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专题16 二次函数
一、 二次函数的图象特征及性质
【高频考点精讲】
关系式 一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）
顶点式 （a≠0）
开口方向 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
顶点坐标 （h，k）
（ ， ）
对称轴 直线x＝h
直线x＝
x＜ 时，y随x增大而减小； x＜h时，y随x增大而减小；
a＞0
x＞h时，y随x增大而增大。
x＞ 时，y随x增大而增大。
增减性
x＜ 时，y随x增大而增大； x＜h时，y随x增大而增大；
a＜0
x＞h时，y随x增大而减小。
x＞ 时，y随x增大而增大。
a＞0
当x＝h时， 。
当x＝ 时， 。
最值
a＜0
当x＝h时， 。
当x＝ 时， 。
【热点题型精练】
1．（2022•株洲中考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，b
∴对称轴x=− ＜0，
2a
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
b
∴对称轴x=− ＞0，
2a
故C选项符合题意，
答案：C．
2．（2022•哈尔滨中考）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
答案：B．
3．（2022•广州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C正确，D不正确；答案：C．
4．（2022•陕西中考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1＜x
1 2 3 1 2 3 1
＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ＜y ＜y ，
1 2 3 2 1 3
答案：D．
5．（2022•郴州中考）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
答案：D．
6．（2022•衢州中考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为
（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，
1
解得a=− ；
2
1
综上所述：a的值为4或− ，
2
答案：D．
7．（2022•岳阳中考）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x ，y ）是该函数图象上一点，
p p
当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
p p
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，
∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∵点P（x ，y ）是该函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，
p p p p
∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，
此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤x ≤4时，y ≤﹣3恒成立；
p p
综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．
答案：A．
8．（2022•盐城中考）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值
范围是 1 ≤ n ＜ 1 0 ．
解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
答案：1≤n＜10．
1
9．（2022•长春中考）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ﹣ 1
2−√3 ．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
1
根据题意，当a≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，
2
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±√3，
1
∵﹣1+√3＞ ，
2
1
∴﹣1−√3≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，
2
∴a＝﹣1−√3．
答案：﹣1−√3．
10．（2022•北京中考）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设
抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
解：（1）当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，
1+3
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x= ，
2
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
3a b 4a 3
∴ ＜− ＜ ，即 ＜t＜2．
2a 2a 2a 2
3
当t= 时，x ＝2；
2 0
当t＝2时，x ＝3．
0
∴x 的取值范围2＜x ＜3．
0 0
3
综上，t的取值范围为： ＜t＜2；x 的取值范围2＜x ＜3．
2 0 0二、 二次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
1．a决定抛物线的开口方向及大小
（1）a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。
（2）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
2．a、b共同决定抛物线对称轴的位置
（1）当b＝0时，对称轴x＝ ＝0，对称轴为y轴。
（2）当a、b同号时，对称轴x＝ ＜0，对称轴在y轴左侧。
（3）当a、b异号时，对称轴x＝ ＞0，对称轴在y轴右侧。
3．c决定抛物线与y轴的交点位置
（1）当c＝0时，抛物线过原点。（2）当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴。
（3）当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。
4． 决定抛物线与x轴的交点位置
（1）当 ＝0时，抛物线与x轴有唯一交点。
（2）当 ＞0时，抛物线与x轴有两个交点。
（3）当 ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
5．特殊值
（1）当x=1时，y=a+b+c；当x=﹣1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=﹣2时，y=4a-2b+c。
（2）当对称轴为直线x=1时，2a+b=0；当对称轴为直线x=﹣1时，2a﹣b=0。
【热点题型精练】
11．（2022•黔东南州中考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数
c
y=− 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
xA． B． C． D．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
c
∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y=− 图象经过一，三象限，
x
答案：C．
12．（2022•青岛中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线 x＝﹣1，且经过点（﹣3，
0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0
解：选项A：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴− =−1．
2a
∴b＝2a．
∴b＜0．故选项A错误；
选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x ，0），
1
1
则抛物线的对称轴可表示为x= （x ﹣3），
2 1
1
∴﹣1= （x ﹣3），解得x ＝1，
2 1 1∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线与y轴交于正半轴．
∴c＞0．故选项B错误．
选项C：∵抛物线过点（1，0）．
∴a+b+c＝0．故选项C错误；
选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，
∴3a+c＝0．故选项D正确．
答案：D．
1
13．（2022•烟台中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=− ，且与x轴的
2
一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
b
解：①由图可知：a＞0，c＜0，− ＜0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
b 1
②由题意可知：− =− ，
2a 2
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．答案：D．
14．（2022•巴中中考）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞
0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；
答案：D．
15．（2022•济南中考）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴
右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y ），N（m+1，y ）为图形G上两
1 2点，若y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
1 1
A．m＜﹣1或m＞0 B．− ＜m＜ C．0≤m＜√2 D．﹣1＜m＜1
2 2
解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，
令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，
∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，
①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y ），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y ），
1 2
如图：
由对称性可知，y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y ），点（m+1，1）即为N（m+1，y ），
1 2
∴y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：
此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y ＜y ；
1 2
由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，
答案：D．
16．（2022•遂宁中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣ 4 ＜ m ＜ 0 ．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
b
∴− ＜0，
2a
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
答案：﹣4＜m＜0．
17．（2022•锦州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：
1
① abc＜0；② 4a﹣2b+c＜0；③ a+b＝0；④当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小．其中正确的结论有
2
①②③ ．（填写代表正确结论的序号）解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
b −1+2 1
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴x=− = = ，故a+b＝0，故③正确；
2a 2 2
1
④当x＜ 时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
2
综上所述，正确的为①②③．
答案：①②③．
18．（2022•呼和浩特中考）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线
3
y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m ＝ 3 或﹣ 1 ＜ m ≤− ．
8
−2m
解：抛物线的对称轴为：x=− =1，
2m
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
3
解得：m=− （不符合题意，舍去），
8
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，
3
解得：m=− ，
8
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
3
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤− ，
8
3
答案：m＝3或﹣1＜m≤− ．
8
三、二次函数图象上点的坐标特征
【高频考点精讲】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（ ， ）。
1．抛物线关于直线x＝ 对称，所以抛物线上的点关于直线x＝ 对称。
2．抛物线与y轴交点的纵坐标是解析式中的c。
3．抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（ ，0），（ ，0），则对称轴为
。
【热点题型精练】
19．（2022•宁波中考）点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y ＜y ，则m
1 2 1 2
的取值范围为（ ）
3 3
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D． ＜m＜2
2 2
解：∵点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
1 2
∴y ＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
1
y ＝（m﹣1）2+n，
2
∵y ＜y ，
1 2
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，即﹣2m+3＜0，
3
∴m＞ ，
2
答案：B．
20．（2022•温州中考）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B
左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增
大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
答案：D．
21．（2022•西安模拟）已知抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
解：∵抛物线经过（﹣1，n）和（2，n），
m −1+2 1
∴抛物线对称轴为直线x=− = = ，
2 2 2
∴m＝﹣1，
∴y＝x2﹣x﹣1，
将（﹣1，n）代入y＝x2﹣x﹣1得n＝1+1﹣1＝1，
∴m+n＝0，
答案：B．
22．（2022•淄博中考）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
答案：A．
23．（2022•厦门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y ），且对于抛物线上任意一点（x ，y ）都有
0 1 1
y ≥y ，若点A（﹣2，m+2）与点B（t，n）均在该抛物线上，且m﹣n＜﹣2，则t的值可以是（ ）
1 0
A．7 B．4 C．1 D．﹣1
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y ），且对于抛物线上任意一点（x ，y ）都有y ≥y ，
0 1 1 1 0
∴点P（2，y ）为抛物线的最低点即顶点，此时a＞0，
0
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴根据抛物线的对称性可得点（﹣2，m+2）与点（6，m+2）关于抛物线的对称轴对称，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵m﹣n＜﹣2，
∴m+2＜n，
∴t＞6或t＜﹣2．
答案：A．
24．（2022•徐州中考）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4
．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
答案：4．
四、二次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】
1．抛物线平移后形状不变，所以系数a不变，平移后抛物线的解析式有两种求法
（1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式。
（2）求出平移后的顶点坐标，求出解析式。
2．平移规律：左加右减，上加下减。
【热点题型精练】25．（2022•通辽中考）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解
析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
答案：D．
26．（2022•玉林中考）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过
点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝
0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，
0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的
抛物线过点（2，0），故④符合题意；
答案：D．
1
27．（2022•泸州中考）抛物线y=− x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
2
1 1
A．y=− x2+x B．y=− x2﹣4
2 2
1
C．y=− x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
2
1
解：∵将抛物线y=− x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
2
1
∴抛物线y=− x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
2
答案：D．
28．（2022•黔东南州中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （ 1 ，﹣ 3 ） ．
解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），
答案：（1，﹣3）．
29．（2022•荆州中考）规定：两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函
1 2
数y ＝2x+2与y ＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣
1 2
3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y ＝ 2 x ﹣ 3 或 y ＝﹣ x 2 + 4 x ﹣ 4
．
解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x轴上，
4k(k−3)−[2(k−1)] 2
∴ =0，
4k
解得：k＝﹣1，
∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，
∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，
答案：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．
30．（2022•湘西州中考）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x
轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交
29
点时，b的取值范围是 − ＜ b ＜﹣ 1 ．
4
解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x ＝﹣1，x ＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数
29
解，解得b=− ，
4
29
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为− ＜b＜﹣1．
4
29
答案：− ＜b＜﹣1．
4
31．（2022•河北中考）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使
C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），∴a＝7；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′=√32+42=5．
五、二次函数的最值
【高频考点精讲】
1、当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最
低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝
。
2、当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最
高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝
。
3、确定二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；
当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值的大小，从而获得最值。
【热点题型精练】
32．（2022•贺州中考）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
答案：D．
33．（2022•包头中考）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
答案：A．
34．（2022•嘉兴中考）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为
9，则c的值为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
{ak+3=b①
∴ ，
4k+3=c②
3 9
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2− ，
2k 4k
∵ab的最大值为9，
9
∴k＜0，− =9，
4k
1
解得k=− ，
4
1 1
把k=− 代入②得：4×（− ）+3＝c，
4 4
∴c＝2，
答案：C．
35．（2022•六盘水中考）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣ 4 ．b b
解：由函数图象可得：− =− =−1，
2a 2
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
4ac−b2 4×1×(−3)−22
则二次函数的最小值为： = =−4．
4a 4×1
答案：﹣4．
36．（2022•凉山州中考）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
答案：6．
37．（2022•绍兴中考）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m=−3−√10或m=−3+√10（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或−3−√10．
六、二次函数的应用
【高频考点精讲】
1、利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类题目的关键是通过题意，确定二次函数
的解析式，然后确定其最大值。实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此，在求二次函数的最值时，
一定要注意自变量x的取值范围。
2、几何图形中的最值问题
①几何图形中面积的最值；②用料最佳方案；③动态几何中的最值讨论。
3、构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地将这些实际问题中的数据落实到平面直
角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。
【热点题型精练】
38．（2022•自贡中考）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠
墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，
1 1
∴S= •BC•AD= •2x•y＝xy，
2 2
∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，
∴16﹣2xy≥0，
∴xy≤8，
∴当且仅当x＝y＝2√2时，菜园最大面积＝8米2；
8
方案3：半圆的半径= 米，
π
8
π×( ) 2
∴此时菜园最大面积 π 32米2＞8米2；
= =
2 π答案：C．
39．（2022•襄阳中考）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知
谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水
1 1
平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y=− x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为
32 2
8 m时，竖直高度达到最大值．
1 1 1
解：y=− x2+ x+2=− （x﹣8）2+4，
32 2 32
1
∵− ＜0，
32
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
答案：8．
40．（2022•聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y
（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售
这款冷饮产品的最大利润为 12 1 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
{10k+b=20
，
20k+b=10
{k=−1
解得 ，
b=30
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
答案：121．
41．（2022•新疆中考）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的
最大面积为 3 2 m2．
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
答案：32．
42．（2022•南充中考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，
抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落
点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，
整理得2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
2 2
联立可求出a=− ，b= ，
3 3设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
2 2
∴此时的解析式为y=− x2+ x+h，
3 3
2 2
将（4，0）代入可得− ×42+ ×4+h＝0，
3 3
解得h＝8．
答案：8．
43．（2022•淮安中考）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽
子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子
180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销
售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低
多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
{100x+150 y=7000
根据题意得， ，
180x+120 y=8100
{x=25
解得 ，
y=30
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
