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济南一中 2025 级高一下学期期中学情检测
数学试题
本试卷满分150分 考试时间120分钟
一、单选题 本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）
1. 已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算法则及复数模定义计算即可.
【详解】由题意 ，
故 .
2. 已知复数 满足 的复数 的对应点的轨迹是（ ）
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ,所以 , (负舍)
因此复数 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
3. 在 中， ， ，则角A的大小为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知 中， ， ，故 ，即 ，
由于 ，故 ，则 或 ，
故A的大小为 或 ，
故选：D
4. 已知平面向量 且 ，则一定共线的三点是（ ）
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
【答案】A
【解析】
【分析】先考虑向量 共线时， 的位置关系，再考虑向量 不共线时，利用向量共线定理
和平面向量基本定理逐项判断即可.
【详解】若向量 共线，则 共线，此时 共线，
当向量 不共线时，
对于A选项， ，所以 三点共线，A正确；
对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误；
对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误；
对于D选项， ，设 ，
即 ，即 ，无解，D错误．
故选：A
5. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发
源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量 间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点 ，在 处
测得山顶 的仰角分别为 和 ，测得两个山顶的高分别为 ，且测得
，则 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件先求出 中的两边，再利用余弦定理求 即可.
【详解】由题意，可得 ，
且 ，在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
在 中，由余弦定理得：
所以 ．
故选：D．
6. 数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数
其它一切都是人造的”．若i为虚数单位， ，且 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可
【详解】 ，由 ，
可得 ，即得 ．
故选：B.
7. 在 中，内角 的对边分别为 ，则 一定为（
）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在 中， ,
则 ，即 ，
则 ，即得 ,
由于 ，故 ，结合 ，可得 ，
即 一定为直角三角形，
8. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.
【详解】设圆锥底面圆半径为 ，母线长为 ，依题意， ，则 ，
所以该圆锥侧面积与其表面积的比为 .
故选：B
9. 已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】已知 ， .
所以 .
因为 ，所以 .
由投影向量公式可得 在 上的投影向量
所以 在 上的投影向量为 .
10. 如图，一个水平放置的三角形 的斜二测直观图是三角形 ，若 ， ，则原
三角形的面积为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.
【详解】由题设可得三角形 为直角三角形，且 为直角， ， ，
故其面积为 ，
故选：B.
11. 已知 ， ，若 与 的夹角 为钝角，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得 的取值范围.
【详解】因为 ， ，所以 ，
的夹角为钝角；
，且 不平行；
；
解得 ，且 ；
的取值范围为： ．
故选：B．
12. 如图，在梯形ABCD中， ，E为线段AB的中点，先将
梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案.
【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到.
由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB，
又 ，则 ，
三角形 为等腰直角三角形，则 ，
又由题可得圆柱，圆锥的高均为2，
则圆柱，圆锥体积之和为： ，
又注意到球体半径为 ，则球体体积为： ，
则几何体体积为 .
故选：A
二、多选题 本题共3题，每小题6分，共18分.（每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
13. 已知复数 是 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 i B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程 的一个根
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的四则运算化简得 ，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断
A，代入方程求解判断D，求出 后求模长判断B.
【详解】 ，对应点为 在第二象限，故C对；
又 ，虚部为 ，故A错，
，故B错；
，故 为方程 的一个根，D对.
故选：CD
14. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则下列结论中正确的有（ ）
A. 与 夹角为 B.
C. D. 与 夹角为
【答案】ACD
【解析】【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，所以B错误；
所以 ，
因为 ，所以 ，所以A正确；
因为 ，所以C正确；
因为 ，
且 ，所以 ，所以D正确.
15. 满足 ，且 ，则（ ）
A. 三个内角 满足关系
B. 的周长为
C. 若 的角平分线与 交于 ，则 的长为
D. 设 为 外接圆上任意一点，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用
角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出 的长度，最后借助数量积的几何意义即可
求出最大值.【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
对于A：由余弦定理知， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B：因为 ，
所以 的周长为 ，故B正确；
对于C：若 的角平分线与 交于 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，故C错误；
对于D：因为 ，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
当 ，且点 在 的延长线上时， 取得最大值，如图所示，此时 ，
所以 的最大值为 ，故D正确.
三、填空题 本题共6题，每小题5分，共30分.
16. 已知 ，i是虚数单位，复数 ．若z是纯虚数，m的值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据复数 ，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解.
【详解】复数 是纯虚数，
故 ，解得 ，故 .
17. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】结合图像，依次求得 ，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过 作 ，垂足为 ，易知 为四棱台 的高，因为 ，
则 ，
故 ，则 ，
所以所求体积为 .
故答案为： .
18. 正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三
棱锥的侧面积.
【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，
则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高 ，
侧面积 .
故答案为：
19. 如图，在平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点，若 ，其中，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，根据题意得到 ，得到 ，进
而得到 ，即可求解.
【详解】设 ，
因为 和 分别是边 和 的中点，可得 ,
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
20. 在 中，若 ，其面积为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形面积公式求出 的值，再结合余弦定理求出 的值，进而求出 的值.【详解】已知 ， ，代入面积公式可得：
则 ，可得： .
根据余弦定理为 ，可得
则 .即 ，
把 代入可得： ，即 .
由于 为边长，可得 .
故答案为： .
21. 如图，在 中， ， 是 上的一点， 为 上一点，且 ，
若 ， ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线的结论可得 ，进而可得 ，即可根据数量积的运算
律求解.
【详解】因为 ， ， 三点共线，且 ，所以 ，所以，所以 ，
所以 ，
又 ， ， ，所以 .
故答案为：
四、解答题 本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
22. 已知向量 ， ， ， ．
（1）当 时，求实数 的值；
（2）当 时，求向量 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；
（2）由向量平行的坐标表示求出 ，再代入向量夹角公式可得.
【小问1详解】
由题意可得 ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即向量 与 的夹角的余弦值为 .
23. 设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
（1）求角A的大小；
（2）若 边 上的中线 的长度为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得 ，根据数量积的运算律得到 ，再由均值不等式求出
的最大值，即可得解.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
即 ，，
， ，则 ，
， .
【小问2详解】
因为 是 中点，所以 .
两边平方得 .
所以 ，即 ，
又由均值不等式得 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 .
24. 如图，四边形 为圆 的内接四边形， .（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 为等边三角形，求圆 的面积.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆的内接四边形得到 的关系，然后求出 ，由余弦定理建立方
程求出 ；
（2）由圆的内接四边形对角互补和三角形的余弦定理建立方程组，求出正三角形的边长，然后求出其外
接圆半径，即可得到圆的面积.
【小问1详解】
∵ ， ，
∴ ，
在 中由余弦定理可得 ，
∴ ，解得 （舍去）或 ，
∴ .
【小问2详解】
设 ， 为等边三角形，设
在 中由余弦定理可得 ，
在 中由余弦定理可得 ，
由∵ ，∴ ，即 ，
则 ，即 ①，
又∵正 中 ，∴ ，
在 中 ，
即 ，∴ ，②
由①②可知， ， ，
如图，取 中点，连接 ，由对称性可知圆心 在中线 上，连接 ，
∴ ，又∵ ，
∴半径 ，
∴圆的面积为： .
