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专题 17 相似三角形（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 比例的性质】...........................................................................................................................................1
【考点2 比例线段】...............................................................................................................................................2
【考点3 黄金分割】...............................................................................................................................................3
【考点4 平行线分线段成比例】...........................................................................................................................6
【考点5 相似多边形】...........................................................................................................................................7
【考点6 相似三角形的判定与性质】...................................................................................................................9
【考点7 网格中的相似三角形】.........................................................................................................................12
【考点8 相似三角形中的动点问题】.................................................................................................................13
【考点9 相似三角形的应用】.............................................................................................................................15
【考点10 位似变换】.............................................................................................................................................17
【要点1 比例的性质】
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或 或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知 ，则当 时，.
【考点1 比例的性质】
a c
【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足 = ，则以下等式不一定成立的
b d
是（ ）
a b a+b c+d
A． ＝ B． ＝
c d b d
a−9 c−9 a−9b c−9d
C． ＝ D． ＝
b d a+9b c+9d
【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于
天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，
可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍
重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4 y=5z，则x+ y+z的最小值是
________．
b a c
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足 = = =k，从下列四点：①
a+c c+b a+b
1 1
(1, )；②(2，1)；③ (1,− )；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是
2 2
_______．
【要点2 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【考点2 比例线段】
【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是
30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000km B．6000km C．600km D．60km
【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，
那么b:c等于（ ）
A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4
【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和
BN，若M N2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点．
(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．
①若AM=2，MN=3，则BN= ；
②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．
(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且
FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，
请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【要点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的
比例中项（即 ），则称线段 AB被点C黄金分割，点 C叫线段AB的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【考点3 黄金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段
AB的黄金分割点，且AR>RB，S 表示以AR为边长的正方形面积；S 表示以BC为长，BR为宽的矩形的
1 2
面积，S 表示正方形除去S ，S 剩余的面积，则S ：S 的值为______．
3 1 2 1 2
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．
如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是
_______________．
【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板
拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即
DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一
√5−1
宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建
2
筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段
BC √5−1
AB的黄金分割点，且通过计算可得 = ．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，
AB 2如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若
，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
【要点4 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果
，则 ， ， ．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段
上 上 上 上 下 下
称为全，则可以形象的表示为 ， ， ．
下 下 全 全 全 全
【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果
EF//BC，则 ， ， ．
A F E
A
E F
B C B C平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若 或 或 ，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点
的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于F'点，再
证明F'与F重合即可．
【考点4 平行线分线段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，
AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交
AD于点E．若OE=3，BC=8，则OB的长为___________．
【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点
D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线
AE 2
(2)若 = ,AF=10，求⊙O的半径．
DE 3
【考点5 相似多边形】
【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得
b
到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则 的值为（ ）
a
√2 1 √2 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )
A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对
【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形ABC D 内接于正方形
1 1 1 1
A B
ABCD的内接圆，则 1 1的值为（ ）
AB1 √2 1 √2
A． B． C． D．
2 2 4 4
【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角
形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与
原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【要点6 相似三角形的判定】
判定定理
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
判定定理1：
如图，如果 ， ，则
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似． ．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
如图，如果 ，则
个三角形相似．
．
判定定理3： 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应 形相似．如图，如果 ，
的夹角相等，那么这两个三角形相似．
，则 ．
【要点7 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成
比例，都等于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中
边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是
中 边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有
【考点6 相似三角形的判定与性质】
【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为
BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
5 5 5
A． B．1 C． D．
6 4 3
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D
是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若
DE
△ABE的面积是2，则 的值是______．
EF【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并
延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD
上一动点，分别连接
MC
，
MN
．若S
△DCG=
1，则
MC+MN
的最小值为______．
S 9
△FCE
AB k
【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连
BC 2
接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
1
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
2
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
AE
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
EF
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=√5，求BC
的长．
【考点7 网格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画
图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使
△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点
△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与
FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似
比为2：5．（保留作图痕迹）
【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中， ABC的顶点A、B、C均
落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） △（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使 APQ和 ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB△相切，并△直接写出此时⊙M的
半径为 ．
【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点
（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保
留画图痕迹）．
（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；
（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、
BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，
动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，
两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长
是_____．【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2√3，AB＝4，AD＝2，
动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当
点E，F相遇时停止运动．
2
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设CE与
3
DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为√3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积
为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
1
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究
3
点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速
度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接
CP,EQ．设运动时间为t(s)(0
