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山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中
数学试题
一、单选题
1．“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．如图， 为四面体 的棱 的中点， 为 的中点，点 在线段 上，且 ，设
， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆 ，其左右焦点分别为 ， 点P是椭圆E上任意一点，则 的周长为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．7
4．已知点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ，直线 过点 ，则直线 被圆 截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．6．如图，一束光线从 出发，经直线 反射后又经过点 ，则光线从A到B走过的路
程为（ ）
A． B． C． D．
7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学
灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为 的中点，则异面直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体 的棱长为 ，空间中的点 满足： ，其中
，且 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ， 是空间任意四点，则有
C．已知 ，能判定空间中四点 ， ， ， 共面
D．若 为空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
10．已知圆 与圆 ，则（ ）
A．过点 作圆 的切线只有 条，则
B．若圆 与圆 有且只有 条公切线，则
C．当 时，两圆的一条公切线方程为
D．当 时，两圆的公共弦长为
11．如图，在直棱柱 中，底面ABCD是边长为2的菱形， ，点 为
的中点，点 为侧面 内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 截四棱柱 所得的截面是五边形
B．C．平面 与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若 ∥平面 ，则点 轨迹的长度为
三、填空题
12．设 ，若点 在线段 上，则 的取值范围是 ．
13．已知椭圆 的焦点为 ， 为椭圆上一点， 是 的中点，若 ，则
．
14．已知以 为圆心的圆 及其上一点 ，设 满足：存在圆 上的
两点 和 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 作圆的切线，求切线方程．
16．如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ， ，点 ， 分别是
棱 ， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.17．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点.
(1)若焦距为 ，点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的值.
18．如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点， 为正三角
形，平面 平面 .
(1)连接 ，求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)在线段 上是否存在异于端点的点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ？若存在，确
定点 的位置；若不存在，说明理由.
19．在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ， ， 是圆 上的动点，且
， 的中点为 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 是直线 ： 上的动点， ， 是 的轨迹的两条切线， ， 为切点，求四
边形 面积的最小值；
(3)若垂直于 轴的直线 过点 且与 的轨迹交于点 ， ，点 为直线 上的动点，直线 ，
与 的轨迹的另一个交点分别为 ， ，（ 与 不重合），求证：直线 过定点.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D A C A C BC ABC
题号 11
答案 BCD
1．A
由两直线垂直求得 的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断.
【详解】当 时，两条直线分别为 与 ，两条直线互相垂直，反之，由
与直线 垂直， ，解得
或 ，则不能推出 ，所以 ”是“直线 与直线
垂直的充分不必要条件.
故选：A
2．A
根据空间向量基本定理得到 ，故 .
【详解】 为四面体 的棱 的中点， 为 的中点，
故 ， ，
，
因为 ，所以 ，
.
故选：A
3．C
根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由题意，根据椭圆的定义可知
， .
所以 的周长为 .因为椭圆方程为 ，所以 .
所以 的周长为 .
故选：C.
4．D
由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.
【详解】由圆的方程可化为 ， ，又点 在圆外，则
， ，综上 .
故选：D.
5．A
先判断出 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线 的距离的最大值求解出弦长的最小值.
【详解】直线 恒过定点 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
又 ，即 在圆内，
当 时，圆心 到直线 的距离最大为 ，
此时，直线 被圆 截得的弦长最小，最小值为 ．
故选：A.
6．C根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.
【详解】
一束光线从 出发，经直线 反射,与 交于点P,
由题意可得，点 关于直线 的对称点 在反射光线上，
设 ,则 , ,
故光线从A到B所经过的最短路程是 .
故选：C.
7．A
连接 交于 点，连接 ，建系标点，求直线 的方向向量和平面 的法向量，利用空间向量
求线面夹角.
【详解】连接 交于 点，连接 ，
因为该几何体是一个高为4的正八面体，
所以 ， ， ，
设棱长为 ，则 ， ，
所以在 中， ，即 ，解得 ，
以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
所以 ，平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 .
故选：A.
8．C
易得 平面 ，设 为 的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得 平面
，进而可得 ，在平面 中建立平面直角坐标系，设 ，求出点 的轨
迹方程，即可求解.
【详解】因为 ，所以 平面 ，
如图1所示，设 为 的交点，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，因为点 平面 ，故 平面 ，
所以 ，则 ，
因为正方体的棱长为 ，所以 ，即 ，
在平面 内建立平面直角坐标系，如图2所示，
则 ，
设 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，故 ，即 ，
整理得 ，即 ，
故点 的轨迹是半径为 的圆，所以点 的轨迹长度为 ．
故选：C．9．BC
根据向量共线判断A，根据空间向量线性运算法则判断B，根据空间向量共面定理判断C、D.
【详解】对于A：因为 ， ，
所以 ，则 ，则 或 与 在同一条直线上，故A错误；
对于B：若 ， ， ， 是空间任意四点，则有 ，故B正确；
对于C： ， 三个向量共面，
四点共面，故C正确；
对于D： ， 三个向量共面，
不能作为空间的一组基底，故D错误.
故选：BC
10．ABC
根据切线判断圆与圆的位置关系判断A，B，根据切线条件计算得出公切线判断C，先求出两圆的相交弦
所在直线方程再应用几何法计算求出弦长判断D.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
对于A选项，若点 作圆 的切线只有 条，则 在圆 上，
则有 ，因为 ，解得 ，A对；
对于B选项，若圆 与圆 有且只有 条公切线，则两圆相交，
且 ，
由题意可得 ，即 ，
因为 ，解得 ，B对；对于C选项，当 时，圆 的方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
故当 时，两圆的一条公切线方程为 ，C对；
对于D选项，当 时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得 ，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，两圆的公共弦长为 ，D错.
故选：ABC.
11．BCD
作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹
后判断D.
【详解】对A，取 中点 ，连接PM，如图，则 （都与 平行），所以 四点共面，
A B C D
1 1 1 1
则平面 截四棱柱 所得的截面是四边形，A错误．
对B，连接 ，由题意可得 ， 底面 ，
底面ABCD，所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，B正确．对C，设AC与BD交于点 ，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立
如图所示的空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
不妨取 ，则 ，易知平面ABCD的一个法向量为 ，
则 ，C正确．
对D，连接 ，由A项知 四点共面， 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ，
所以 的轨迹为线段 （不含点 ）， ，D正确．
故选：BCD.
12．
将问题转化为过点 的直线 与线段 有交点时，直线 的斜率 的取值范围，即可由两点斜率公式
求解.
【详解】直线的倾斜角与斜率 如图， ，则原问题可转化为过点 的直线 与线段
有交点时，直线 的斜率 的取值范围．连接 ，则 ，
当 的倾斜角是锐角时， ，随着倾斜角的增大，斜率 由 增大至正无穷；
当 的倾斜角是钝角时， ，随着倾斜角的增大，斜率 由负无穷增大至 ．所以 3或 ．
故答案为：
13．
借助椭圆定义计算即可得结论.
【详解】由 是 的中点，则 ，
由椭圆定义可得 ，
则 .
故答案为： .
14．
先得到圆 的圆心和半径，设 ， ，根据 得到方程，利用 点坐标表达出
点坐标，代入圆 中，得到点 在圆 上，从而两圆有公共点，根据圆心距与半径的
关系得到不等式，求出答案.【详解】根据题意，圆 ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
设 ， ，
又由 ，则 ， ， ，
若 ，则有 ，变形可得 ，
若 在圆 上，则 ，
则有 ，变形可得： ，
即点 也在圆 上，
从而圆 与圆 有公共点，
则有 ，
变形可得： ，
解得： ，即 的取值范围为 ；
故答案为： ．15．(1) ；
(2) 或
（1）设圆心 ，通过半径求得 ，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【详解】（1）由题意设圆心 ，
因为 ，即 ，
解得 ，即 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 ；
（2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过 的切线方程为 ，
即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ，
此时切线的方程为： ，即 ，
综上所述：过 的切线方程为 或 ．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直
关系.
（2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两
个平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ，
所以以点D为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ．
设平面EFD的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
由 平面 ，得 平面 ．
（2）设平面 与平面 的夹角为 ，
平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
17．(1)(2)
【详解】（1）已知 ，所以得： ，即 ，
由于点 在椭圆上，将其代入椭圆方程 ，
可得： ，即 ，
又因为 ，即 .
联立 ，整理得： ，解得： 或 （舍）
所以 ，故椭圆 的标准方程为 .
（2）因为 ，所以 的面积 ，
则 ，根据椭圆定义可得： .
根据余弦定理可得： ，
整理得： ，
代入得： ，即 ，即得： .
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在， 为 中点
【详解】（1）连接 ，如图所示：为正三角形，又 为 中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 .
（2）由（1）知 平面 ，又 平面 ，
，
分别为 的中点，
，
，
如图：
，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则
则点 到平面 的距离为 .
（3）设存在，
由（1）可知 是平面 的一个法向量，
由题可设 ，且 ，
，
则 ，
设平面 的法向量为 ，由于 ，
则 ，
令 ，则 ，
，
整理得 ，解得 或 （舍），
故存在点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ，
此时 为 中点.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知圆 的方程为 ，将其转化为圆的标准方程：.
所以圆心 ，半径 .
因为 是 的中点，可知 .
已知 ，则 .
在 中，根据勾股定理 .
设点 ，根据两点间的距离公式 ，
两边平方可得 .
所以点 的轨迹方程为 .
（2）因为 ， 是圆 的切线，所以 ， .
又因为 ，
所以四边形 的面积 ，
根据勾股定理 ，
所以 .
点 是直线 上的动点，根据点到直线的距离公式，圆心 到直线 的距离 ，
即 .当 取最小值 时， .
所以四边形 面积的最小值为 .
（3）
由题意可知：直线 ，由 ，解得 或 ，
不妨令 ，
先证明如下问题：若点 为直线 上的动点，直线 （其中 ）与圆
的另一个交点分别为 ，（ 与 不重合），求证：直线 过定点．因为 ，
可知 ，即 ，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
则 ，即 ，
整理可得 ，
若直线 的斜率存在，设为 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，且 ，
则 ，整理可得 ，解得 或 ，
若 ，则直线 ： 过定点 ；
若 ，则直线 ： 过定点 ，又 与 不重合，不合题意；
所以直线 过定点 ；
若直线 的斜率不存在，则 ，可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
此时直线 过点 ，符合题意；且 在圆 内部，直线 与圆 必相交，
综上所述：直线 过定点 .
将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移 个单位，即可得到本题的问题，
