文档内容
2025---2026 学年度上学期期中考试
高一年级数学试题
答卷时间：120分钟 分值：150分；
说明：注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知 ， ， （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的表达形式即可得出答案.
【详解】由题知，
的代表元素是点，
的代表元素是实数，
两者没有交集.
故选：D
2. 已知命题 ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由题意可知，命题 为全称量词命题，该命题的否定为 ， ，
故选：A.
3. 设 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
的
【分析】先解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件 定义即可得解.
【详解】由 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.
故选：C.
4. 已知函数 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数性质代入求出 ，再代入计算即可求得结果.
【详解】由函数 可知 ，
所以 .
故选：A.
5. 若 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C.
【详解】对于A，由 ，得 ，因此 ，A正确；
对于B，取 ，得 ，B错误；
对于C， ，由 ，得 ，
则 ， ，即 ，C错误；
对于D，取 ，满足 ，而 ，D错误.
故选：A
6. 若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围．
【详解】设 ，则 在 上单调递增.
因为 在区间 内单调递减，
所以函数 在区间 内单调递减，
结合二次函数 的图象和性质，可得 ，解得 ．故选：A．
7. 已知函数 ，对于任意两不等实数 ， ，都有 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由题意可得函数 在 上单调递增，
则 ，解得 或 .
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
综上所述， 的取值范围为 .
故选：B.
8. 已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于 的不
等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数 的定义域关于原点对称求出 的值，利用 是偶函数可得 ，
将不等式 转化为 ，利用当 时， 单调递减，将 转化为 ，解出此不等式； 的定义域为 ，得到
，解出此不等式组，从而得解.
【详解】 定义在 上 的偶函数 ， ， ，
当 时， 单调递减， 当 时， 单调递减，
定义在 上的偶函数 ，
， ， ，
当 时， 单调递减，
， ，即 ，
解得 或 ，
的定义域为 ，
， ，
，
或 和 要同时成立，
，
关于 的不等式 的解集为 .
故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数 ，则 （ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD.
【详解】函数 的定义域为R，
，则 是奇函数，不是偶函数，A正
确，B错误；
对于C，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，因此 在 上单调递减，C正确；
对于D，当 时， 在 上单调递增，D错误.
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与 是同一个函数
B. 9
C. 若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 .
D. 若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】求函数定义域判断A；直接计算判断B；解不等式 判断C；分当 和时两种情况判断D.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，故函数
与 不是同一个函数，故A选项错误；
对于B， ，故B选项正确；
对于C，若函数 的值域为 ，则 ，即 ，所以实数 的取
值范围是 ，故C选项正确；
对于D，函数 的定义域为R，则 对 恒成立，故当 时
显然成立，当 时，则 ，解得 ，综合得实数k的取值范围是 ，故D
选项错误.
故选：BC
11. 定义 ，若函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若直线 与 的图象有2个交点，则
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上的值域为 ，则 的最大值为 ，最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题可得 ，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD.
【详解】注意到 或 ， .
则 ，即 .
A选项， ，故A正确.
B选项，画出函数 的图象，如图：
由图可知：若直线 与 的图象有2个交点，则 或 ，故B错误；
C选项，由图可知，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故C正确；
D选项，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
由图象可知：当 时， 取到最大值为 ，
当 时， 取到最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为_______.
【答案】【解析】
【分析】根据题意得到 再由均值不等式求解即可.
详解】已知 ， ，且 ,
【
当且仅当 时有最小值9.
故答案为9.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元
的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
13. 已知函数 ，且 ，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】由已知可得 ,从而可求 ,然后代入 即可求解.
【详解】解： ,
,
,由 ,
则 .
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.
14. 已知 ，关于 的不等式 的解集中有且仅有 个整数 ， ， ，则
_________， 的取值范围为_________．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据不等式解集中有且只有 个连续整数，确定解集的区间长度，
得出 的取值范围，再由对称轴判断出 即可.
【详解】由题意， ，即 ，
设不等式的解集为 ，则 ， ，
则 ，
因为不等式解集中有且仅有 个整数，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 的对称轴 满足 ，
而 ，即离对称轴距离最近的整数只有 ，
所以 ，所以三个整数解为 ，
所以 ，解得 .
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有 个整数如何表示，利用解集的区间长度建
立不等式是解题关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知集合 ， ．
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数a的取值集合．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可；
（2）先判断 ，然后因为 ，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
【小问2详解】
因为 ，所以
当 ，可知
所以实数a的取值集合为
16. （1）已知 ，求函数 的最小值；
（2）已知 ，求函数 的最大值.
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；
（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.【详解】（1） 时， ，根据基本不等式，
可得：
当 ，即 时取得等号，
故 时， 取得最小值是4；
（2） ，故 ，
根据基本不等式可得： ，
当 ，即 时取得等号，故 时，
的最大值是 .
17. 某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周
围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）10米 （2） 平方米
【解析】
【分析】（1）设草坪的宽为 米，长为 米，则 由题意，列出关于 的不等式，求解即可；
（2）求出整个绿化面的长为 米，宽为 米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．【小问1详解】
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得 ，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以宽的最大值为10米；
【小问2详解】
记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当 米时，
等号成立，所以整个绿化面积的最小值为 平方米
18. 已知函数 ，对于任意的 ，都有 ，当 时， ．
（1）求 的值；
（2）判断 的奇偶性和单调性；
（3）设函数 ，若方程 有2个不同的解，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2） 为奇函数；函数 是 上的减函数
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）在已知等式中令 ，可得 ；
（2）令 ，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性；（3）由奇函数性质及已知变形 的形式，然后在 中由 的单调性化简得
，即 ，作出函数 的图象，它与直线 的交点个数得结
论．
【小问1详解】
令 ，代入 得 ，所以 ．
【小问2详解】
令 ，
代入 ，可得 ，
所以 ，可得函数 为奇函数；
任取 ，且
又因为 时， ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 是 上的减函数．
【小问3详解】
，即
所以
，
令 ，即 ，
的
因为函数 是 上 减函数，所以 ，即令
作出 的图象如图，结合图象，可得：当 或 时，函数 有2个零点，
即实数m的取值范围为 或 ．
19. 已知函数 的图象经过点 .
（1）求 的值；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标可得解析式；
（2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式；
（3）利用单调性转化为 ，结合基本不等式可求答案.
【小问1详解】
因为函数的图象经过点 ，所以 ，解得 .
【小问2详解】
，定义域为 ， ，即 为奇函数；因为 为增函数， 为减函数，所以 为增函数，
等价于 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，故解集为 .
【小问3详解】
由（2）可知函数为增函数， ，所以 ；
等价于 ，即 在 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上的最小值为 ，
所以 ，即 ，
实数 的取值范围是 .
