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山东师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中检测
数学试题
一、单选题
1．集合 ，则 中的元素个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 、 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．化简 结果为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 是偶函数，对 且 时， 恒成立，设 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， .关于 的方程 在
区间 内所有实数根的和为（ ）
A． B． C．0 D．4
二、多选题
9．已知集合 或 ， 且 是 的真子集，则 的取值可能为（ ）
A．2 B． C．2.5 D．4
10．已知 ， 为正实数，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为
11．已知函数 ， ，若方程 有4个不同的实数根，则实
数 可能的取值为（ ）
A． B．1 C． D．
三、填空题
12．若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为 .
13．若 是定义在 上的奇函数，则 .
14．我们知道，设函数 的定义域为I，如果对任意 ，都有 ，且
，那么函数 的图象关于点 成中心对称图形．若函数
的图象关于点 成中心对称图形，则实数c的值为 ；若，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题
15．设 ， ，其中 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 中只有两个元素，求 的取值范围.
16．已知 ， ， 或
(1)若命题 是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
17．已知函数 （ 为常数）是定义域为 的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 的单调性，并说明理由；
(3)证明：对 ， 恒成立.
18．如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ，其中 ， ， 百米，
百米．规划修建两条直道 、 将广场分割为 个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分
别记为 、 ：Ⅲ为休闲区域，面积记为 ．其中，区域Ⅲ是以 为底的梯形，点 、 分别在 、
上．（道路宽度忽略不计）
(1)试确定道路修建方案，使得 ；(2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值．
19．对于二次函数 ，若存在 使得 成立，则称 为二次函数
的不动点.
(1)求二次函数 的不动点；
(2)若函数 有两个不相等的不动点 ，且 均为正数，求 的最小值；
(3)若对任意实数 ，二次函数 恒有不动点，求 的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C B C D A BCD AD
题号 11
答案 BC
1．C
根据集合的并集运算求出 ，可得结果.
【详解】 ，
所以集合 有6个元素.
故选：C．
2．D
利用全称量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是 ， .
故选：D
3．C
由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案.
【详解】由 ，得到 ，
又因为 ，所以 ，故C正确；
当 时， ，故AD错误；
，故B错误.
故选：C
4．C
根据指数函数、幂函数的性质比较大小确定题设条件间的关系，结合充分必要性的定义即可得.
【详解】设函数 ， ，在定义域上单调递减，
在定义域上单调递减，则 ，
由 在定义域上单调递增，所以 .所以“ ”是“ ”的充分必要条件，
故选：C
5．B
根据给定条件，利用根式运算化简即得.
【详解】当 时， .
故选：B
6．C
由 是偶函数，得到 的图像关于 对称，由 且 时， ，
得到 在 单调递增，由 ，结合单调性即可判断.
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 的图像关于 对称，
又 且 时， ，
可得 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
故选：C
7．D
根据给定条件，确定函数 的值域，设 ，分段解不等式 得 ，进而分段解不等式
即可.【详解】函数 ，当 时， ；当 时， ，因此 ，
令 ，则不等式 化为 ，
当 时， ，则 ， ，无解；
当 时， ，则 ， ，若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 成立，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
8．A
根据给定条件，分析函数的性质并作出在 内的图象，结合图象求解.
【详解】函数 是 上的奇函数，当 时， ，
当 时， ，则 ，
于是当 时， ，由 ，得 是函数 图象的对称轴，
由奇函数性质可得 也是函数 图象的对称轴，作出函数 在 上的图象，如图，
观察图象知， 也是函数 图象的对称轴，直线 与函数 在 上的图象有4个交点，
因此方程 在 内有4个根，所有实数根的和为 .
故选：A
9．BCD
利用真子集概念，得出关于 的不等式，解之即可判断选项正误.
【详解】因为 是 的真子集，
若 ，则 ，解得 ，符合题意；若 ，则 ，解得 ，
则 或 ，解得 或 ；
综上所述： 或 ；
故选：BCD.
10．AD
利用基本不等式可判断AB的正误，利用“1”的代换可判断C的正误，利用换元法结合常数代换可判断D
的正误.
【详解】对于A： ，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最大值为 ，A正确；
对于B：由 得 ，
即 ，当且仅当 时，取等号，又 ， 为正实数，
所以等号不成立，即 ，B错误；
对于C： ，
当且仅当 取等号，故C错误；
对于D，换元，令 ，则 ，
故
，
当且仅当 取等号，故 的最小值为 ，故D正确；故选：AD
11．BC
令 ，问题化为函数 与 的图象有2个不同的交点，画出函数 的图
象，数形结合即可得.
【详解】令 ，则原方程化为 ，
根据二次函数的性质， 时对应有2个 值， 时对应有1个 值， 时没有对应 值，
由函数 的图象（参见如图是一部分， 时顺势往右上延申）可知，对于任意的实数 ,关于 的方程
至多有2个根，所以要使方程 有4个不同的实数根，则关于 的方程 必须有2
个根，即 ,
同时 有2个不同的实数根，
综上， ，则函数 与 有2个不同的交点，如下示意图，
由图可知 ，即所求a的取值范围是 .
故选：BC
12．
由 求解即可.
【详解】由题意 ，
解得： ，故答案为：
13．
由 求得 ，并验证，再结合 ，求 并验证，即可求解.
【详解】由函数为奇函数，可得 ，
解得： 或 ，
当 时， ，即定义域为 ，
当 时， ，舍去，
又 ，
解得 ，经检验，符合题意，
所以 ，
故答案为：
14． 2
（1）根据题意可得 即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式
得 ，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.
【详解】因为函数 的图象关于点 成中心对称图形，
所以 ，
即 ，
即 ，所以 ，
所以 在定义域 上单调递减，
令 ，
因为函数 的图象关于点 成中心对称，
所以 的图象关于 对称，且 单调递减，
因为 ，即 ，
即 ，也即 ，
所以 则 解得 或 ，
故实数t的取值范围是 .
15．(1) ；
(2) 。
（1）解一元二次不等式求集合 ，列举法确定 中元素，再应用交运算求 ；
（2）讨论 、 ，结合交集中元素个数列不等式求参数范围.
【详解】（1）由题设 ，
由 ，则 ；
（2）由 ，又 中只有两个元素，显然 ，
当 时， ，此时 为空集，不符合题意，
当 时， ，
要满足 中只有两个元素，此时必有 ，
故 ，
综上， .
16．(1) ；
(2) .
（1）根据题意 在 上无解，结合对应二次函数的性质的列不等式求参数范围；
（2）由充分不必要关系得 是 的真子集，列不等式求参数范围.
【详解】（1）由命题 是真命题，则 为假命题，
所以 在 上无解，
当 时，则 无解，满足题意，
当 时，只需 ，综上， ；
（2）由 是 的必要不充分条件，且 为真命题时 或 ，
所以 是 的真子集，
所以 ，得 .
17．(1) ；
(2) 在 上单调递减，理由见解析；
(3)证明见解析.
（1）由 求得 ，并验证即可；
（2）由函数单调性的定义即可求解；
（3）由 恒成立即可求证.
【详解】（1）因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，解得 ，
经验值符合题意，
所以 ；
（2） 是 上的减函数.
任取 且 .
.
，
， ， ，即 ，
是 上的减函数.
（3）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
得证.
18．(1)答案见解析
(2)
（1）延长 、 相交于点 ，利用 可推出 为 的中点，可得出 ，设 ，
，由 可得出 ，可推出 ，求出 的取值范围，并求出 、 的表达
式，由 可求得结果；
（2）求出 ，可得出“效能比”的表达式，结合二次函数的基本性质可求得“效能比”的最大值.
【详解】（1）延长 、 相交于点 ，
因为 ， ， ，所以， ，所以， ，则 为 的中点，所以， ，
由区域Ⅲ是以 为底的梯形，可得 ，
于是 ，则 ，
设 ， ，所以， ，故 ，
由图可知， ，所以， ，
所以， ， ，
因为 ，则 ，即 ，所以， ，
所以，当道路 米时， .
（2）因为 ，
广场效能比为 ，
设 ，则二次函数 的图象开口向上，
当 时，函数 取得最小值，即 ，
所以， ，
所以，此规划下该广场效能比的最大值为 ．
19．(1) 和3；
(2)8；
(3) .
【详解】（1）由 ，得 ，解得 或 ，
所以二次函数 的不动点为 和3.（2）依题意，方程 有两个不相等的正实数根，
于是 ，解得 ，
因此
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为8.
（3）一元二次方程 ，
依题意，对任意实数 ， 恒成立，
因此 ，而 ，解得 ，
