文档内容
学年高一数学下学期期中模拟卷（提高篇）
2025-2026
【人教A版】
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：人教A版必修第二册第六章~第八章8.3；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）若复数z满足 ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 4i+𝑧𝑧 =−3+i B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． 𝑎𝑎⃗ B =．(1 ,2) 𝑏𝑏�⃗ =(2,0) 𝑐𝑐⃗ C =．( 4 0 ,1) 𝑎𝑎⃗//(𝑏𝑏�⃗+𝜆𝜆𝑐𝑐⃗ D )．2 𝜆𝜆 =
1 1
3．（5 − 分2）已知正三棱柱 2 的底面边长为 ，高为 ，一质点从 点出发，沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达 点的最短路线𝐴𝐴𝐴𝐴长𝐴𝐴为−（𝐴𝐴1 𝐴𝐴 1）𝐴𝐴1 2 5 𝐴𝐴
𝐴𝐴1
第 1 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（5√分6）1 已知复数 10 是关于x的方程 5√5 （ 13）的一个根，则 在复
2
平面内对应的点位于（𝑧𝑧1 = ）1 −2i 𝑥𝑥 +𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑞𝑞 =0 𝑝𝑝,𝑞𝑞 ∈R 𝑧𝑧2 =𝑝𝑝+𝑞𝑞i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分） 外接圆半径为 ，则 的面积为（ ）
√2
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2√2,sin𝐴𝐴+sin𝐴𝐴 = 2 ,2𝑏𝑏 =𝑎𝑎+𝑐𝑐 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
A． B． C． D．
4√2
6．（5 5 分√） 2 如图，在棱长为3 的正方体内有两√3 个 − 球 1 、 相外切，两 6√球 2 又 −3 分√别 7 与正方体内切，则两球
体积之和的最小值为（ ） 3+√3 𝑂𝑂1 𝑂𝑂2
A． B． C． D．
7．（59分π）已知 是边长为82π的正八边形 12π内的一点， 为其中6心π，则 的取值范
围是（ ） 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝑂𝑂����𝐴𝐴�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗+�𝑂𝑂���𝐴𝐴�⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗
A． B．
C．�−2√2 ,4+2√2� D．�−4,4+ 2√2�
(−2,4) (−4,4)
8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，边BC上一点D
𝑐𝑐 𝑏𝑏+𝑐𝑐−𝑎𝑎
满足 ， ，则 的最小值为（ ） sin𝐴𝐴+sin𝐵𝐵+sin𝐶𝐶 = sin𝐵𝐵
A𝐴𝐴．𝐴𝐴 =1 𝑏𝑏⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 =B𝑐𝑐．⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 4𝑐𝑐+𝑏𝑏 C． D．
二、多项5+选√择2题：本题共37小题，每小题6分，共918分，在每小题给出5的+四2个√2选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知向量 ， ，则（ ）
A． 𝑎𝑎⃗ =(1,2) 𝑏𝑏�⃗ =(−1,1) B．
C．向𝑏𝑏�⃗⋅量�𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�=与3
的夹角为
D．�向2𝑎𝑎量⃗+在𝑏𝑏�⃗�/方/�向𝑎𝑎⃗+上2的𝑏𝑏�⃗�投影向量为
π 1
10．（6分） 2 如 𝑎𝑎⃗− 图 𝑏𝑏� ， ⃗ 该 𝑎𝑎⃗ 几 − 何 2𝑏𝑏�⃗ 体是高相等4的正四棱柱和正四 𝑎𝑎⃗ 棱 𝑏𝑏�⃗ 锥组成的几何体，若该3𝑏𝑏�⃗ 几何体底面边长和上面正
四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
第 2 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积5√为2cm
2
�100√3+200√2�cm
C．该几何体的体积为
2000√2 3
3 cm
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
11．（6分）已知 ，内角 分别对应边 则下列命 � 题15中0正+确50的√6是cm（ ）
A．若 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐴𝐴,𝐴𝐴，则 为𝑎𝑎,钝𝑏𝑏,角𝑐𝑐 三角形
2 2 2
B．在锐sin角𝐴𝐴+sin中𝐴𝐴，+不co等s 式𝐴𝐴 <1 △𝐴𝐴恒𝐴𝐴𝐴𝐴成立
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 sin𝐴𝐴>cos𝐴𝐴
C．若 ，则 的面积为
∘ √3
𝐴𝐴𝐴𝐴 =√3,𝐴𝐴𝐴𝐴 =1,𝐴𝐴 =30 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2
D．若 ，且 有两解，则 的取值范围是
π
𝐴𝐴 =3,𝑎𝑎 =2√3 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 �3,2√3�
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数 的共轭复数 在复平面内对应的点为 ，则 =__________.
𝑧𝑧
𝑧𝑧 𝑧𝑧 (2,−4) �1+i�
13．（5分）在 中，点 是中线 上一点（不包含端点），且 ，则 的最小值是
1 8
Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =𝑥𝑥𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗+𝑦𝑦𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 𝑥𝑥+𝑦𝑦
__________.
14．（5分）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多
面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学
家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，
如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为__________．
第 3 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知复数 ， ，其中 ．
(1)当 时，求 ； 𝑧𝑧1 =3−4i 𝑧𝑧2 =2+𝑎𝑎i 𝑎𝑎 ∈R
𝑧𝑧1
𝑎𝑎 =1 𝑧𝑧2
(2)若复数 在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．
𝑧𝑧1𝑧𝑧2
16．（15分）已知向量 ， .
(1)求 ； 𝑎𝑎⃗ =(1,2) 𝑏𝑏�⃗=(3,−2)
(2)若�𝑎𝑎⃗−𝑏𝑏�⃗� ，且 ，求向量 与向量 的夹角；
(3)若|𝑐𝑐⃗|=√10，且(2𝑎𝑎⃗+𝑐𝑐⃗)⊥𝑐𝑐⃗，求向量𝑎𝑎⃗的坐标.𝑐𝑐 ⃗
|𝑐𝑐⃗|=√29 �2𝑎𝑎⃗+𝑏𝑏�⃗�//𝑐𝑐⃗ 𝑐𝑐⃗
17．（15分）圆锥 的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
𝑃𝑃𝑂𝑂
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何
𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑂𝑂1
第 4 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司体的表面积和体积.
18．（17分）在① ，② ，③
2 2 1
(sin𝐴𝐴−sin𝐴𝐴)sin(𝐴𝐴+𝐴𝐴)=sin 𝐴𝐴−sin 𝐴𝐴 √3sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴−2cos2𝐴𝐴 =1 𝑏𝑏cos𝐴𝐴 =𝑎𝑎−
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
√3
已3 知𝑐𝑐sin𝐴𝐴 是 的三个内角 的对边，且__________.
(1)求𝑎𝑎,；𝑏𝑏, 𝑐𝑐 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐴𝐴,𝐴𝐴
(2)若𝐴𝐴 ，求锐角 的周长的取值范围.
𝑏𝑏 =2 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
19．（17分）设平面内两个非零向量 ， 的夹角为 ，定义一种运算“ ”： .试求解下
列问题： 𝑚𝑚��⃗ 𝑛𝑛�⃗ 𝜃𝜃 ⊗ 𝑚𝑚��⃗⊗𝑛𝑛�⃗=|𝑚𝑚��⃗||𝑛𝑛�⃗|sin𝜃𝜃
(1)已知向量 ， 满足 ， ， ，求 的值；
(2)①若 𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗ ，𝑎𝑎⃗ =(1,2) ，|𝑏𝑏�⃗用|=坐1标𝑎𝑎⃗，⋅𝑏𝑏�⃗ =，2 ，𝑎𝑎⃗⊗表示𝑏𝑏�⃗ ；
②在平面𝑎𝑎⃗ 直=角(𝑥𝑥1 坐,𝑦𝑦标 1)系中𝑏𝑏�⃗ ，=已(𝑥𝑥2 知,𝑦𝑦点 2) ， 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 ，𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 ， 𝑎𝑎⃗⊗𝑏𝑏的 �⃗ 面积为 ，求 .
7
𝐴𝐴(2,1) 𝐴𝐴(−1,2) 𝐴𝐴(0,𝑡𝑡) △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2 𝑡𝑡
(3)已知向量 ， ， ，求 的最小值.
1 2 2 1 π
𝑎𝑎⃗ =�2cos𝛼𝛼,sin𝛼𝛼� 𝑏𝑏�⃗=�sin𝛼𝛼,−2cos𝛼𝛼� 𝛼𝛼 ∈�0,2� 𝑎𝑎⃗⊗𝑏𝑏�⃗
第 5 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司
