文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 16 二次函数的应用【十大题型】
【题型1 方案选择问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 拱桥问题】..................................................................................................................................................3
【题型3 隧道问题】..................................................................................................................................................5
【题型4 喷泉问题】..................................................................................................................................................7
【题型5 球类飞行轨迹问题】..................................................................................................................................8
【题型6 空中跳跃轨迹问题】................................................................................................................................10
【题型7 最大利润问题】........................................................................................................................................12
【题型8 图形运动问题】........................................................................................................................................14
【题型9 图形面积问题】........................................................................................................................................16
【题型10 现实生活问题】........................................................................................................................................17
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 方案选择问题】
【例1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000
元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进
价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．
该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m(50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长
的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇
签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利
0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【变式1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P ，P 在抛物线AED上．设点P 的横坐标为 m(00)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【题型9 图形面积问题】
【例9】（2023·湖北武汉·模拟预测）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校
准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣
小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积
为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【变式9-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成
两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
(2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？
【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米
的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案
甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形ABCD的面积y(m2)的最大值．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【变式9-3】（2023·福建·统考中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一
个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方
米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的
矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【题型10 现实生活问题】
【例10】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，
10
其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y=
x
的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当
甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
【变式10-1】（2010·甘肃兰州·中考真题）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距
较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
【变式10-2】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线
1
y= x2的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．
100
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多
少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米
的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【变式10-3】（2023·河北·统考二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的
最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB=1.5米，若茶几摆放在灯
罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE=（ ）
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
20
