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专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 不等式的相关定义】
1．（2022·河北·模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式即可判断．
【详解】A、∵m不是负数，
∴m≥0，A选项错误；
B、∵m不大于5，
∴m≤5，B选项错误；
C、∵n与4的差是正数，
∴n−4＞0，C选项正确；
D、∵n不等于4，
∴n＜4或n＞4，D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2．（2022·四川绵阳·三模）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，
那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．3．（2022·河南·模拟预测）写出一个解集为x≥1的一元一次不等式:_____________.
【答案】x-1≥0(答案不唯一)
【分析】据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，
所以答案不唯一．
【详解】解：移项，得
x-1≥0，
故答案为：x-1≥0（答案不唯一）.
【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．
4．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）当k=______时，不等式(k−2)xk2−3+2>0是关于x的一元一次不等
式．
【答案】－2
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵不等式(k−2)xk2−3+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴k−2≠0，k2−3=1，
解得：k＝－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数是
1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式．
5．（2022·黑龙江绥化·一模）已知(k+3)x|k|−2+51
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，b＜2a﹣1，
∴a＜2a﹣1，
∴a＞1．
故填：a＞1．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．
8．（2022·河南南阳·三模）若x>y，则3−5x______3−5 y（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两
边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变，据此变形即可得．
【详解】解：∵x>y，
∴−5x<−5 y，
∴3−5x<3−5 y，
故答案为：<．
【点睛】题目主要考查不等式的性质，深刻理解不等式的性质进行变形是解题关键．
9．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若
n−1 n−2
x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则 > ．
n n−1【答案】见解析
n−1 n−2 1
【分析】先求出 − = ，根据n＜0，得出n−1＜0，从而得出n(n−1)＞0，即
n n−1 n(n−1)
1
＞0，从而证明结论．
n(n−1)
n−1 n−2
【详解】证明： −
n n−1
(n−1) 2−n(n−2)
=
n(n−1)
1
=
n(n−1)
∵n＜0，
∴n−1＜0，
∴n(n−1)＞0，
n−1 n−2
∴ > ．
n n−1
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1．
（1）请用含b的式子表示a；
（2）求关于x的不等式ax>b的解集．
1
【答案】（1）a=2b；（2）x＜ .
2
5b−a
【分析】（1）根据不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1，先解不等式可得：x＜ ，从而可得：
2a−b
5b−a
=1,变形后可得答案；
2a−b
（2）先求解a＜0, 再解不等式，结合a=2b，从而可得答案.
【详解】解：（1）(2a−b)x+a−5b>0
移项得：(2a−b)x＞5b−a
∵ 关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1．
5b−a
∴x＜ ，
2a−b5b−a
∴ =1,
2a−b
去分母得：5b−a=2a−b,
∴a=2b.
（2）由（1）得：2a−b＜0,a=2b,
1
∴2a− a＜0,
2
∴a＜0,
∵ ax>b
b b 1
不等式的两边都除以a得：x＜ = = ,
a 2b 2
1
所以不等式的解集为：x＜ .
2
【点睛】本题考查的是解含字母系数的一元一次不等式，难点是没有注意字母系数的符号，从而在化系数
为1时，出现错误.
【考点3 不等式的解集】
11．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4
不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴(1−5)(a−3a+2)≤0 且(4−5)(4a−3a+2)>0 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，
解得：a＜﹣2．
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解
的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列说法错误的是（ ）
A．不等式x−3>2的解集是x>5
B．不等式x<3的整数解有无数个
C．不等式x+3<3的整数解是0D．x=0是不等式2x<3的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判
断．
【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
2
13．（2022·福建省福州屏东中学二模）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x< ，则a的取值
a−1
范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
2
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x< ，，
a−1
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
14．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心三模）已知mm B．x−1
∴不等式组的解集为：−1＜x≤2，
故选C．
【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（2022·福建省泉州实验中学三模）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】由数轴可得不等式组解集，然后分别解不等式组判断即可．
【详解】解：由数轴得，不等式组解集为：−13
【答案】A【分析】根据数轴上表示出的解集，找出不等式的解集即可．
【详解】根据数轴得：x≤3，
则此不等式组的解集为x≤3，
故选A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．（2022·宁夏银川·一模）如图所示，直线l经过第二，三，四象限，l的解析式是y=(m−2)x+n，则m
的取值范围则数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到m-2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方
法进行判断．
【详解】解：∵直线y=(m-2)x+n经过第二、三、四象限，
∴m-2＜0且n＜0，
∴m＜2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k
＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减
小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
20．（2022·河北保定·一模）不等式2x−1<4(x+1)的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的
数是（ ）A．−1 B．−2 C．−1.5 D．−2.5
【答案】D
【分析】首先将该不等式的解集求出来，由此进一步判断即可.
【详解】原不等式去掉括号可得：2x−1<4x+4，
移项化简可得：−2x<5，
解得：x>−2.5，
∴阴影部分盖住的数是−2.5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握相关方法是解题关键.
【考点5 解一元一次不等式（组）】
x
21．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）已知关于x的不等式 <7的解也是不等式
a
2x−7a a
> −1的解，则常数a的取值范围是_____．
5 2
10
【答案】− ≤a<0
9
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
2x−7a a
【详解】解：关于x的不等式 > −1，
5 2
19 5
解得：x> a− ，
4 2
x 2x−7a a
∵关于x的不等式 <7的解也是不等式 > −1的解，
a 5 2
∴ a＜0，
x
∴不等式 <7的解集是x>7a，
a
19 5 10
∴ 7a≥ a− ，解得：a≥− ，
4 2 9
∵a＜0，10
∴− ≤a<0，
9
10
故答案为：− ≤a<0．
9
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小
列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
22．（2022·河南·一模）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如：[1,2]=1，[3]=3，
x+2
[−2.5]=−3，若[ ]=−5，则整数x的取值是__________．
3
【答案】-17或-16或-15
【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】∵[x]表示不大于x的最大整数，
x+2
∴-5≤ ＜-5+1，
3
解得-17≤x＜-14．
∵x是整数，
∴x取-17，-16，-15.
故答案为：-17，-16，-15．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出
不等式组的解集．
23．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解不等式组¿，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为___________．
【答案】(1)x≥−2
(2)x>2
(3)见解析
(4)x>2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，x−2x≤1+1，
∴x≥−2，
故答案是：x≥−2．
（2）解：解不等式②，3x−4x<1−3，
∴x>2，
故答案是：x>2．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
故答案如图所示．
（4）解：根据图示得，原不等式组的解集为x>2，
故答案是：x>2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2022·湖南常德·一模）解不等式组¿，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集是1≤x＜3，在数轴上表示见解析.
【分析】先根据解不等式组的方法求出原不等式组的姐姐，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可解答
本题．
【详解】解：¿
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜3，
故原不等式的解集是1≤x＜3，在数轴上表示如下图所示，
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
25．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）解不等式组¿，并在所给的数轴上表示其解集
【答案】−1≤x<3，数轴见解析
【分析】求出每个不等式的解集，得到不等式组的解集，在数轴上表示出来即可．
【详解】解：¿
解不等式①得，x<3，
解不等式②得，x≥−1，
表示在数轴上如下，
∴不等式组的解集是−1≤x<3．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】
26．（2022·河南·模拟预测）关于x的不等式组¿的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜7 B．6＜a≤7 C．6≤a≤7 D．6≤a＜7
【答案】B
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得a的
范围．
【详解】解：¿
解①得x＜a，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜a．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜a≤7．
故选B．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
27．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅有1，2，那么适合这个不
等式组的整数a，b组成的有序数对(a,b)共有（ ）个
A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D
【分析】先求出不等式组的解，得出关于a、b的不等式组，求出整数a、b的值，即可得出答案．
【详解】解：¿，
a
解不等式①得：x> ，
3
b
解不等式②得：x≤ ，
2
a b
∴不等式组的解集为 8；
由②得：x≤4m−2，
∴不等式组的解集为82，
解不等式②，得：x≤a．
∴如果它的解集是22，故④错误；
综上可知，正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．掌握求不等式组解集的口诀“同
大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
32．（2022·云南红河·一模）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组¿无解，
则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17 B．26 C．27 D．30【答案】B
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵ΔABC三边长分别为3、a、7(a为整数），
∴7−3m，
∵不等式组无解，
∴m≥5．
故答案为：m≥5
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大
小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
35．（2022·江苏·南外雨花分校一模）关于x的不等式组¿
(1)当m=1时，解该不等式组；
(2)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是______________________．
【答案】(1)−2−2，
故不等式组的解集为：−2−2，
故不等式组的解集为：−20，
3
∴a<5且a≠2，
解不等式组¿，
解不等式①得：y<−2；
解不等式②得：y≤a．
∵不等式组的解集为y<−2，
∴a≥−2．
即−2≤a<5且a≠2，
∴整数a可取整数为−2，−1，0，1，3，4；
故整数a的和为(−2)+(−1)+0+1+3+4=5
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集
为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
ax+by
40．（2022·广西防城港·一模）对x，y定义一种新运算Τ，规定Τ(x,y)= (其中a，b均为非零常
2x+ y
a×b+b×1
数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：Τ(0,1)= =b.
2×0+1
已知Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，
(1)求a，b的值；
Τ(2m,5−4m)≤4,
(2)若关于m的不等式组{ 恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
Τ(m,3−2m)>p
1
【答案】（1）a，b的值分别为1，3；（2）−2≤p<− ．
3
【分析】（1）已知T的两对值，分别代入T中计算，求出a与b的值即可；
（2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．【详解】（1）由Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，
a×1+b×(−1) a×4+b×2
得 =−2， =1，
2×1−1 2×4+2
a−b=−2
整理得：{ ，
4a+2b=10
a=1
解得{ ，
b=3
即a，b的值分别为1，3；
x+3 y
（2）由（1）得Τ(x,y)= ，
2x+ y
Τ(2m,5−4m)≤4,
则不等式组{
Τ(m,3−2m)>p
−10m≤5,
化为{
−5m>3p−9,
1 9−3p
解得− ≤m< .
2 5
Τ(2m,5−4m)≤4,
∵不等式组{ 恰好有3个整数解，
Τ(m,3−2m)>p
9−3p
∴2< ≤3，
5
1
解得−2≤p<− ．
3
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键．
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】
41．（2022·浙江杭州·模拟预测）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于
500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】根据长方形的宽小于长和长方形的面积不小于500cm2列出不等式即可．
【详解】解：由题意可知
¿
故选A．
【点睛】此题考查的是根据题意，列不等式组，掌握长方形的宽小于长和长方形的面积公式是解决此题的
关键．42．（2022·天津市东丽中学模拟预测）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品
积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下
列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．120x≥80×5% B．120x﹣80≥80×5%
x x
C．120× ≥80×5% D．120× ﹣80≥80×5%
10 10
【答案】D
【分析】根据题意找到不等关系再代入对应的数据即可.
【详解】设该商品打x折销售，根据题意可得：
x
120× −80≥80×5%
10
故选：D．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是找到题目中的不等关系，再代入数据即可.
43．（2022·山东省临邑县宿安中学模拟预测）北京2022冬奥会吉样物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家
的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900
元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+80(10−x)>900 B．100x+80(10−x)<900
C．100x+80(10−x)≥900 D．100x+80(10−x)≤900
【答案】D
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融(10−x)件，再根据总共花费不超过900元，列出不等式即
可．
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融(10−x)件，
由题意得100x+80(10−x)≤900，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
44．（2022·广东深圳·三模）每年的6月5日为世界环境日．中国生态环境部将“共建清洁美丽世界”作为
今年环境日的主题，旨在促进全社会增强生态环境保护意识，投身生态文明建设．某校学生会积极响应国家号召，组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八
年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名
八年级学生参加活动？设参加活动的八年级学生x名，由题意得（ ）
A．15x＋20（100﹣x）≥1800 B．15x＋20（100﹣x）＞1800
C．20x＋15（100﹣x）≥1800 D．20x＋15（100﹣x）≤1800
【答案】C
【分析】设参加活动的八年级学生x名，，则参加活动的七年级学生为（100-x）名，由收集塑料瓶总数不
少于1800个建立不等式即可．
【详解】设参加活动的八年级学生x名，则七年级参加活动的人数为（100-x）名，由题意得,
20x＋15（100﹣x）≥1800
故选C．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1800个建立不
等式是解题的关键．
45．（2022·福建三明·三模）某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12
辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况
下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排x辆A型货车参与运货，可得
不等式为______．
【答案】20x+15(12−x)≥200
【分析】设安排x辆A型货车参与运货，根据把这200吨货物一次性装运完成，可列出不等式．
【详解】解：设安排x辆A型货车参与运货，
由题意可得：20x+15(12−x)≥200，
故答案为：20x+15(12−x)≥200．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到不
等关系．
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】
46．（2022·广东·丰顺县东海中学一模）如图，要设计一个长为 15cm，宽为 10cm 的矩形图案，其中有
两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为 5：4，若要使所有彩条所占面积是 50cm2，应如何设计每
个彩条的宽度？5
【答案】设计每个横彩条的宽度为 cm，每个竖彩条的宽度为 1cm
4
【分析】设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm，根据所有彩条所占面积是
50cm2，列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm．
依题意，得(15−2×5x)(10−2×4x)=15×10−50．
5 1
解得x = ，x = ．
1 2 2 4
由题意，得 ¿
5
解得 x< ．
4
1
∴x= ．
4
1 5 1
∴5x=5× = (cm)，4x=4× =1(cm)．
4 4 4
5
答：设计每个横彩条的宽度为 cm，每个竖彩条的宽度为 1cm．
4
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立正确的等量关系是解题的关键．
47．（2022·黑龙江·虎林市实验中学二模）夏季即将来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调
每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，
请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价．
(2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，
请求出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求商场购进多
少台甲种空调所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元
(2)y=200x+6000
(3)商场购进12台甲种空调所获得的利润最大，最大利润是8400元【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为(x+500)元，根据用40000元购进甲种
空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据甲种空调x台，得到乙中空调(20−x)台，由售价﹣进价＝利润表示出y与x的函数解析式即可；
（3）设购买甲种空调x台，则购买乙种空调(20−x)台，根据商场计划用不超过36000元购进空调，且甲
种空调至少购进10台，求出x的范围，求出最大利润．
【详解】（1）解：设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为(x+500)元，
4000 3000
根据题意得： = ，
x+500 x
去分母得：40000x=30000x+15000000，
解得：x=1500，
经检验x=1500是分式方程的解，且x+500=2000，
则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元；
（2）解：根据题意得：y=(2500−2000)x+(1800−1500)(20−x)=200x+6000；
（3）解：设购买甲种空调x台，则购买乙种空调(20−x)台，
根据题意得：2000x+1500(20−x)≤36000，且x≥10，
解得：10≤x≤12，
因为y=200x+6000，y随x的增大而增大，
所以当x=12时，利润最大，最大利润为8400元，
答：商场购进12台甲种空调所获得的利润最大，最大利润是8400元．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量
关系是解本题的关键．
48．（2022·安徽六安·模拟预测）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．
经了解，购进2千克甲水果和3千克乙水果共需23元，购进3千克甲水果和1千克乙水果共需17元，已知
甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和10元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的1.5倍，则水果店应
如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元
(2)购进甲种水果120千克，乙种水果80千克才能获得最大利润，最大利润为640元．【分析】（1）设甲种水果的进价为x元，乙种水果的进价为y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
(2) 根据总利润＝每件利润×销售量，设购进甲种水果m千克，则乙种水果(200−m)千克，利润为w元，根据题
意列出关系式求解即可．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x元，甲种水果的进价为y元，根据题意得：
¿，解得¿，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元．
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果(200−m)千克，利润为w元，
由题意得：
w=(6−4)m+(10−5)(200−m)=−3m+1000，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的1.5倍，
∴m≥1.5(200−m)，
解得m≥120，
∵−3<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=120时，w最大，最大值=−360+1000=640，则200−m=80，
答：购进甲种水果120千克，乙种水果80千克才能获得最大利润，最大利润为640元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列
出二元一次方程组及对应的关系式．
49．（2022·陕西西安·模拟预测）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中
间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米．
(1)如果要围成面积为63平方米的花圃，那么AB的长是多少米？
(2)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)7米
(2)不能，理由见解析
【分析】(1)首先根据题意列出不等式组，可求得x的取值范围，再根据各边长度间的关系可得出
BC=AD=(30−3x)米，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)首先根据围成花圃的面积为78平方米，即可得出关于x的一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式，
即可判定能否围成面积为78平方米的花圃．
【详解】（1）解：∵AB=x米
∴BC=AD=(30−3x)米，
∵¿
20
∴ ≤x<10，
3
根据题意得：x(30−3x)=63，
解得x =7，x =3(不符合题意，舍去)，
1 2
答：如果要围成面积为63平方米的花圃，那么AB的长是7米；
（2）解：不能围成面积为78平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：x(30−3x)=78，
整理得：x2−10x+26=0，
∵Δ=(−10) 2−4×1×26=−4<0，
∴该方程没有实数根，
故不能围成面积为78平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确
列出一元二次方程，灵活运用一元二次方程根的判别式．
50．（2022·陕西·西北轻工业学院附中三模）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，
设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身
的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；
x张白板纸裁成盒身 张白板纸裁成盒盖
盒身的个
0
数
盒盖的个
0
数②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁
成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两
部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．
【答案】(1)①3x，(11-x)，5(11-x)；②15
(2)34个
(3)79
【分析】（1）①根据题意可填表即可；②由题意可得3x×2=5(11−x)，求出做盒身的白纸板的数量，最
后求出盒子的个数即可；
（2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有(23−y)张，列出方程2×3 y+2×4=3+5(23−y)
求解即可；
（3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有（n−z−1） 张，列方程为
3×2+2×3z=5（n−z−1）+1，求出n与z的关系式为5n＝11z+10，再由70≤n≤80可得
340 390
350≤11z+10≤400，即 ≤z≤ ，进而求出n的值．
11 11
【详解】（1）解：①完成下表为：
x张白板纸裁成盒身 张白板纸裁成盒盖
盒身的个
3x 0
数
盒盖的个
0 5(11-x)
数
故答案为：3x，5(11−x)；
②由题意可得：3x×2=5(11−x)，解得x=5，
∴有5张白板纸做盒身，
∴最多可以做15个包装盒；
答：最多可做15个包装盒
（2）解：设裁成盒身用y张白板纸，则裁盒盖的白板纸有(23−y)张，
由题意可得2×3 y+2×4=3+5(23−y)，解得y=10，∴10张白板纸能做30个盒身，
∴可以做34个包装盒；
（3）解：设用z张白板纸裁盒身，则裁盒盖的白板纸有（n− 张z，−1）
由题意可得，3×2+2×3z=5（n−z−1）+1
∴5n＝11z+10，
∵70≤n≤80，
∴350≤11z+10≤400，
340 390
∴ ≤z≤ ，即31≤z≤35，
11 11
∵5n＝11z+10
∴n的值为79．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、
找准等量关系、列出代数式和方程是解题的关键．
