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学年高一数学下学期期中模拟卷（提高篇）
2025-2026
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）若复数z满足 ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 4i+𝑧𝑧 =−3+i B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解题思路】根据复数运算得 ，利用共轭复数的定义和几何意义得解.
【解答过程】由 𝑧𝑧，=可−3得−3i ，则 ，
所以 在复平面4内i对+应𝑧𝑧 =的−点3在+第i 二象限𝑧𝑧. =−3−3i 𝑧𝑧 =−3+3i
故选𝑧𝑧：B.
2．（5分）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． 𝑎𝑎⃗ B =．(1 ,2) 𝑏𝑏�⃗ =(2,0) 𝑐𝑐⃗ C =．( 4 0 ,1) 𝑎𝑎⃗//(𝑏𝑏�⃗+𝜆𝜆𝑐𝑐⃗ D )．2 𝜆𝜆 =
1 1
【答案】 − C 2 2
【解题思路】本题可先求出 的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解 的值.
【解答过程】已知 𝑏𝑏，�⃗+𝜆𝜆𝑐𝑐⃗ ， 𝜆𝜆
可得 𝑏𝑏�⃗ =(2,0) 𝑐𝑐⃗=(0,.1 )
已知𝑏𝑏�⃗+𝜆𝜆𝑐𝑐⃗=，(2且,0)+(0,𝜆𝜆)=(，2,所𝜆𝜆)以 ，
即 𝑎𝑎⃗ =(1,2，)解得𝑎𝑎⃗//(𝑏𝑏�⃗. +𝜆𝜆𝑐𝑐⃗) 1×𝜆𝜆−2×2=0
故选𝜆𝜆−：4C=. 0 𝜆𝜆 =4
3．（5分）已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，一质点从 点出发，沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达 点的最短路线𝐴𝐴𝐴𝐴长𝐴𝐴为−（𝐴𝐴1 𝐴𝐴 1）𝐴𝐴1 2 5 𝐴𝐴
𝐴𝐴1
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】√D6 1 10 5√5 13
【解题思路】根据侧面展开图可得最短距离.
【解答过程】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周，
则将三棱柱沿 展开，并沿底边扩大 倍，
如图所示， 𝐴𝐴𝐴𝐴1 2
则展开图是以 为底， 为高的矩形，
则最短路径即2为×其3对×角2线=长12为 5 ，
2 2
故选：D. √12 +5 =13
4．（5分）已知复数 是关于x的方程 （ ）的一个根，则 在复
2
平面内对应的点位于（𝑧𝑧1 = ）1 −2i 𝑥𝑥 +𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑞𝑞 =0 𝑝𝑝,𝑞𝑞 ∈R 𝑧𝑧2 =𝑝𝑝+𝑞𝑞i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得 的值，确定复数 ，由复数
的几何意义确定象限即可. 𝑝𝑝,𝑞𝑞 𝑧𝑧2
【解答过程】由题知 ，
2
(1−2i) +𝑝𝑝(1−2i)+𝑞𝑞 =0
整理得 ，即 解得
𝑝𝑝+𝑞𝑞−3=0, 𝑝𝑝 =−2,
(𝑝𝑝+𝑞𝑞−3)−(2𝑝𝑝+4)i=0 � �
所以 在复平面内的对2应𝑝𝑝+点4为=0, ，位于𝑞𝑞 =第二5,象限.
故选𝑧𝑧：2 B=. 𝑝𝑝+𝑞𝑞i=−2+5i (−2,5)
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学科网（北京）股份有限公司5．（5分） 外接圆半径为 ，则 的面积为（ ）
√2
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2√2,sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴 = 2 ,2𝑏𝑏 =𝑎𝑎+𝑐𝑐 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
A． B． C． D．
4√2
【答案】5
D
√ 2 3 √3−1 6√2−3√7
【解题思路】根据题设及正弦定理易得 ， ， ，结合平方关系可得 ，进而结
√2 √14
合余弦定理求得 ，再si根n𝐴𝐴据=三角4 形𝑏𝑏的=面2积𝑎𝑎公+式𝑐𝑐求=解4即可. cos𝐴𝐴 = 4
𝑎𝑎𝑐𝑐 =12�4−√14�
【解答过程】由 ，根据正弦定理得 ，
√2
2𝑏𝑏 =𝑎𝑎+𝑐𝑐 2sin𝐴𝐴 =sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴 = 2
则 ，又 ，则 ，
√2 √2
显s然in𝐴𝐴 = 4 或𝑏𝑏 =2𝑅𝑅sin𝐴𝐴，=则4√为2锐×角4，= 2 𝑎𝑎+𝑐𝑐 =2𝑏𝑏=4
𝑎𝑎 <𝑏𝑏 <𝑐𝑐 𝑎𝑎 >𝑏𝑏 >𝑐𝑐 𝐴𝐴
所以 ，
2
2
√2 √14
cos𝐴𝐴 =√1−sin 𝐴𝐴 =�1−�4� = 4
又 ，则 ，
2 2 2 2 2 √14
𝑏𝑏 =𝑎𝑎 +𝑐𝑐 −2𝑎𝑎𝑐𝑐cos𝐴𝐴 4=𝑎𝑎 +𝑐𝑐 − 2 𝑎𝑎𝑐𝑐
则 ，
2 √14
4=(𝑎𝑎+𝑐𝑐) − 2 𝑎𝑎𝑐𝑐−2𝑎𝑎𝑐𝑐
则 ，即 ，
√14 12 24
� 2 +2�𝑎𝑎𝑐𝑐 =12 𝑎𝑎𝑐𝑐 =√ 2 14 +2 =√14+4=12�4−√14�
所以 的面积为 .
1 1 √2
故选△：D 𝐴𝐴𝐴𝐴
.
𝐴𝐴 2𝑎𝑎𝑐𝑐sin𝐴𝐴 =2×12�4−√14�× 4 =6√2−3√7
6．（5分）如图，在棱长为 的正方体内有两个球 、 相外切，两球又分别与正方体内切，则两球
体积之和的最小值为（ ） 3+√3 𝑂𝑂1 𝑂𝑂2
A． B． C． D．
【答案】9Aπ 8π 12π 6π
【解题思路】做出对角面，设两球半径分别为 ，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，结合
求得 ，再结𝑅𝑅合,𝑟𝑟体积公𝑂𝑂1式,𝑂𝑂即2可求解𝐴𝐴. 𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐸𝐸,𝐹𝐹
【𝐴𝐴解𝑂𝑂1答+过𝑂𝑂程1𝑂𝑂】2+如𝑂𝑂图2𝐴𝐴，=设𝐴𝐴两𝐴𝐴球半径𝑅𝑅+分𝑟𝑟别=为3 ，球心 和 在正方体体对角线 上，
𝑅𝑅,𝑟𝑟 𝑂𝑂1 𝑂𝑂2 𝐴𝐴𝐴𝐴
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学科网（北京）股份有限公司过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
𝑂𝑂1,𝑂𝑂2 𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐸𝐸,𝐹𝐹
由图可得
即 𝐴𝐴𝑂𝑂1+𝑂𝑂1𝑂𝑂2+𝑂𝑂2𝐴𝐴 =𝐴𝐴𝐴𝐴
√3𝑟𝑟+(𝑟𝑟+𝑅𝑅)+√3𝑅𝑅 =√，3�所3以+√3� ，
�故√两3+球1体�( 积𝑅𝑅之+和𝑟𝑟) 为=3√3+3 𝑅𝑅+𝑟𝑟 =3
4 3 3 4 2 2
𝑉𝑉 =3π(𝑅𝑅 +𝑟𝑟 )=3π(𝑟𝑟+𝑅𝑅)(𝑅𝑅 −𝑅𝑅𝑟𝑟+𝑟𝑟 )
2 2 2
由=二4π次[(𝑅𝑅函+数𝑟𝑟性) 质−可3𝑟𝑟知𝑅𝑅：]= 4π[3 −3𝑅𝑅(3−𝑅𝑅)]=4π(3𝑅𝑅 −9𝑅𝑅+9)
当且仅当 时， 有最小值 ．
3
故选：A.
𝑅𝑅 =𝑟𝑟 =2 𝑉𝑉 9π
7．（5分）已知 是边长为2的正八边形 内的一点， 为其中心，则 的取值范
围是（ ） 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝑂𝑂����𝐸𝐸�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗+�𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗
A． B．
C．�−2√2 ,4+2√2� D．�−4,4+ 2√2�
【答案】(A− 2,4) (−4,4)
【解题思路】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将 转化为 ，然后求出正八边
形的内角大小，根据数量积 的几何意义，将问题转𝑂𝑂����𝐸𝐸�⃗化⋅为𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗求+解�𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ 的最值𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗，⋅结𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗合图形可得取得最
值时 的位置，最后结合平面𝐴𝐴����𝑃𝑃几�⃗⋅何𝐴𝐴����𝐴𝐴知�⃗ 识求得结果. �𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�cos𝜃𝜃
【解答𝑃𝑃过程】由正八边形的对称性可知，
，
𝑂𝑂� 易 ���𝐸𝐸�⃗ 知⋅正𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ 八+边 �𝑂𝑂�� 形 �𝐴𝐴�⃗ 的⋅𝐴𝐴��� 每 �𝑃𝑃�⃗ 个=内−𝑂𝑂� 角 ���𝐴𝐴�⃗ 为⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗+�𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =𝐴𝐴� ， ���𝑃𝑃�⃗ ⋅��𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗−�𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗�=𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗⋅𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗
(8−2)×180°
设 与 的夹角为 ，则 8 =135° ，
所𝐴𝐴以����𝑃𝑃�⃗当𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 最大𝜃𝜃时，𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗⋅𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗取=得�𝐴𝐴�最���𝑃𝑃�⃗大��𝐴𝐴��值��𝐴𝐴�⃗，�co当s𝜃𝜃 最小时， 取得最小值.
如图，�过𝐴𝐴����𝑃𝑃�点⃗�co作s𝜃𝜃 垂直 𝐴𝐴��的��𝑃𝑃�⃗延⋅𝐴𝐴��长��𝐴𝐴�⃗线于点 ，过点 �作𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�co垂s𝜃𝜃直 的延长𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗线⋅于𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗点 ，
𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻
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学科网（北京）股份有限公司可知当 在线段 上时， 取得最大值， ，
此时 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 �𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�cos𝜃𝜃 . �𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�cos𝜃𝜃 =𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴𝐴cos45°=2+√2
当 在𝐴𝐴����𝑃𝑃线�⃗⋅段𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =上2时×，�2+√2�=取4得+最2√小2值，此时 ，
此𝑃𝑃时 𝐴𝐴𝐴𝐴 �𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�cos𝜃𝜃 ， �𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�cos𝜃𝜃 =𝐴𝐴𝐴𝐴cos135°=−√2
故 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗⋅𝐴𝐴��的��𝐴𝐴�⃗取=值2范×围�−为√2�=−2√2 .
故选𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗：⋅𝐴𝐴A����𝐴𝐴�.⃗ �−2√2,4+2√2�
8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，边BC上一点D
𝑐𝑐 𝑏𝑏+𝑐𝑐−𝑎𝑎
满足 ， ，则 的最小值为（ ） sin𝐴𝐴+sin𝐵𝐵+sin𝐶𝐶 = sin𝐵𝐵
A𝐴𝐴．𝐴𝐴 =1 𝑏𝑏⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 =B𝑐𝑐．⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 4𝑐𝑐+𝑏𝑏 C． D．
【答案】5C+ √2 7 9 5+2√2
【解题思路】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得 ，由 可得 为角 的平分线，再利
2π
𝐴𝐴= 3 𝑏𝑏⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝑐𝑐⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴
用等面积法 可得 ，进而利用基本不等式求解即可.
1 1
𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴+𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 𝑏𝑏+𝑐𝑐 =1
【解答过程】由 ，
𝑐𝑐 𝑏𝑏+𝑐𝑐−𝑎𝑎
sin𝐴𝐴+sin𝐵𝐵+sin𝐶𝐶 = sin𝐵𝐵
根据正弦定理得， ，
𝑐𝑐 𝑏𝑏+𝑐𝑐−𝑎𝑎
则 𝑎𝑎+𝑏𝑏，+𝑐𝑐即 = 𝑏𝑏 ，
2 2 2 2 2
(𝑏𝑏+𝑐𝑐) −𝑎𝑎 =𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑏𝑏 +𝑐𝑐 −𝑎𝑎 =−𝑏𝑏𝑐𝑐
所以 ，
2 2 2
𝑏𝑏 +𝑐𝑐 −𝑎𝑎 1
cos𝐴𝐴= 2𝑏𝑏𝑐𝑐 =−2
又 ，所以 ，
2π
𝐴𝐴∈(0,π) 𝐴𝐴 = 3
因为 ，即 ，故 为角 的平分线，且 ，
𝑏𝑏 𝐶𝐶𝐴𝐴
𝑏𝑏⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝑐𝑐⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐 =𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 =1
由 ，则 ，
1 2π 1 π 1 π
𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴+𝐻𝐻△𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 2𝑏𝑏𝑐𝑐sin 3 =2𝑐𝑐⋅𝐴𝐴𝐴𝐴⋅sin3+2𝑏𝑏⋅𝐴𝐴𝐴𝐴⋅sin3
故 ，即 ，
1 1
𝑏𝑏+𝑐𝑐 =𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑏𝑏+𝑐𝑐 =1
所以 ，
1 1 4𝑐𝑐 𝑏𝑏 4𝑐𝑐 𝑏𝑏
4𝑐𝑐+𝑏𝑏 =(4𝑐𝑐+𝑏𝑏)�𝑏𝑏+𝑐𝑐�=5+ 𝑏𝑏 +𝑐𝑐 ≥5+2�𝑏𝑏 ⋅𝑐𝑐 =9
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，
4𝑐𝑐 𝑏𝑏
则 的𝑏𝑏最 = 小𝑐𝑐 值为 𝑏𝑏 . = 2𝑐𝑐 =3
故4选𝑐𝑐：+C𝑏𝑏． 9
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知向量 ， ，则（ ）
A． 𝑎𝑎⃗ =(1,2) 𝑏𝑏�⃗ =(−1,1) B．
C．向𝑏𝑏�⃗⋅量�𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�=与3
的夹角为
D．�向2𝑎𝑎量⃗+在𝑏𝑏�⃗�/方/�向𝑎𝑎⃗+上2的𝑏𝑏�⃗�投影向量为
π 1
【答案】AC 2𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗ 𝑎𝑎⃗−2𝑏𝑏�⃗ 4 𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗ 3𝑏𝑏�⃗
【解题思路】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出 在 方向上的投影向量表达式，
再根据表达式求解即可． 𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗
【解答过程】对于A， ，
𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗=(1−，1,故2+A1正)=确(；0, 3)
𝑏𝑏对�⃗⋅于�𝑎𝑎⃗B+，𝑏𝑏�⃗�=(−1)×0+1×3=3 ，
2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗ =2(1,2)+(−1,1)=， (1,5)
因𝑎𝑎⃗+为2𝑏𝑏�⃗ =(1,2)+2(−1,1)=(−1,4) ，
所以1×4−与(−1)×5不=平4行+，5故=B9错≠误0 ；
对于2C𝑎𝑎⃗，+设𝑏𝑏�⃗向𝑎𝑎量⃗+2𝑏𝑏�⃗ 与 的夹角为 ，
2𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗ 𝑎𝑎⃗−2𝑏𝑏�⃗ ， 𝜃𝜃
2𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗ =2(1,2)−(−1,1)=(3,3)，
𝑎𝑎⃗−2𝑏𝑏�⃗ =(1,2)−2(−1,1)=(3,0)，
�2𝑎𝑎�⃗−𝑏𝑏�⃗�⋅�𝑎𝑎�⃗−2𝑏𝑏�⃗� 3×3 √2
cos𝜃𝜃 = �2𝑎𝑎�⃗−𝑏𝑏�⃗�⋅�𝑎𝑎�⃗−2𝑏𝑏�⃗� =3√2×3= 2
又 ，所以 ，故C正确；
π
𝜃𝜃 ∈[0, π] 𝜃𝜃 = 4
对于D，设 和 的夹角为 ，
则向量 在 𝑎𝑎⃗方向𝑏𝑏�⃗ 上的投影𝛽𝛽向量为 ，
𝑏𝑏�⃗ 𝑏𝑏�⃗ 𝑎𝑎�⃗⋅𝑏𝑏�⃗ 𝑎𝑎�⃗⋅𝑏𝑏�⃗
𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗ �𝑏𝑏�⃗�⋅|𝑎𝑎⃗|cos𝛽𝛽 =�𝑏𝑏�⃗�⋅|𝑎𝑎⃗|⋅|𝑎𝑎�⃗|⋅�𝑏𝑏�⃗�=�𝑏𝑏�⃗� 2 𝑏𝑏�⃗
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学科网（北京）股份有限公司， ，
2
2 2
𝑎𝑎⃗⋅𝑏𝑏�⃗ =1×(−1)+2×1=1 �𝑏𝑏�⃗� =(−1) +1 =2
则 ，故D错误．
𝑎𝑎�⃗⋅𝑏𝑏�⃗ 1
故选�𝑏𝑏�⃗� 2
：
𝑏𝑏�⃗
A
=
C
2
．
𝑏𝑏�⃗
10．（6分）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正
四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积5√为2cm
2
�100√3+200√2�cm
C．该几何体的体积为
2000√2 3
3 cm
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
【答案】ACD
�150+50√6cm
【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形 及正 置于
同一平面，求出 判断D. 𝐸𝐸𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 △𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴
【解答过程】对于𝐻𝐻𝐸𝐸A，正四棱锥 底面半径 ，高 ，故A正确；
2 2
𝐻𝐻−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂𝐴𝐴=5√2 𝐻𝐻𝑂𝑂 =√𝐻𝐻𝐴𝐴 −𝑂𝑂𝐴𝐴 =5√2
对于B，几何体的表面积为 ，故B错误；
2 √3 2 2
10 +40×5√2+4× 4 ×10 =100+200√2+100√3cm
对于C，该几何体的体积为 ，故C正确；
2 1 2 2000√2 3
对于D，观察图形知，小蚂1蚁0从×点5√爬2+行3到×点10的×最5短√2路=径为3沿表cm面越过棱 或 ，
由对称性，不妨取长方形 及正𝐸𝐸 ，将𝐻𝐻 它们置于同一平面内，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴如𝐴𝐴图，
𝐸𝐸𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 △𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻𝐸𝐸
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学科网（北京）股份有限公司取 中点 ，连接 ，则 ，而 ，
𝐸𝐸𝐹𝐹 𝑀𝑀 𝐻𝐻𝑀𝑀 𝐻𝐻𝑀𝑀 =5√3+5√2 𝐸𝐸𝑀𝑀 =5
所以最短路程为 ，故D正确.
2 2 2 2
故选：ACD. 𝐻𝐻𝐸𝐸 =√𝐸𝐸𝑀𝑀 +𝐻𝐻𝑀𝑀 =�5 +(5√2+5√3) =�150+50√6cm
11．（6分）已知 ，内角 分别对应边 则下列命题中正确的是（ ）
A．若 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐴𝐴,𝐴𝐴，则 为𝑎𝑎,钝𝑏𝑏,角𝑐𝑐 三角形
2 2 2
B．在锐sin角𝐴𝐴+sin中𝐴𝐴，+不co等s 式𝐴𝐴 <1 △𝐴𝐴恒𝐴𝐴𝐴𝐴成立
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 sin𝐴𝐴>cos𝐴𝐴
C．若 ，则 的面积为
∘ √3
𝐴𝐴𝐴𝐴 =√3,𝐴𝐴𝐴𝐴 =1,𝐴𝐴 =30 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2
D．若 ，且 有两解，则 的取值范围是
π
𝐴𝐴 =3,𝑎𝑎 =2√3 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 �3,2√3�
【答案】ABD
【解题思路】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B，利
用正弦定理求 ，结合内角和公式求 ，根据三角形面积公式求则 的面积判断C，结合图象，根据边
角的关系与解𝐴𝐴的数量判断D. 𝐴𝐴 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
【解答过程】选项A： 中，若 ，
2 2 2 2 2 2
即 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴，所以由sin正𝐴𝐴弦+定s理in得𝐴𝐴+cos 𝐴𝐴 =sin 𝐴𝐴，+ sin 𝐴𝐴+1−sin 𝐴𝐴 <1
2 2 2 2 2 2
sin 𝐴𝐴+sin 𝐴𝐴−sin 𝐴𝐴 <0 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 −𝑐𝑐 <0
又由余弦定理得 ，所以 ， 为钝角三角形，A正确；
2 2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 −𝑐𝑐 π
cos𝐴𝐴 = 2𝑎𝑎𝑏𝑏 <0 𝐴𝐴 ∈�2,π� △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
选项B：因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，
π π
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0<𝐴𝐴 <2 2<π−𝐴𝐴 =𝐴𝐴+𝐴𝐴 <π
又 ，所以 ， ，
π π π π π
𝐴𝐴,𝐴𝐴 ∈�0,2� 2−𝐴𝐴 <𝐴𝐴< 2 2−𝐴𝐴 ∈�0,2�
又因为 在 单调递增，所以 ，B正确；
π π
𝑦𝑦=sin𝑥𝑥 �0,2� sin𝐴𝐴 >sin�2−𝐴𝐴�=cos𝐴𝐴
选项C： 中，若 ，则由正弦定理得 ，解得 ，
𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵 √3
所以 △𝐴𝐴或𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴，𝐴𝐴 =√3,𝐴𝐴𝐴𝐴 =1,𝐴𝐴 =30° sin𝐵𝐵 =sin𝐶𝐶 sin𝐴𝐴 = 2
𝐴𝐴 =60° 𝐴𝐴 =120°
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ， 的面积 ，
1 √3
𝐴𝐴 =60° ∠𝐴𝐴=90° △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻 =2𝐴𝐴𝐴𝐴⋅𝐴𝐴𝐴𝐴⋅sin𝐴𝐴= 2
若 ，则 ， 的面积 ，C错误；
1 √3
选项𝐴𝐴 =
D
1：2如0°图所示∠𝐴𝐴，= 30° △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻 =2𝐴𝐴𝐴𝐴⋅𝐴𝐴𝐴𝐴⋅sin𝐴𝐴 = 4
若 有两解，则 ，
所△以𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎sin𝐴𝐴，<故𝑏𝑏 <𝑎𝑎 ，D正确；
π
2√3×sin3<𝑏𝑏 <2√3 3<𝑏𝑏 <2√3
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数 的共轭复数 在复平面内对应的点为 ，则 =__________.
𝑧𝑧
【答案】
𝑧𝑧 𝑧𝑧 (2,−4) �1+i�
【解题思√路1】0根据题意先求出复数 ，然后代入 中计算即可.
𝑧𝑧
【解答过程】由题意： ，
𝑧𝑧 �1+i�
所以 𝑧𝑧 =2+4 i .
𝑧𝑧 2+4i (2+4i)(1−i) 6+2i
2 2
�1+i�=�1+i� =�(1+i)(1−i)� =� 2 � =|3+i| =√3 +1 =√10
故答案为： .
13．（5分）√1在0 中，点 是中线 上一点（不包含端点），且 ，则 的最小值是
1 8
Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =𝑥𝑥𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗+𝑦𝑦𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 𝑥𝑥+𝑦𝑦
__________.
【答案】
【解题思2路5】利用向量的共线定理即可得出 ，再利用基本不等式的乘“1”法，即可求解.
【解答过程】点 是中线 上一点（不包含端𝑥𝑥+点2）𝑦𝑦，=且1 ，
𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 ， 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =𝑥𝑥𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗+𝑦𝑦𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗
𝐴𝐴因����𝑃𝑃�⃗为=𝑥𝑥𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗+三𝑦𝑦点𝐴𝐴����共𝐴𝐴�⃗线=，𝑥𝑥𝐴𝐴��故��𝐴𝐴�⃗+2𝑦𝑦�𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ ，
𝐴𝐴,𝑃𝑃,𝐴𝐴 𝑥𝑥+2𝑦𝑦 =1
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学科网（北京）股份有限公司，
1 8 1 8 2𝑦𝑦 8𝑥𝑥 2𝑦𝑦 8𝑥𝑥
𝑥𝑥+𝑦𝑦 =�𝑥𝑥+𝑦𝑦�(𝑥𝑥+2𝑦𝑦)=17+ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥17+2�𝑥𝑥 × 𝑦𝑦 =25
当且仅当 即 时，等号成立.
2𝑦𝑦 8𝑥𝑥 2
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, 2𝑥𝑥 =𝑦𝑦 =5
故答案为： .
14．（5分）2多5 面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多
面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学
家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，
如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为__________．
【答案】
【解题思3路:1】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径 ，再由
𝑅𝑅 =√2
等体积法求得内切球的半径 ，即可得.
√6
【解答过程】由正八面体的结𝑟𝑟构=特3征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为 ，则外接球半径 ，
各侧面积 ，构成正八面体的𝑅𝑅两,𝑟𝑟个正四棱锥的高为𝑅𝑅 =√，2
1
𝐻𝐻 =2×2×2×sin60°=√3 √2
所以正八面体的体积 ，可得 ，
1 1 √6
𝑉𝑉 =8×3⋅𝑟𝑟𝐻𝐻 =2×3×√2×2×2 𝑟𝑟 = 3
所以外接球和内切球的表面积比为 .
2 2 2
故答案为： .
𝑅𝑅 :𝑟𝑟 =2:3=3:1
四、解答题3：:1本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知复数 ， ，其中 ．
(1)当 时，求 ； 𝑧𝑧1 =3−4i 𝑧𝑧2 =2+𝑎𝑎i 𝑎𝑎 ∈R
𝑧𝑧1
𝑎𝑎 =1 𝑧𝑧2
(2)若复数 在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．
𝑧𝑧1𝑧𝑧2
【答案】(1)
2 11
5− 5 i
(2)
3
�−∞,−2�
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学科网（北京）股份有限公司【解题思路】（1）根据复数的除法运算求解；
（2）可以复数的乘法运算求解 ，再根据复数的几何意义列式求解.
【解答过程】（1）当 时，𝑧𝑧1𝑧𝑧2 ，
𝑎𝑎 =1 𝑧𝑧2 =2+i
则 .
2
𝑧𝑧1 3−4i (3−4i)(2−i) 6−3i−8i+4i 2 11
2
（2 𝑧𝑧） 2 = 因为2+i = (2+i)(2−，i) = 4−i ， = 所5以 − 5 i ．
𝑧𝑧1 =3−4i 𝑧𝑧2 =2+𝑎𝑎i 𝑧𝑧1𝑧𝑧2 =(3−4i)(2+𝑎𝑎i)=6+4𝑎𝑎+(3𝑎𝑎−8)i
因为 在复平面内所对应的点位于第三象限，所以 ，
𝑧𝑧1𝑧𝑧2 �
6+4𝑎𝑎 <0
解得 ，即a的取值范围是 . 3𝑎𝑎−8<0
3 3
𝑎𝑎 <−2 �−∞,−2�
16．（15分）已知向量 ， .
(1)求 ； 𝑎𝑎⃗ =(1,2) 𝑏𝑏�⃗=(3,−2)
(2)若�𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗� ，且 ，求向量 与向量 的夹角；
(3)若|𝑐𝑐⃗|=√10，且(2𝑎𝑎⃗+𝑐𝑐⃗)⊥𝑐𝑐⃗，求向量𝑎𝑎⃗的坐标.𝑐𝑐 ⃗
【答案|𝑐𝑐】⃗|(=1)√29 �2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�//𝑐𝑐⃗ 𝑐𝑐⃗
2√5
(2)
3π
(3) 4 或
【解𝑐𝑐⃗题=思(5路,2】) （𝑐𝑐⃗1=）(利−用5,−向2量) 的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
（3）运用向量平行的坐标结论计算即可.
【解答过程】（1）因为 ， ，所以 .
所以 𝑎𝑎⃗ =(1,2) .𝑏𝑏� ⃗=(3,−2) 𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗=(−2,4)
2 2
（2）�因𝑎𝑎⃗为−𝑏𝑏�⃗�=�(−2)，+所4以=2√5 .即 .
2
所以 (2𝑎𝑎⃗+𝑐𝑐⃗)⊥𝑐𝑐⃗ (2.即𝑎𝑎⃗+𝑐𝑐⃗)⋅𝑐𝑐⃗=0 2𝑎𝑎⃗⋅𝑐𝑐⃗+𝑐𝑐⃗ =0 ，
2
2|𝑎𝑎⃗||𝑐𝑐⃗|cos⟨𝑎𝑎⃗,𝑐𝑐⃗⟩+|𝑐𝑐⃗| =0 2×√5×√10×cos⟨𝑎𝑎⃗,𝑐𝑐⃗⟩+10=0
所以 .
√2
cos⟨𝑎𝑎⃗,𝑐𝑐⃗⟩=− 2
因为 ，所以 .
3π
⟨𝑎𝑎⃗,𝑐𝑐⃗⟩∈[0,π] ⟨𝑎𝑎⃗,𝑐𝑐⃗⟩= 4
（3）因为 ， ，所以 .
因为 𝑎𝑎⃗ =(1,2，)设𝑏𝑏�⃗=(3,−2) 2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗，= (5,2)
则 �2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�//𝑐𝑐⃗ ，𝑐𝑐⃗=. 𝜆𝜆�2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�=(5𝜆𝜆,2𝜆𝜆)
2
解|得𝑐𝑐⃗|=√29，𝜆𝜆 =√29
𝜆𝜆 =±1
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学科网（北京）股份有限公司故 或 .
17．𝑐𝑐⃗=（(155,2分) ）𝑐𝑐⃗圆=锥(−5,的−2底)面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
𝑃𝑃𝑂𝑂
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何
体的表𝑃𝑃𝑂𝑂面积和体𝑂𝑂积1
.
【答案】(1)
3√3
(2) ，
5√2π
【解𝐻𝐻题=思�4路+】√（2� 1 π）作𝑉𝑉出=侧1面2 的展开图，最短路程即为 的长，由余弦定理可求解；
′
（2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和𝐴𝐴体𝐴𝐴积.
【解答过程】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为 的长，设 为圆锥的母线长，
′
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑙𝑙
由 ，可得 ，即母线 ，
2π
2π⋅1= 3 ⋅𝑙𝑙 𝑙𝑙 =3 𝐴𝐴𝑃𝑃 =3
在 中，由余弦定理可得
′ ′ 2 2 2π
△𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 =�3 +(3) −2×3×3×cos 3 =3√3
所以爬行的最短路程为 ；
（2）因为圆锥的母线长3为√3 ，所以圆锥的高为 ，
2 2
从而挖去的圆柱的高为 𝐴𝐴，𝑃𝑃从=而3挖去的圆柱的侧面ℎ积=为√3 −1 =2√2 ，
1
√2 2π⋅2⋅√2=√2π
又圆锥的表面积为 ，
2 1
所以剩下几何体的
π
表
⋅
面
1
积
+2×2π⋅1⋅3=4π
，
𝐻𝐻 =4π+√2π=�4+√2�π
剩下几何体的体积为 .
1 1 2 5√2π
𝑉𝑉 =3π⋅1⋅2√2−π⋅�2� ⋅√2= 12
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）在① ，② ，③
2 2 1
(sin𝐴𝐴−sin𝐴𝐴)sin(𝐴𝐴+𝐴𝐴)=sin 𝐴𝐴−sin 𝐴𝐴 √3sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴−2cos2𝐴𝐴 =1 𝑏𝑏cos𝐴𝐴 =𝑎𝑎−
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
√3
已3 知𝑐𝑐sin𝐴𝐴 是 的三个内角 的对边，且__________.
(1)求𝑎𝑎,；𝑏𝑏, 𝑐𝑐 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐴𝐴,𝐴𝐴
(2)若𝐴𝐴 ，求锐角 的周长的取值范围.
【答案𝑏𝑏】=
(1
2 )选①②③△，𝐴𝐴答𝐴𝐴案𝐴𝐴均为
π
3
(2)
【解�题2+思2路√】3,6（� 1）选①，由正弦定理得到 ，利用余弦定理得到 ；选②，利用恒等变
2 2 2 π
𝑎𝑎 +𝑐𝑐 −𝑏𝑏 =𝑎𝑎𝑐𝑐 𝐴𝐴 =3
换得到 ，结合 ，求出 ；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到 ，
π π
求出答案 sin ； �2 𝐴𝐴−6�=1 0<𝐴𝐴 <π 𝐴𝐴 = 3 tan𝐴𝐴 =√3
（2）由正弦定理得到 ，变形得到 的周长 ，利用
4√3 4√3 π
𝑎𝑎 = 3 sin𝐴𝐴,𝑐𝑐 = 3 sin𝐴𝐴 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑙𝑙△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =2+4sin�𝐴𝐴+6� △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
是锐角三角形，所以 ，结合正弦曲线求出取值范围.
π π
6<𝐴𝐴 < 2
【解答过程】（1）选①，由 ，
2 2
可得 (sin𝐴𝐴−sin𝐴𝐴)sin(𝐴𝐴+𝐴𝐴)=sin 𝐴𝐴，− sin 𝐴𝐴
因为(sin𝐴𝐴−sin𝐴𝐴)s及in(正𝐴𝐴弦+定𝐴𝐴)理=，(s可in得𝐴𝐴−sin𝐴𝐴)(sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴) ，
所以𝐴𝐴+𝐴𝐴+𝐴𝐴 =π ，整理得(𝑎𝑎−𝑐𝑐)sin𝐴𝐴 =(𝑎𝑎−𝑏𝑏，)( sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴)
2 2 2
(𝑎𝑎−𝑐𝑐)𝑐𝑐 =(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎+𝑏𝑏) 𝑎𝑎 +𝑐𝑐 −𝑏𝑏 =𝑎𝑎𝑐𝑐
则 ，因为 ，所以 ；
2 2 2
𝑎𝑎 +𝑐𝑐 −𝑏𝑏 1 π
cos𝐴𝐴 = 2𝑎𝑎𝑐𝑐 =2 0<𝐴𝐴 <π 𝐴𝐴 = 3
选②，由 ，可得 ，
1
√3sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴−2cos2𝐴𝐴 =1 √3sin2𝐴𝐴−cos2𝐴𝐴 =2
即 ，
π
sin�2𝐴𝐴−6�=1
因为 ，可得 ，所以 ，即 ；
π π 11 π π π
0<𝐴𝐴 <π −6<2𝐴𝐴−6< 6 π 2𝐴𝐴−6= 2 𝐴𝐴 =3
选③，由 ，由正弦定理得 ，
√3 √3
𝑏𝑏cos𝐴𝐴 =𝑎𝑎− 3 𝑐𝑐sin𝐴𝐴 sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴 =sin𝐴𝐴− 3 sin𝐴𝐴sin𝐴𝐴
即 ，
√3
sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴 =sin(𝐴𝐴+𝐴𝐴)− 3 sin𝐴𝐴sin𝐴𝐴
即 ，
√3
sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴 =sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴+cos𝐴𝐴sin𝐴𝐴− 3 sin𝐴𝐴sin𝐴𝐴
整理得 ，
√3
sin𝐴𝐴�cos𝐴𝐴− 3 sin𝐴𝐴�=0
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，可得 ，
√3
0<𝐴𝐴 <π,sin𝐴𝐴 >0 cos𝐴𝐴− 3 sin𝐴𝐴 =0
即 ，因为 ，所以 .
π
tan𝐴𝐴 =√3 0<𝐴𝐴 <π 𝐴𝐴 =3
（2）由 ，可得 ，
π 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 4√3
𝐴𝐴 =3,𝑏𝑏 =2 sin𝐴𝐴=sin𝐶𝐶 =sin𝐵𝐵= 3
故 ，
4√3 4√3
𝑎𝑎 = 3 sin𝐴𝐴,𝑐𝑐 = 3 sin𝐴𝐴
所以周长 ，
4√3
𝑙𝑙△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 =2+ 3 (sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴)
又由 ，可得 ，
2π
𝐴𝐴+𝐴𝐴+𝐴𝐴 =π 𝐴𝐴+𝐴𝐴 = 3
4√3 4√3 2π
𝑙𝑙△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =2+ (sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴)=2+ �sin𝐴𝐴+sin� −𝐴𝐴��
3 3 3
4√3 √3 1 4√3 3 √3
=2+ �sin𝐴𝐴+ cos𝐴𝐴+ sin𝐴𝐴�=2+ � sin𝐴𝐴+ cos𝐴𝐴�
3 2 2 ，3 2 2
4√3 π π
=2+ 3 ⋅√3sin�𝐴𝐴+6�=2+4sin�𝐴𝐴+6�
又因为 是锐角三角形，所以 ， ，
π π
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0<𝐴𝐴 <2 0<𝐴𝐴 < 2
即 ， ，解得 ，
π 2π π π π
0<𝐴𝐴 < 2 0< 3 −𝐴𝐴 < 2 6<𝐴𝐴< 2
可得 ，所以 ，
π π 2π √3 π
3<𝐴𝐴+6< 3 2
