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专题 17 相似三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 比例的性质】
a 3
1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若 = ，且a+b=14，则2a−b的值是（ ）
b 4
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
【详解】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故选B．
【点睛】本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．
b 2 a−b
2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若 = ，则 的值为（ ）
a 5 a+b
1 3 3 7
A． B． C． D．
4 7 5 5
【答案】B
【分析】根据比例设b=2k，a=3k，然后代入比例式计算即可得解．
b 2
【详解】解:∵ =
a 5
∴设b=2k,a=5k,
a−b 5k−2k 3
则 = =
a+b 5k+2k 7
故选B
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是熟练掌握性质.
b+c a+c a+b
3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且 = = =k，则直线y=kx+(k+1)一定
a b c
不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据比例的性质求出k的值，然后代入y=kx+(k+1)，根据一次函数的性质即可得出函数图像
不经过的象限.
【详解】∵a，b，c为正实数，
∴a+b+c≠0，
(b+c)+(a+b)+(a+c)
∴k= =2,
a+b+c
∴一次函数表达式为y=2x+3,
∴它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选D.
【点睛】此题考查了一次函数的性质和图象，以及比例的性质，根据等比性质求出k的值是解答本题的关
键.
2 3 5 5x−y
4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足 = = ，则 的值为_________．
x y−z z+x y+2z
1
【答案】
3
2 3 5 1 5x−y
【分析】令 ＝ ＝ = ，则x=2k，y=6k，z=3k．代入 求值即可．
x y−z z+x k y+2z
2 3 5 1
【详解】∵ ＝ ＝ = ，
x y−z z+x k
∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
5x−y 5×2k−6k 4k 1
∴ = = = .
y+2z 6k+2×3k 12k 3
1
故答案为 .
3
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，
分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．OD OE OF
(1)求 + + 的值；
AD BE CF
1 1 1 4
(2)求证： + + = ．
AD BE CF d
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）根据S =S +S +S ，进而可以解决问题；
△ABC △ABO △ACO △BCO
（2）延长AD交⊙O于M，由于AD,BE,CF交于点O．然后由OD=R−DM,AM=2R，可以求得结论．
【详解】（1）解：由于AD,BE,CF交于点O，
OD S OE S OF S
∴ = △OBC ， = △OAC ， = △OAB ，
AD S BE S CF S
△ABC △ABC △ABC
OD OE OF
∴ + + =1；
AD BE CF
（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD,BE,CF交于点O．
OD R−DM R R
∵ = =1− =1− ，
AD 2R−DM 2R−DM AD
OE R OF R
同理有： =1− ， =1− ，
BE BE CF CF
OD OE OF
代入 + + =1，
AD BE CFR R R
得(1− )+(1− )+(1− )=1，
AD BE CF
R R R
∴ + + =2，
AD BE CF
1 1 1 2 4
∴ + + = = ．
AD BE CF R d
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外
接圆与外心．
【考点2 比例线段】
6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
【答案】D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得
出结论．
【详解】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15=3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两
条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所
选取的单位无关系．
7．（2022·统考一模）已知线段a=√5+1，b=√5−1，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之
积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=√5+1，b=√5−1，
a x
∴ = ，
x b∴x2=ab=(√5+1)(√5−1)=5−1=4，
∴x=±2．
∵x>0，
∴x=−2舍去，
故答案为：2．
a x
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若 = ，则x是a,b的比例中项”是解本题的关键．
x b
8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，
然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的
比为1:2:3，则折痕对应的刻度有________种可能．
【答案】4
【分析】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm，最长的为
30cm，分类讨论即可．
【详解】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm，最长的为
30cm，接下来分类讨论：
（1）0-10cm为第一段，10−30cm为第二段，30−60cm为第三段，则折痕刻度为20cm处；
（2）0-10cm为第一段，10−40cm为第二段，40−60cm为第三段，则折痕刻度为25cm处；
（3）0-20cm为第一段，20−30cm为第二段，30−60cm为第三段，则折痕刻度为25cm处；
（4）0-20cm为第一段，20−50cm为第二段，50−60cm为第三段，则折痕刻度为35cm处；
（5）0-30cm为第一段，30−40cm为第二段，40−60cm为第三段，则折痕刻度为35cm处；
（6）0-30cm为第一段，30−50cm为第二段，50−60cm为第三段，则折痕刻度为40cm处．
故折痕对应的刻度可能情况有4种．
【点睛】本题考查了线段的比例关系，根据情况分类讨论是关键．
9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生
态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．
【答案】31
【分析】图上的距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．【详解】解：由题意得，
1
31÷ =3100000cm=31km
100000
故答案为：31．
【点睛】本题考查比例尺的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
a b c+1
10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 a，b，c 满足 = = ，且 a+b+c=17 ．
3 2 4
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，求 d 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=2√6
a b c+1
【分析】（1）设 = = =k，用含k的代数式分别表示出a，b，c，再由a+b+c=17，建立关于k的
3 2 4
方程，解方程求出k的值，从而可求出a，b，c的值．
（2）由已知线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．
a b c+1
【详解】（1）解：设 = = =k
3 2 4
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=2√6．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
【考点3 黄金分割】
11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）
的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，
那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，
√5≈2.236）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【答案】B
x √5−1
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得 = ,求解即可．
2 2
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
x √5−1
∴ = ,
2 2
∴x=√5−1≈1.24，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，
BP AP
点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 = ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生
AP AB
活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长
20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（
）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
BP AP
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 = ，即可求解．
AP AB【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
BP AP
∴ = ，
AP AB
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关
键．
13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点
D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点
K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
√10
【答案】（1）FC，4；（2） ；（3）t＝（√5+1）s，见解析
2
【分析】（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证 CDE≌△CBF（SAS），得EC
＝FC，即可解决问题； △
（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再证 ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，
DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可△；
（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG
上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣√5），t＝（√5+1）s，然后由待定系数法求出CE
的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接CD、CB，如图1所示：∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又∠DAB=90°
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S CEAF＝S CEAB+S CBF＝S CEAB+S CDE＝S ABCD＝CB•CD＝2×2＝4，
四边形 四边形 四边形 正方形
故答案为：FC，4； △ △
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt CDE中，由勾股定理得：CE＝√DE2+CD2＝√12+22＝√5，
△
∴EF＝√2CE＝√2×√5＝√10，
∵Q为EF中点，
1 1 √10
∴CQ＝ EF＝ ×√10＝ ；
2 2 2（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝√AB2+BG2＝√22+12＝√5，
∴AP＝AG﹣PG＝√5﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝√5﹣1，
∴E（0，1﹣√5），
∴DE＝2﹣（1﹣√5）＝√5+1，
∴t＝（√5+1）s，
故答案为：（√5+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣√5）代入解析式得：¿，
解得：¿，√5+1
∴CE的解析式为：y＝ x+1﹣√5，
2
令y＝0，x＝3﹣√5，
∴K（3﹣√5，0），
∴BK＝2﹣（3﹣√5）＝√5﹣1，
BK √5−1
∴ ＝ ，
AB 2
∴点K是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、
待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形
的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
AC BC
14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果 = ，那么称点C为
AB AC
线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
S S
直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S ，S ，如果 1= 2 ，那么称直线l为该
1 2 S S
1
图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄
金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF
是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边黄金分割点．【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析
AD BD
【分析】（1）由于S 、S 、S 是同高，而点D为边AB的黄金分割点，则 = ，所以
△ACD △BCD △ABC AB AD
S S
△ADC = △BDC ，故直线CD是△ABC的黄金分割线；
S S
△ABC △ADC
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；
（3）根据平行线间的距离相等，则S =S ，设直线EF与CD交于点G，则S =S ．通过图
△DCE △FEC △DGE △FGC
S S
形面积的转化，直线EF分三角形的图形面积有 △AEF = 四边形BEFC ，故直线EF也是△ABC的黄金分割线；
S S
△ABC △AEF
（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．
【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为ℎ．
1 1 1
则S = AD·ℎ，S = BD·ℎ，S = AB·ℎ，
△ADC 2 △BDC 2 △ABC 2
S AD S BD
∴ △ADC = ， △BDC = ．
S AB S AD
△ABC △ADC
又∵点D为边AB的黄金分割点，
AD BD S S
∴ = ．则 △ADC = △BDC ．
AB AD S S
△ABC △ADC
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
1 s s
∴s =s = s，即 1≠ 2 ，
1 2 2 s s
1
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S =S ．
△DCE △FEC
设直线EF与CD交于点G．则S =S ．
△DGE △FGC∴S =S +S
△ADC 四边形AFGD △FGC
=S +S =S ，S =S ．
四边形AFGD △DGE △AEF △BDC 四边形BEFC
S S S S
又∵ △ADC = △BDC ，∴ △AEF = 四边形BEFC ．
S S S S
△ABC △ADC △ABC △AEF
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是
▱ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直
线MN就是▱ABCD的黄金分割线．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知
识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．
15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出
了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中
MG GN √5−1 √5−1
项，即满足 = = ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分
MN MG 5 2
割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面
积为______．
【答案】10-4√5
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的
“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC，
1
∴BH=CH= BC=2，
2
在Rt ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，
△
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
√5−1 √5−1
∴CD=BE= BC= ×4=2√5−2，
2 2
∴DE=BE+CD−BC=2√5−2+2√5−2−4=4√5−8，
1 1
∴.S = DE⋅AH= ×(4√5−8)×√5=10−4√5，
△ADE 2 2
故答案为：10-4√5．
【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键．
【考点4 平行线分线段成比例】
16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点
F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3√3，则△ABC的周长为_____．
【答案】5√3
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．证明
AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
1
⋅AB⋅FM
S BF 2
∴ ΔABF = = =3，
S DF 1
ΔADF ⋅AD⋅FN
2
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
BE BF
∴ = =3，
ET DF
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=3√3，
∴3a+3b=3√3，
∴a+b=√3，
∴ΔABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5√3，
故答案为：5√3．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解
决问题．
AF 1
17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5, = ，则AE的长为
FC 4
_______．【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形ABCD中， AD∥BC ，∠ABC=90°，
AE AF 1
∴ = = ，BC=√AC2−AB2=√52−32=4，
BC FC 4
AE 1
∴ = ，
4 4
∴AE=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，
AD DE AE
= ，则 = _____．
AB BC AC
1 1
【答案】 或
2 4
1
【分析】由题意可求出DE= BC，取AC中点E，连接DE，则DE 是 ABC的中位线，满足
2 1 1 1
△
1 AE 1 1
DE = BC，进而可求此时 1= ，然后在AC上取一点E，使得DE＝DE，则DE = BC，证明
1 2 AC 2 2 1 2 2 2
1 AE 1
DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝ AC，即可得到 2= ，问题得解．
4 AC 4
△【详解】解：∵D为AB中点，
AD DE 1 1
∴ = = ，即DE= BC，
AB BC 2 2
1
取AC中点E，连接DE，则DE 是 ABC的中位线，此时DE∥BC，DE = BC，
1 1 1 1 1 2
△
AE AD 1
∴ 1= = ，
AC AB 2
1
在AC上取一点E，使得DE＝DE，则DE = BC，
2 1 2 2 2
∵∠A=30°，∠B=90°，
1
∴∠C=60°，BC＝ AC，
2
∵DE∥BC，
1
∴∠DEE=60°，
1 2
∴ DEE 是等边三角形，
1 2
△ 1
∴DE＝DE＝E1E2＝ BC，
1 2 2
1
∴EE＝ AC，
1 2 4
1
∵AE = AC，
1 2
1 AE 1
∴AE = AC，即 2= ，
2 4 AC 4
AE 1 1
综上， 的值为： 或 ，
AC 2 4
1 1
故答案为： 或 ．
2 4
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角1
的直角三角形的性质等，根据DE= BC进行分情况求解是解题的关键．
2
19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条
直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
2 3
A． B．1 C． D．2
3 2
【答案】C
【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，根据题意得AD=2DE，然
后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，
根据题意得AD=2DE，
∵BD∥CE，
AB AD
∴ = =2，
BC DE
又∵AB=3，
1 3
∴BC= AB=
2 2
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
．（ 湖南长沙长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
20 2022· ·如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
m
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，反比例函数y=
x
(x>0)的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若S =S =S ，求点B的坐标．
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
【答案】(1)当n=4时，ΔABO的面积最大
9
(2)B
(0, )
2
1 1
【分析】（1）由m+n=8得m=8− n，利用三角形面积公式得出S = OB⋅OA= n(8− n)，转化为
ΔABO 2 2
顶点式即可求解；
（2）过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，根据S =S =S 得BF=EF=OE，
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
1 m 3m 1
得出BF=EF=OE= n，根据点C在反比例函数y= (x>0)上，得出C( , n)，代入直线AB的
3 x n 3
解析式，即可求解．
（1）
解：∵m+n=8，
∴m=8− n，
∵点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，
1 1 1
∴S = OB⋅OA= n(8− n)=− (n−4)2+8，
ΔABO 2 2 2∴n=4时，S
ΔABO
取最大值，最大值为8，
即当n=4时，ΔABO的面积最大；
（2）
解：如图，
∵S =S =S ，
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
∴BD=CD=AC，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵点B(0,n) (n＞0)，
∴OB=n，
1
∴BF=EF=OE= n，
3
1
∴点C的纵坐标为 n，
3
m
∵点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
3m 1
∴C( , n)，
n 3
∵点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，
n
∴直线AB的解析式为y=− x+n，
m
∵点C在直线AB上，
n 3m 1
∴− × +n= n，
m n 39
解得n= ，
2
9
∴B
(0, )
．
2
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展
得出的结论，解第一问的关键是建立S 与n的函数关系式，解第二问的关键是得出
ΔABO
1
BF=EF=OE= n．
3
【考点5 相似多边形】
21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似
【答案】B
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
【详解】解：A、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；
B、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；
C、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；
D、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，
比较简单．
22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
【答案】B
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
√1
∴周长之比为 ＝1：2．
4
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相
似比的平方．
23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝√AE2+BE2＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相
似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则
新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各
角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角
不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为
折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【答案】√2：1．
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列
出比例式，即可得答案.
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
x
则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
2
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，x
∴x：y＝y： ，
2
解得x：y＝√2：1．
故答案为：√2：1
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键.
【考点6 相似三角形的判定与性质】
3
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y= x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段
4
AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线
OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．
CD OD
(1)证明： = ；（用图1）
DB DE
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
9
(2)DE=
4
(3)2
CD DB
【分析】（1）由条件可证得△BDC∽△EDO，根据相似三角形对应边成比例得 = ，即
OD DE
CD OD
= ；
DB DE
（2）先根据函数关系式求出AO、BO的长度，然后作出对应的图2，可证明tan∠OCD=tan∠OAB，OB OD 6 3
从而得到 = = = ，设OD=3m，CD=4m，结合△CDB∽△AOB对应边成比例，得到
OA CD 8 4
BD=3m，则OB=BD+OD=3m+3m=6，解方程得到m=1，所以OD=BD=3，CD=4，再由（1）的
CD OD 9
结论 = ，可计算出DE= ．
DB DE 4
【详解】（1）证明：已知射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，
∴∠COE=90°，
∴∠AOB=∠COE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∠ABO=90°−∠OAB,∠CEO=90°−∠OCD
∴∠ABO=∠CEO，
又∵∠BDC=∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
CD DB
∴ =
OD DE
CD OD
∴ = ；
DB DE
3
（2）解：直线y= x+6，当x=0时，y=6，
4
∴B(0,6)，
∴OB=6，
3
当y=0时， x+6=0，
4
∴x=−8，
∴A(−8,0)，
∴OA=8，
如图2，∠BDE=90°，∴∠ODC=∠BDE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∴tan∠OCD=tan∠OAB，
OB OD 6 3
∴ = = = ，
OA CD 8 4
∴设OD=3m，CD=4m，
∵∠CDB=∠AOB=90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
CD BD 4m BD
∴ = ，即 = ，
OA OB 8 6
∴BD=3m，
∴OB=BD+OD=3m+3m=6，
∴m=1，
∴BD=3，CD=4，
CD OD
由（1）知： = ，
DB DE
4 3
∴ = ，
3 DE
9
∴DE=
4
（3）解：如图3，由对称得：OA=OF,则动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AF ´ A′上运动，
∴当F在y轴上，此时在B的正上方，BF的值最小，如图4，
此时BF=OF−OB=8−6=2，即BF的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特
征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比
列方程求线段长是解题关键．
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如
图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形
A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C、
EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)A′D∥B′E；
(2)∠DEC=∠B′CE，理由见解析；
(3)∠DEG=90°，理由见解析；
49
(4)DG2=EG2+ B′C2，理由见解析．
16
【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；
（2）连接B′C，BB′，由EB=EC=EB′可知点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，则
∠BB′C=90°，由翻折变换的性质可得BB′⊥DE，证明DE∥CB′，可得结论；
1
（3）连接B′C，DB，DB′，延长DE至点H，求出∠DGA′=180°−2x−y，∠GB′C=90°− y−x，
2
可得∠CGA′=2∠GB′C，然后证明GC=GB′，可得EG⊥CB′，进而得到DE⊥EG即可解决问题．
（4）延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R，设GC=GB′=x，
4
CD=A′D=A′B′=2a，解直角三角形求出A′R=a，DR=√3a，利用勾股定理求出x= a，然后根据相
5
4 7
似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出T B′= a，DE= CB′ ，再根据勾股定理列式即可得
3 4
出结论．
【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，AD∥BE，
∴由翻折的性质可知，A′D∥B′E，
故答案为：A′D∥B′E；
（2）解：∠DEC=∠B′CE，
理由：如图，连接B′C，BB′，
∵E为BC中点，∴EB=EC=EB′，
∴点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，
∴∠BB′C=90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC=∠B′CE；
（3）解：结论：∠DEG=90°；
理由：如图，连接B′C，DB，DB′，延长DE至点H，
由翻折的性质可知∠BDE=∠B′DE，
设∠BDE=∠B′DE=x，∠A=∠A′= y，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDB=∠B′DA′，∠ABC=180°−y，
y
∴∠A′DG=∠BDB′=2x，∠DBE=∠DB′E=90°−
2
∴∠DGA′=180°−2x−y，
∴
y y
∠BEB′=∠BEH+∠B′EH=∠DBE+∠BDE+∠DB′E+∠B′DE=90°− +x+90°− +x=180°−，y+2x
2 2
∵EC=EB′，点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，1 1
∴∠EB′C=∠ECB′= ∠BEB′=90°− y+x，
2 2
∵A′D∥B′E，
∴∠A′B′E=180°−y，
∴∠GB′C=∠A′B′E−∠EB′C=180°−y− ( 90°− 1 y+x ) =90°− 1 y−x，
2 2
∴∠CGA′=2∠GB′C，
∵∠CGA′=∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C=∠GCB′，
∴GC=GB′，
∵EB′=EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG=90°；
49
（4）解：结论：DG2=EG2+ B′C2
，
16
理由：如图，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R，
设GC=GB′=x，CD=A′D=A′B′=2a，
∵∠B=60°，
∴∠A=∠DA′B′=120°，
∴∠DA′R=60°，
∴A′R=A′D⋅cos60°=a，DR=√3a，
在Rt△DGR中，则有(2a+x) 2=(√3a) 2+(3a−x) 2，4
∴x= a，
5
4 6
∴GB′= a，A′G= a，
5 5
∵T B′∥DA′，
∴△B′TG∼△A′DG，
T B′ GB′
∴ = ，
DA′ GA′
4
a
T B′ 5
∴ =
2a 6
a
5
4
∴T B′= a，
3
∵CB′∥DE，
4
a
CB′ T B′ 3 4
∴ = = = ，
DE ET 4 7
a+ a
3
7
∴DE= CB′ ，
4
∵∠DEG=90°，
∴DG2=EG2+DE2，
49
∴DG2=EG2+ B′C2
．
16
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，
相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，
m
与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面
积最大时，求点D的坐标．
12
【答案】(1)y= (x>0)
x
( 1)
(2)点D的坐标为 1,−
2
【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得
BC OB OC 1
= = = ，结合已知条件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，
AC AF CF 2
可得A(6,2)，代入反比例函数解析式求出m值即可；
1 1
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y= x−1，设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，
2 2
12
E(t, )，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，
t
即可求出最值．
（1）
解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
BC OB OC 1
∴ = = = ，
AC AF CF 2
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A(6,2)．
m
∵点A在反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象上，
x
∴m=2×6=12．
12
∴反比例函数的表达式为：y= (x>0)．
x
（2）
解：由题意可知B(0,−1)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(6,2)，B(0,−1)代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
1
∴直线AB的解析式为：y= x−1．
2
1 12
设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，E(t, )，
2 t
12 1
∴ED= − t+1，
t 2∴△BDE的面积为：
1 12 1
(t−0)( − t+1)
2 t 2
1 1
=− t2+ t+6
4 2
1 25
=− (t−1) 2+ ．
4 4
1
∵− <0，
4
25
∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为 ，
4
1 1 1
将x=1代入y= x−1，得y= −1=−
2 2 2
( 1)
∴点D的坐标为 1,− ．
2
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函
数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的
关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．
29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，
连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=√3AB；
CE
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求 的值；
AD
AN
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出 的值．
CE
【答案】(1)证明见解析；
(2)√3√57 √21
(3) 或
19 21
√3
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝ AB，BC＝2BH，进而得出结论；
2
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD
＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；
当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
（1）
证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
1 1
∴∠BAH＝∠CAH＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，BC＝2BH，
2 2
BH
∴sin60°＝ ，
AB
√3
∴BH＝ AB，
2
∴BC＝2BH＝√3AB；
（2）
解：∵AB＝AC，
180°−∠BAC 180°−120°
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝ ＝30°，
2 2
BC
由（1）得， =√3，
AB
同理可得，
BE
∠DBE＝30°， =√3，
BDBC BE
∴∠ABC＝∠DBE， = ，
AB BD
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
CE BE
∴ = =√3；
AD BD
（3）
：如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，CE=√3AD=2√3a，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，
3 3√3
∴AF＝3a•cos60°＝ a，BF＝3a•sin60°＝ a，
2 2
3 7
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝2a+ a= a，
2 2
BD＝√BF2＋DF2= √ (3√3 a ) 2 + (7 a ) 2 =√19a，
2 2
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
AG AD
∴ ＝ ，
BF BDAG 2a
=
∴3√3 √19a，
a
2
3√3
∴AG= a，
√19
∵AN∥DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
AG 3√3 2 6√19
∴AN＝ = · a= a，
sin60° √19 √3 19
6√19
a
∴AN 19 √57，
= =
CE 2√3a 19
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝√3AD=4√3a，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝√3a，
∴BD=√(√3a) 2+(5a) 2=2√7a，
AQ 4a
∴ = ，
√3a 2√7a2√3
∴AQ= a，
√7
2√3 2 4
∴AN= a· = a，
√7 √3 √7
4
a
∴AN √7 √21，
= =
CE 4√3a 21
AN √57 √21
综上所述： 的值为 或 ．
CE 19 21
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关
键是正确分类和较强的计算能力．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，
D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接
DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
CH
(4)求 的最大值．
CE
【答案】(1)45°
(2)9
(3)PE=DG，理由见解析
√2+1
(4)
2
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE∥BP，然后由平行线的性质即可解
答；√2 √2
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= DE 、GF=CF= CG ；设AP=x，则
2 2
BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形
的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而
得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
CE CF CH CF⋅CD
（4）先说明△CEF∽△CDH得到 = ，进而得到 = ，然后将已经求得的量代入可得
CD CH CE CE2
12
CH = 1 ( 1 ) 2
= 288 ，然后根据a+ = √a+ −2≥2求最值即可．
CE x+12+ −24 a √a
x+12
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
1
∴DE∥BP，DE= BP
2
∴∠EDC=∠B=45°．
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
√2 √2
∴DF=EF= DE ，GF=CF= CG ，
2 2
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
12−x 12−x
∴DE= ，EF=
2 2√2
∵Rt△APC，
∴PC=√AP2+AC2=√x2+144
1
∴CE=
√x2+144
2
∵Rt△EFC∴FC=FG=√CE2−EF2= √(1 √x2+144 ) 2 − (12−x) 2 = √(x+12) 2 = 12+x
2 2√2 8 2√2
12+x
∴CG=√2CF=
2
12+x 12−x
∴AG=12-CG=12- =
2 2
1 1 12−x 12x−x2 −(x−6) 2+36
∴S APG= AP⋅AG= x⋅ = =
2 2 2 4 4
△
所以当x=6时，S APG有最大值9．
△
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
CE CF
∴ = ，即CE⋅CH=CF⋅CF
CD CHCH CF⋅CD
=
∴
CE CE2
12+x 1 1
∵FC= ，CE=
√x2+144，CD= BC=√122+122=6√2
2√2 2 2
12+x
⋅6√2 x+12 12
CH 2√2 =12× =
∴ = x2+144 288
CE (1 √x2+144 ) 2 x+12+ x+12 −24
2
12 12 1 2√2+2 √2+1
≤ = = = =
2√288−24 24√2−24 2√2−2 4 2
CH √2+1
∴ 的最大值为 ．
CE 2
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
【考点7 网格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，
则∠ABC=_______．
【答案】135°．
【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判
定和性质，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：
由勾股定理，则
BE=√2，DE=√5，BD=1，AB=√5，BC=√10，AC=5，
AB √5 BC √10 AC 5
∴ = =√5， = =√5， = =√5，
BD 1 BE √2 DE √5
AB BC AC
∴ = = ，
BD BE DE∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利
用全等三角形的性质进行解题．
32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF
C
1
的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C ，△DEF的周长为C ，则 的值等于_____．
1 2 C
2
√2
【答案】
2
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
DE 2
【详解】解：∵
= =√2，
AB √12+12
EF √22+22
= =√2，
BC 2
DF √42+22
= =√2，
AC √32+12
DE EF DF
∴ = = =√2，
AB BC AC
∴△ABC∽△DEF，
C AB √2
∴ 1= = ，
C DE 2
2
√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形
（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，周长之比为2：1；
1 1 1 1 1 1
(2)在图2中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，面积之比为2：1．
2 2 2 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大√2倍即可．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求作．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求作．
2 2 2
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边
长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺
在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形
DEHG的面积比．
(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，面积比为1：3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，找到A,B之间单元网格的对角线，交AB于点F，则点F即为所求；
（2）根据（1）的方法找到CD,CE的中点G,H，连接GH，根据相似三角形的性质即可求出△CGH与四
边形DEHG的面积比；
（3）根据（2）的结论，可知，只要MN经过△PQR的中位线，根据R在网格上，找到符合题意的点R即
可求解．
【详解】（1）如图①：
（2）如图②：1
∵GH∥DE，GH= DE
2
∴
S
△CGH =
(1) 2
=
1
S 2 4
△CDE
∴ △CGH与四边形DEHG的面积比为1：3．
（3）如图③，画出一种即可．
【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到
线段的中点是解题的关键．
35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫
做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画
图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是
△ABC的面积的三分之一．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等
腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则
AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；
（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与
△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是
△ABC的面积的三分之一．
(1)
解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接
MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的
中点，连接AO，
∵AM=AC，
∴AO平分∠MAC，
1
∴∠OAC= ∠MAC=45°，
2
∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，
∵∠ABC=∠FAC=45°，∠ACB=∠ACF，
∴△ACF∽△BCA．
(2)
连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；
∵AC=DC，O为AD的中点，
∴CM平分∠ACD，
∴点M到AC，CD的距离相等，
∴△MDC与△MAC的面积相等；
连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；
∠PBG=∠QCG=90°
∵在△PBG和△QCG中{ ∠PGB=∠QGC ，
PB=CQ
∴△PBG≌△QCG，
∴BG=CG，
1 7
∴CG= BC= ，
2 2
∵AH∥GC，
∴∠HAN=∠GCN,∠AHN=∠CGN，
∴△GCN∽△HAN，
7
设△GCN边CG上的高为h
1
，△HAN边AH上的高为h
2
，则ℎ
1=
CG
=
2
=
7，
ℎ AH 4 8
2
∵ℎ + ℎ =4，
1 2
7 28
∴ℎ = ×4= ，
1 7+8 15
1 28 14
∴S = ×5× = ，
△DCN 2 15 3
1
∵S = ×7×4=14，
△ABC 2
1
∴S = S ．
△DCN 3 △ABC【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，
角平分线的性质，是解题的关键．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
3
36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB= ，点E从点B出发沿折
5
线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF
的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似
（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2)AG=7或5
32 32
(3)s=1或s= 或s= 或10≤s≤12
25 7
【分析】（1）证明 AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记AC中点为点△O．分点E在BC上和点E在CD上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，
点E在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟情况分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠FGA，
∴ AFG是等腰三角形，
∴△FA=FG．
（2）解：记AC中点为点O．
①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
3
∵在Rt△ABM中，AM= AB=6，
5
∴BM=√AB2−AM2=√102−62=8．
∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2，
∵OA=OC,OE∥AM，
1 1
∴CE=ME= CM= ×2=1，
2 2
∴AF=ME=1，
∴AG=AF+FG=1+6=7．②当点E在CD上时，如图3，
过点A作AN⊥CD于点N．
同理，FG=EF=AN=6,CN=2，
1
AF=NE= CN=1，
2
∴AG=FG−AF=6−1=5．
∴AG=7或5．
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，010，即290°，
∴△GHC与△BEF不相似．
32 32
综上所述，s满足的条件为：s=1或s= 或s= 或10≤s≤12．
25 7
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、
锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，
AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形
APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P的运动时间为t(单位：s)，正方形和梯形重合部分的面
积为Scm2．
(1)当t= ______ s时，点P与点Q重合；
(2)当t= ______ s时，点D在QF上；
(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)3
12
(2)
5
(3)S=¿
3
(4)存在，t=3
7
【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，由此列一元一次方程求出t
的值；
1
（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ= t，从而
2
由关系式AP+PQ+BQ=AB=6，列一元一次方程求出t的值；
（3）当点P在Q，B两点之间运动(不包括Q，B两点)， 34)
4 4
16 12
(2)当t为 或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为 或12
7 7
5 100
(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为 或8或 或10
2 7
256
(4)t=
125
【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；PE AP AE 3 5
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式 = = ，得出PE= t，AE= t，当
OD OA AD 4 4
以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，
解方程即可；
5
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE= t−5
4
时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当
PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
8
（4）设直线AD交BB′于F，连接BB′，则AF⊥BB′，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF= ，得出
5
16 64
BB′= ，证明△AOE∼△BOB′，得出比例式求出AE= ，即可得出t的值．
5 25
（1）
解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：AD=√32+42=5，
①当0≤t≤4时，
∵PE∥x轴，
AP AE
∴ = ，
OA AD
t AE
∴ = ，
4 5
5
∴AE= t，
4
5
∴DE=5− t，
4
5
即y=5− t(0≤t≤4)；
4
5
②当t＞4时，y= t−5(t>4)；
4
5 5
综上所述，y关于t的函数关系式为y=5− t(0≤t≤4)，或y= t−5(t>4)；
4 4
（2）解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，
∵PE∥OD，
PE AP AE
∴ = = ，
OD OA AD
PE t AE
即 = = ，
3 4 5
3 5
解得：PE= t,AE= t，
4 4
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
3
①当0＜t＜4时， t=4− t，
4
16 12
解得：t= ，此时PE= ；
7 7
3
②当t＞4时， t=t−4，
4
解得：t=16，此时12；
16 12
综上所述，当t为 或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为 或12；
7 7
（3）
解：当0≤t≤4时，由PE=DE，
3 5
∴ t=5− t，
4 4
5
解得：t= ；
2
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
5
①当DP=DE= t−5时，
4由勾股定理得：OP2+OD2=DP2，
5 2
即(t−4)2+32=( t−5)
，
4
解得：t=8；
②当PE=PD时，
3 2
由勾股定理得：(t−4)2+32=(
t
)
，
4
100
解得：t= ，或t=4（舍去）；
7
100
∴t= ；
7
3 5
③当PE=DE时， t= t−5
4 4
解得：t=10；
5 100
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为 或8或 或10；
2 7
（4）
解：设AD交BB′于F，连接BB′，如图3所示：
则AF⊥BB′，
∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
BF BD BF 2
∴ = ，即 = ，
AO AD 4 5
8
∴BF= ，
5
16
∴BB′=2BF=
，
5
∵∠AOE=∠BOB′，∠OAD=∠FBD，
∴△AOE∼△BOB′，
AE 4
AE AO =
∴ = ，即16 5，
BB′ BO
5
64 5
∴AE= = t，
25 4256
∴t= ．
125
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性
质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是
（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．
40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分
∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．
过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积
为s（cm2）．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)AB＝5
1
(2)tan∠DAB=
2
3 15 3 5 3 15 75
(3)当0≤t≤ 时，S= −t2 ；当
