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2025-2026 学年高一下学期期中模拟卷
数学•全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数 ，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】 ，
则z在复平面内所对应的点为 ，位于第三象限.故选：C.
2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知 分别为 三个内角 所对的边，若
，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理， ，可得 ，
因 ，则 ，故 .故选：A.
3．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量 ， ， ，则m的值为
（ ）
A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2
【答案】D
【解析】向量 ， ，故 ，
所以 ，解得 或2．故选：D．
4．（24-25高一下·福建泉州·期中）圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（
）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为 ，因此该半圆半径为2，
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学科网（北京）股份有限公司即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为 .故选：C
5．（24-25高一下·湖南·期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】 移项得 ，
可化为 ，
展开得 ，
整理得 ，又 ，所以 ，即 ，
则 为直角三角形.故选：B．
6．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以两边平方得到： ，
在 方向上的投影向量为 ，故选：D
7．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知棱长为 的正方体 的一个面A B C D 在一半球底
1 1 1 1
面上，且 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设半球的球心为 ，半径为 ，连接 ，
由题易知半球的球心是底面正方形 的中心，且 ， ，
A B C D
1 1 1 1
在 中， ，得到 ，
故半球的体积为 ，故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司8．（24-25高一下·河北唐山·期中）在 中，内角 所对的边分别为
是 的外心， ，则 的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故由 得 ，
由正弦定理得 ，又 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 ，所以 .
因为 ，
所以 .在 中余弦定理得， ，
所以 .所以 的面积为 .故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一下·河南濮阳·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．过球上任意两点有且仅有一个大圆
D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
【答案】ACD
【解析】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；
当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长 ，
设该等腰三角形顶角为 ，则截面三角形面积为 ，
显然当 ，面积S最大，
故当圆锥的轴截面三角形顶角大于 时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误．
故选：ACD
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若非零向量 满足 ，则
B．
C．若 为单位向量，则
D．向量 可以作为平面内的一个基底
【答案】ABC
【解析】对于A：由 ，存在实数 ，使得 ，
由 ，存在实数 ，使得 ，则 ，故 ，A正确；
对于B：由 ，故B正确；
对于C：由 ，
，则 ，故C正确；
对于D：由 ，所以 ，即 ，
故向量 不可以作为平面内的一个基底，D错误.故选：ABC.
11．（24-25高一下·福建厦门·期中）对于 有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．若 ，且 有两解，则 的取值范围是
C．在锐角 中，不等式 恒成立
D．在 中，若 ，则 必是等边三角形
【答案】AD
【解析】A中， ，即 ，
由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，即 为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；
B中，若 ，且 有两解，则 ，即 ，
即 的范围为 ，所以B错误；
C中，在锐角 中，只有 时，不等式 才恒成立，所以C不正确；
D中，若 ，由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，所以 ，所以 必是等边三角形，故D正确．
故选：AD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．（24-25高一下·湖北十堰·期中）在 中， ， ，若 ，则
_____.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
又 且 与 不共线，
所以 ，则 .
13．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ，已
知 ， ，则四边形 的周长为______.
【答案】10
【解析】由题设知：原四边形中 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以原四边形 为平行四边形，
而 ，则原四边形中 ，故 ，
综上，四边形 的周长为 .
14．（24-25高一下·重庆·期中）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小
组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为
，且 ，则解放碑的高AB为______.
【答案】
【解析】由题意，设 中， ，
同理可得 ，
因为 ，所以在 中， …①，
在 中， …②，
由①②组成方程组，解得 ，即
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数 ，根据下列条件求
实数 的值．
(1) 是实数；
(2) 是纯虚数；
(3) 在复平面内对应的点在第二象限．
【答案】(1)1或2；(2) ；(3)
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学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）由题意
，
若 是实数，则 ，解得 或
（2）若 是纯虚数，则 ，解得 ；
（3）若 在复平面内对应的点在第二象限，
则 ，解得 .
16．（15分）（24-25高一下·河北衡水·期中）已知向量 ， ， ， ．
(1)当 时，求实数 的值；
(2)当 时，求向量 与 的夹角的余弦值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意可得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即向量 与 的夹角的余弦值为 .
17．（15分）（24-25高一下·安徽·期中）如图，在 中，已知 ， 是边 上一点，
.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的长.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）在 中， ，
由余弦定理，可得 .
（2）由（1）知： ，
因为 ，所以 ，所以 .
在 中， ，
由正弦定理 ，可得 .
（3）在 中， ，
所以 ，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，
所以 .
18．（17分）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图1，设半圆的直径为 ，点 、 三等分半圆，点 、
分别是 、 的中点，将此半圆以 为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)求圆锥中线段 的长；
(2)求四面体 的体积；
(3)求三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）在图 中，设圆锥的底面圆半径为 ，则 ，解得 .
因为在图1中，点 、 三等分半圆，
所以在图2中，点 、 为圆锥的底面圆周的三等分点，则 为等边三角形，
所以 ，所以 .
又因为点 、 分别是 、 的中点，
所以 .
（2）因为 ，圆锥的高 ，
所以 ，
所以 ，
即四面体 的体积为 .
（3）连接 交于点 ，连接 并延长 交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则三棱锥 与三棱锥 公共部分即为三棱锥 .
因为点 、 分别是 、 的中点，
所以 为 的中点，且 ，
所以 ，
所以三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积为 .
19．（17分）（24-25高一下·湖北·期中）形如 的数称为复数的代数形式，而任何一个
复数 都可以表示成 的形式，即 其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐
角，我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 ．复数 叫做复数
的三角形式．由复数的三角形式可得出，若 ，则
．其几何意义是把向量 绕点 按逆
时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的
倍．
(1)试将 写成三角形式（辐角取主值）；
(2)复平面内，将 对应的向量绕原点 顺时针方向旋转 ，模长变为原来的2倍后，所得向量对
应的复数为 ，求 ；
(3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数
．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数 和实数 ，使得 成立，复数 在
复平面上对应的点为 为坐标原点，点 ，以 为边作正方形 ，其中 在 上方，求
线段 的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由于 ，故 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
（2）
.
.
（3）设 ，
则
.
因为存在实数 ，使得 成立，所以 为实数，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分．
设 所表示的复数为 ，
则
记 所表示的复数为 ，则 ，
故 ，
当 时， .
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