文档内容
河北省⾼⼀年级第⼀次模拟选科考试
数学
注意事项：
1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上⽆效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回．
4．本试卷主要考试内容：⼈教A版必修第⼀册第⼀章⾄第⼆章．
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的．
1. 集合 ⽤列举法表示为（ ）
A B.
C. D.
2. 命题“ ”的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 某投资⽅对某项⽬提出两个投资⽅案：⽅案⼀为⼀次性投资1000万元；⽅案⼆为第⼀年投资200万元，
以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过 年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 是两个集合，则“ ” 是“ 与 之⼀为 ” 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司5. 下列式⼦的值⽐ 的值⼤的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 定义⼀种新的集合运算 ： ．若集合 ，
，则 （ ）
A. B.
C. D.
7. 若 ，则 的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
8. 某班级共40位同学暑期去A馆、B馆、C馆三个馆打卡 情况如下：每位同学⾄少去其中⼀个馆打卡，
既去了A馆打卡⼜去了B馆打卡的⼈数为8，既去了B馆打卡⼜去了C馆打卡的⼈数为10，既去了A馆打
卡⼜去了C馆打卡的⼈数为9，三个馆都去打卡的⼈数为7，则仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为（ ）
A.13 B.34 C.20 D.27
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合 ，则 的值可能为（ ）
A.2 B.0 C. D.4
10. 设正数 满⾜ ，则（ ）
A B.
C D.
11. 已知 为三个互不相等的正整数，命题 ，命题 ，命题 ．若
只需满⾜三个命题 中仅有两个是真命题，则 ．若 ，
则下列结论⼀定成⽴的是（ ）
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知 ，设 ，则 的取值集合是________．
13. 已知正数 满⾜ ，则 的最⼩值是________．
14. 设集合 ，则 的真⼦集个数为
________，若集合 中只有2个元素，则 的取值集合是________．
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，证明： ．
16. 设符号 表示不⼤于 的最⼤整数，例如： ．已知命题 实数 满⾜
，命题 ：实数 满⾜ ．
（1）求 ；
（2）若命题 是假命题，求实数 的取值集合；
（3）若 是 的必要不充分条件，求正数 的取值集合．
17. 如图， 是两条⻓度⾜够⻓的互相垂直的笔直⼩路，矩形 的顶点 分别在 上，
且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点 修⼀条⼩路 ，其中点
在 ⼩ 路 上 ， 点 在 ⼩ 路 上 ， 并 在 区 域 内 种 满 荷 花 ． 已 知
，记 的⾯积为 ．
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）设 ，试⽤ 表示 ，并求 的取值范围．
（2）当 的⻓度为多少时， 取得最⼩值？最⼩值是多少？
18. （1）设关于 的⽅程 有两个不相等的实数根 ．
①求 的取值集合；
②若 ，求 的值．
（2）求关于 的不等式 （ 为常数且 ）的解集．
19. 已知 均为正实数．
（1）证明： ．
（2）若 ，求 的最⼩值．
（3）若 ，求 的最⼩值．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司河北省⾼⼀年级第⼀次模拟选科考试
数学
注意事项：
1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上⽆效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回．
4．本试卷主要考试内容：⼈教A版必修第⼀册第⼀章⾄第⼆章．
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的．
1. 集合 ⽤列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合，再根据条件列出元素.
【详解】集合 ．
故选：A
2. 命题“ ”的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
第1⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ”的否定为
“ ”.
故选：B.
3. 某投资⽅对某项⽬提出两个投资⽅案：⽅案⼀为⼀次性投资1000万元；⽅案⼆为第⼀年投资200万元，
以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过 年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设写出⽅案⼆n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可.
【详解】由题意，经过n年后，⽅案⼆的总投资为 万元，
则“经过n年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的不等式表示为 .
故选：B
4. 设 是两个集合，则“ ” 是“ 与 之⼀为 ” 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若A与B之⼀为 ，则 ，必要性成⽴，
若 ，则 或 或⾮空集合A与⾮空集合B没有相同元素，
充分性不成⽴，
故“ ” 是“ A与B之⼀为 ” 的必要不充分条件．
故选：C
5. 下列式⼦的值⽐ 的值⼤的是（ ）
A. B.
C. D.
第2⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】利⽤作差法⽐较⼤⼩后可得正确的选项.
【详解】因为 ，
所以 ，
同理可得 均⼩于 ．
故选：D.
6. 定义⼀种新的集合运算 ： ．若集合 ，
，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合 后结合新定义即可得.
【详解】由题意得 ，
⼜ ，则 ．
故选：D.
7. 若 ，则 取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论 的取值，结合恒成⽴不等式和⼆次函数的性质求解 的取值范围.
【详解】当 时，不等式 不恒成⽴，不符合题意；
当 时，不等式 恒成⽴，符合题意；
第3⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时，由 得 ．
故m的取值集合为 ．
故选；
8. 某班级共40位同学暑期去A馆、B馆、C馆三个馆打卡的情况如下：每位同学⾄少去其中⼀个馆打卡，
既去了A馆打卡⼜去了B馆打卡的⼈数为8，既去了B馆打卡⼜去了C馆打卡的⼈数为10，既去了A馆打
卡⼜去了C馆打卡的⼈数为9，三个馆都去打卡的⼈数为7，则仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为（ ）
A.13 B.34 C.20 D.27
【答案】D
【解析】
【分析】由集合中元素个数的相关公式即可求解.
【详解】根据题意可得仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为 ．
故选：D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合 ，则 的值可能为（ ）
A.2 B.0 C. D.4
【答案】AC
【解析】
【分析】分 或 或 三种情况讨论 的值即可求解.
【详解】若 ，则 ，此时 ，符合题意；
若 ，则 ，此时 ，这不符合集合中元素的互异性，所以 不符合题意；
若 ，则 ，此时 ，符合题意．
故选：AC
10. 设正数 满⾜ ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
第4⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据基本不等式的概念以及重要不等式、⼆次函数的性质，逐⼀证明各选项正误，得出结果.
【详解】由 ，得 ，易知 ，
则 ，所以A错误，B正确；
由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成⽴，所以C正确；
由 ，得 ，当且仅当 时等号成⽴，所以D
正确．
故选：BCD.
11. 已知 为三个互不相等的正整数，命题 ，命题 ，命题 ．若
只需满⾜三个命题 中仅有两个是真命题，则 ．若 ，
则下列结论⼀定成⽴的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分情况讨论集合A中元素的特征，结合 ，分析得出 的
⼤⼩关系，最后逐⼀分析选项.
【详解】依题意可得当 或 或 时， ．
因 ，所以 满⾜ 或 或 ．
因为 ，所以 满⾜ 或 或 ，
则c满⾜ 或 或 或 ，
所以 ， ， ， ．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
第5⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司12. 已知 ，设 ，则 的取值集合是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 ，再结合不等式的性质即可求解；
详解】由 ，得 ，⼜ ，
所以 ，即 ，
所以 的取值集合 .
故答案为： .
13. 已知正数 满⾜ ，则 的最⼩值是________．
【答案】14
【解析】
【分析】利⽤基本不等式“ 1” 的妙⽤，可得答案.
【详解】由正数 满⾜ ，
得 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最⼩值14．
故答案为： .
14. 设集合 ，则 的真⼦集个数为
________，若集合 中只有2个元素，则 的取值集合是________．
【答案】 ①.63 ②.
【解析】
第6⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】第⼀空，确定集合A，即可求得答案；第⼆空，分类讨论集合 或 或
，结合题意确定相应不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
则 的真⼦集个数为 ．
，
当 ，即 时， ，
由集合 中只有2个元素，结合 ，可知这2个元素为4，5，
则 ，解得 ；
当 ，即 时， ，不符合题意；
当 ，即 时， ，此时
由集合 中只有2个元素，结合 ，可知这2个元素为1，2，或0，1，
则 或 ，解得0 或 ．
综上， 的取值集合是 ．
故答案为：63；
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，证明： ．
【答案】（1） ， 或 ．
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集以及并集运算，即可求得答案；
第7⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）求出集合B的补集，分类讨论A是否为空集，由 ，列出不等关系，即可证明.
【⼩问1详解】
当 时， ，⽽ 或 ，
所以 ， 或 ．
【⼩问2详解】
证明：由题意得 ．
当 时， ，解得 ，满⾜ ；
当 时，由 ，得 或 ，得不等式组均⽆解．
故 ．
16. 设符号 表示不⼤于 的最⼤整数，例如： ．已知命题 实数 满⾜
，命题 ：实数 满⾜ ．
（1）求 ；
（2）若命题 是假命题，求实数 的取值集合；
（3）若 是 的必要不充分条件，求正数 的取值集合．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 定义求解即可；
（2）根据 定义求出 即可；
（3）将问题转化为集合之间的包含关系求解.
【⼩问1详解】
第8⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，所以 ；
【⼩问2详解】
因为命题 是假命题，所以命题 是真命题，则 ，
解得 或 ，
则 的取值集合是 或 ；
【⼩问3详解】
由（2）知 的取值集合是 或
因为 是 的必要不充分条件，且 ，
所以⾮空集合 是 的真⼦集，
则 ，解得 ，
所以正数 的取值集合是 ．
17. 如图， 是两条⻓度⾜够⻓的互相垂直的笔直⼩路，矩形 的顶点 分别在 上，
且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点 修⼀条⼩路 ，其中点
在 ⼩ 路 上 ， 点 在 ⼩ 路 上 ， 并 在 区 域 内 种 满 荷 花 ． 已 知
，记 的⾯积为 ．
（1）设 ，试⽤ 表示 ，并求 的取值范围．
（2）当 的⻓度为多少时， 取得最⼩值？最⼩值是多少？
【答案】（1） ；
（2）当 时，S取得最⼩值，为2000 .
【解析】
第9⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）利⽤三⻆形相似，根据相似⽐得 ，再由 及其范围列不等式求
范围；
（2）根据已知有 ，应⽤基本不等式求最⼩值，并确
定取值条件，即可得.
【⼩问1详解】
依题意，得 ，所以 ，即 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ；
⼩问2详解】
由 ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
故 时，S取得最⼩值，为2000 .
18. （1）设关于 的⽅程 有两个不相等的实数根 ．
①求 的取值集合；
②若 ，求 的值．
（2）求关于 不等式 （ 为常数且 ）的解集．
【答案】（1）① 或 ；② ；（2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）①分 与 ，结合根的判别式计算即可得；②利⽤根与系数的关系计算即可得；
（2）分 、 、 、 与 ，结合⼀元⼆次不等式解法讨论即可得.
第10⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】（1）①当 时，原⽅程可化为 ，则该⽅程只有⼀个实数根，不符合题意，
所以 ，由 ，解得 ，
所以t的取值集合为 或 ；
②易得 ，因为 ，所以 ，
解得 ，由①得 ；
（2）当 时，原不等式可化为 ，解集为 ；
当 时，原不等式可化为 ；
若 ，则 ，所以原不等式的解集为 ；
若 ，则 ，原不等式的解集为 ；
若 ，则 ，原不等式的解集为 或 ；
若 ，则 ，原不等式的解集为 或 ；
综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
19. 已知 均为正实数．
（1）证明： ．
第11⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的最⼩值．
（3）若 ，求 的最⼩值．
【答案】（1）证明⻅解析；
（2） ；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）利⽤基本不等式有 ，可证
结论；
（2）（⽅法⼀）由 ，可得 ，则 ，由（1）的结论可
求最⼩值；
（⽅法⼆）由 ，可得 ，消元得 ，令 ，结合
基本不等式求最⼩值．
（3）利⽤柯⻄不等式求最⼩值.
【⼩问1详解】
证明： ．
因为a，b，c，d均为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以 ，
所以 得证．
第12⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】
解：（⽅法⼀）由 ，可得 ．
，
因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
故 的最⼩值为 ．
（⽅法⼆）由 ，可得 ，则 ，即 ，所以 ，
，
令 ，则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
故 的最⼩值为 ．
【⼩问3详解】
第13⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司．
因为a，b，c均为正实数，所以 ，
， ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成⽴，
所以 ，
故 的最⼩值为2．
第14⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
