在区间 上单调递增，B选项正确；
当 时， ，当 时， ，∴ 在 处没有极值，C选项错
误；
当 时， ，∴ 在 处切线的斜率大于零，C选项正确.
故选：ABD.
10．ACD
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
当 或 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，对于A， 是 的极大值点，A正确；
对于B， 在 上单调递减， ，则 ，B错误；
对于C，当 时， ， ， ，C正
确；
对于D，令 ， ，函数 是奇函数，
函数 的图象关于原点对称，则函数 的图象关于点 对称，
若函数 的图象还有一个对称中心 ，则
，而 不为常数，
因此点 不是函数 图象的对称中心，即函数 的图象有且只有一个对称中
心，
则曲线 有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 ，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】因为 ，所以 ，
所以 可化为 ，
即 ；令 ，
则有对于定义域内任意 ，都有 ，
所以 在 上单调递减，所以在 上， ；
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；令 ， ，当 时，解得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
可化为 ， ，因为 所以 ；
由 ，可知当 时， ，当 时， ，
根据 在 上的单调性以及 的正负情况，
有：若 ，则 在 上恒成立，所以 ，
即 在 上恒成立；令 ，则 ，
，解得 ，所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增减，
所以 时， 取得最大值， ，所以 ；
因为 ， ， 均满足题意， 不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
12． /
【详解】由题设 ，则 ，
所以与曲线 在点 处的切线垂直的直线 斜率为 .
故答案为：
13．
【详解】由 可得：函数定义域为 ， .因为 ，当且仅当 时等号成立,
所以 ，
则函数 为 上的增函数.
所以 等价于 ，解得： .
故答案为： .
14．
【详解】解：当 时， ，所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
且 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时，与一次函数 相比，函数 增长更快，
从而 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
且 ， ，
当 时， ，当 时， ，当 时，与对数函数 相比，一次函数 增长更快，
从而
当 ，且 时， ，
根据以上信息，可作出函数 的大致图象：
令 ，
得 或 ，由图象可得 没有解，
所以方程 的解的个数与方程 解的个数相等，
而方程 的解的个数与函数 的图象与函数 的图象的交点个数相等，
由图可知：当 时，函数 的图象与函数 的图象有3个交点．
故答案为：
15．(1)
(2)单调增区间为 ， ，单调递减区间为 .
【详解】（1） ，则 ，
则切线的斜率 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） ，
则 ，
由 ，可得 或 ；由 ，可得 ，
所以函数 的单调增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
16．(1)1
(2)证明见解析
【详解】（1）已知函数 ，对其求导可得 .
因为函数 在 处的切线方程为 ，将 代入 可得：
.
由于切线方程为 ，其斜率为 ，所以 ，解得 .
（2）当 时， .
要证明 时， ，即证明 ，移项可得 .
设 ， ，对 求导得 .
因为 的值域是 ，所以对于 ，有 ，即 .
这说明 在 上单调递减.
那么 ，将 代入 可得 .
所以 ，即 时， .17．(1)
(2)当 米时，盒子的容积 最大为 立方米
【详解】（1）如图， ，
则盒子的高 ，
所以盒子的底面积 ，
所以盒子的容积 ，
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
令 ，解得 （舍去），
所以当 时 ，则 单调递增，
当 时 ，则 单调递减，
所以当 时 取得极大值，即最大值，
所以当 米时，盒子的容积 最大为 立方米.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析【详解】（1）首先求函数 的定义域和导数.
函数 的定义域为 .
对 求导可得 ， ， .
然后令 ，即 ，则 ，解得 或 .
接着分情况讨论：
当 时， ，当且仅当 时取等号.所以 在 上单调递增.
当 时， .
在区间 和 上， ，所以 在 ， 上单调递增；
在区间 上， ，所以 在 上单调递减.
当 时， .
在区间 和 上， ，所以 在 ， 上单调递增；
在区间 上， ，所以 在 上单调递减.
综上所得，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， ；当 时， ，且 ，由
（1）可知，
当 时， 在 取得极大值， 在 上恰有一个零点.当 时， 在 上单调递增. 在 上恰有一个零点.
当 时， 在 取得极大值，且 ，
所以 在 上恰有一个零点.
综上所得， ， 在 上均恰有一个零点.
19．(1)极小值 ，没有极大值
(2)
(3)没有，证明见解析
【详解】（1） ，
令 ，解得 .
所以在 上 单调递减；
在 上， 单调递增；
所以函数 有极小值 ，没有极大值．
（2）依题意， 在 上恒成立，
设 ， ，
当 时， 单调递增， ，不符合题意.
当 时， ，
令 ，解得 ，即 使 ，在 上， 单调递增；
在 上， 单调递减，不符合题意；
当 时， 单调递减， ，符合题意；
综上： .
（3）没有上界，理由如下：
由（2）可知， 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以 ，
将上述式子相加得
