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高二上学期开学摸底卷01 重难点检测卷
【考试范围：沪教版高一下学期全部内容】
学校：________姓名：________班级：________考号：________
注意事项：
本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分)
1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若 ，则 .
【答案】
【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可．
【详解】 ，
故答案为：
2．（23-24高一下·上海松江·期末）若 是方程 的解，其中 ，则 ．
【答案】 /
【分析】将 代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得： ，即 ，
所以 或 ，
所以 或 ， ，
又 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在 中，已知 ，则该三角形最小角的余
弦值为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可.
【详解】由正弦定理得 ，
不妨设 ，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角，
则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为 .
故答案为： .
4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知 为奇函数，且m满足不等式 ，则
m的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】利用奇函数性质求出 的关系式，再解不等式求出 的范围即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，而该函数为奇函数，
则当 时， ，即 ，解得 ，
经检验当 时，函数 为奇函数，
由 ，得 ，因此 或 或 ，
所以m的值为 或 或 .
故答案为： 或 或
5．（23-24高一下·上海·期末）在 中，如果三条边 ，那么角 ．（用反三角
形式表示角 ）
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【分析】先设 ，然后结合余弦定理可求 ，进而可求 ．
【详解】解： 在 中， ，
设 ，
根据余弦定理得， ，
故 ．
故答案为： ．
6．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数 对任意的实数 均满足
，则 ．
【答案】
【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得 为偶函数，可求得 的值，代入求解即可.
【详解】因为 ，
又因为f(−x)=f(x)，所以函数 为偶函数，
即 ， ，
，
所以 ， .
故答案为： .
7．（24-25高一下·上海·单元测试）在 ABC中， ，则角B的大小是 ；若 ，
△
则 ABC的面积的最大值是 .
△
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【分析】根据条件 ，结合余弦定理得 ，再由基本不等式变形求出 的最大值，最后利
用三角形面积公式表示出 ，代入 的最大值即可求三角形的面积最大值.
【详解】因为 ，由余弦定理得 ，所以 .
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
面积 ，所以三角形面积的最大值为 .
故答案为： ；
8．（23-24高一下·上海·期末）已知复数 的模长都为1，且复数 的实部为 ，则 的最
大值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式 求解.
【详解】因为 ， ， 的模长都为1，所以 ，
又 的实部为 ，所以 的虚部可能为 ，
所以 ，所以 .
所以
.
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
9．（23-24高一下·上海·期末）已知复数 和复数 满足： ，则
．
【答案】
【分析】设 ，根据题意结合共轭复数的概念可得 和 ，进而可
得 ，再结合复数的乘法运算求解即可.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，可得 ；
且 ，可得 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
则 ，
，
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
故答案为： .
10．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，
点F在BE上，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得 ，再利用平面向量基本
定理建立方程即可求得参数.
【详解】由题意可知 ，因为点F在BE上，
所以 ，
1
所以 ，所以λ= ，所以 .
2
故答案为：
11．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径 的半圆， 为圆心，点 在半圆弧上， ，
线段 上有动点 ，则 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】先分别过 作 、 交 于点 和 ，求出 ，设 ，接着根据数
量积定义以及题中所给条件求得 ，从而求出 即可得解.
【详解】分别过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，
则 ，
设 ，则 ，
由题可知 即 ，
所以 ，故 的最小值为 .
故答案为： .
12．（23-24高一下·上海静安·期末）函数 的部分图像的示意图
如图所示，已知 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得 ，代入计算即可
学科网（北京）股份有限公司得解.
【详解】由图可得 ，又 ，故 ，
，又 ，故 ，
则有 ， ，即 ， ，
又 ，则 ，即 ，
由 ，则 ，
即 ，
故 或 ， ，
即 或 ， ，
又 ，故 ，
则 .
故答案为： .
二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分）
13．（23-24高一下·上海·期中）已知 是第三象限角， ，则 的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 是第三象限角和商数关系 结合 即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 即 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
因为 是第三象限角，所以 .
故选：D.
14．（24-25高一下·上海·单元测试）若 ， ，且点 在线段 的延长线上，且
，则点 的坐标为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
【答案】D
【分析】假设 的坐标，进而根据条件 进行运算即可求解.
【详解】因为 在线段 的延长线上，且
所以
因为 ，假设
可得
由此可得 ，解得
所以点
故选：D.
15．（23-24高一下·上海·期末）z ,z 都是复数，则下列命题中正确的是（ ）
1 2
A．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司B．
C．
D． 则
【答案】C
【分析】举反例即可判断A，设 ，计算出 和 即可判断B，设 ， ，分别
计算 和 即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D
【详解】对于A，当 时， ，但 ，故A错误，
对于B，设 ，显
然， ，故B错误，
对于C，设 ，
所以 ，
所以
，
又
所以 ，故C正确
对于D选项，若 ，则虚数 不能比较大小，故D错误，
故选：C
16．（23-24高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公
学科网（北京）股份有限公司式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为：
下列判断错误的是（ ）
A．当 时，辅助角
B．当 时，辅助角
C．当 时，辅助角
D．当 时，辅助角
【答案】D
【分析】根据 的正负确定 的正负，进而结合 确定 的范围，再结合反三角函数的定
义即可求解.
【详解】 ，
其中 ，
当 时， ，则 ，所以 ，故A正确；
当 时， ，则 ，所以 ，故B正确；
当 时， ，则 ，所以 ，故C正确；
当 时， ，则 ，所以 ，故D错误.
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)
17．（23-24高一下·上海·期中）（1）化简
（2）已知 ，求 的值
【答案】（1）0；（2） .
【分析】（1）根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式即可求解.
（2）分式 分子分母同时除以 即弦化切即可计算求解.
【详解】（1）
.
（2）因为 ，
所以 .
18．（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非
负半轴重合，终边经过点 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可；
（2）求出 ，再利用两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）因为点 为角 终边上一点，则 ，
，
则 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以
.
19．（24-25高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形 中，已知 ， ，对角线 ，
求对角线 的长．
【答案】
【分析】设 ， ，利用 求出 ，再利用 计算即得．
学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ， ，则 ， ，
而 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ．
20．（23-24高一下·上海松江·期末）已知 为虚数单位，复数 ．
(1)当实数 取何值时， 是纯虚数；
(2)当 时，复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 与 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 是纯虚数得到实部为 ，虚部不为 ，解方程组得到 的值；
（2）将 代入方程，实部和虚部均为 ，解方程组得到 和 的值.
【详解】（1）由 是纯虚数得 ，解得 .
所以当 时， 是纯虚数.
（2）当 时， ，
因为 是关于 的方程 的一个根，所以 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司21．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的部分图象如图所
示.
(1)求 的解析式与单调增区间；
(2)若将 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位得到 的图象，写出 图象的对称中心
的坐标，并求当 时， 的最值.
【答案】(1) ，
(2)对称中心坐标为 ， ，
【分析】（1）利用函数图象列出 ，解得 ， ，结合函数的周期，求解 ，利用函数的最大
值求解 ，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可；
（2）根据三角函数的变换规则求出 解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过 的范围，
求出 的范围，结合正弦函数性质计算可得．
【详解】（1）由图象可知 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司又由于 ，可得 ，又 ，所以 ，
由图象知 ， ，又因为 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 ．
由 ， ，解得 ， ．
函数的单调递增区间是 ， ．
（2）将 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位得到：
，
令 ，解得 ，
所以 的对称中心坐标为 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时 ；
当 ，即 时 .
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