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专题 02 分式方程及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0 的未知数的值，这个值
叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而
是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是
使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情
况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验
（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题： ②工程问题： （工作总量
设为1）③销售问题：
模块三 考点一遍过
考点1：分式方程的定义x 5 2 1+x 1 2
典例1：已知方程：① =2；② =2；③y= x；④ = ；⑤y+1= ；⑥
5 x 3 5+x 2 y
1+3(x−2)=7−x，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解： 是分式方程， 是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C． ②④⑤ ①⑥
【变式1】有下列方程：
2 2 2 1 x−1 1
① x2=1；② −x2=1；③ =x；④ +3= ；⑤ =2；⑥2x−3 y=0；⑦
3 π 3x x−2 x−2 x
x+1 2x x+1 3 5
−3= ；⑧ +3；⑨ = ，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是
2 7 x−2 x−2 x
．（填序号）
【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【知识点】分式方程的定义、判断各式是否是方程
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
2 2 2
【详解】解：∵① x2=1为整式方程；② −x2=1为整式方程；③ =x为分式方程；④
3 π 3x
1 x−1 1 x+1 2x
+3= 为分式方程；⑤ =2为分式方程；⑥2x−3 y=0为整式方程；⑦ −3= 为
x−2 x−2 x 2 7
x+1 3 5
整式方程；⑧ +3为不是方程；⑨ = 为分式方程．
x−2 x−2 x
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数
都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有
未知数整式的有理方程．
【变式2】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
ax+b 1 x+5 m+x m−x 2x 2 1 3
① =5；② (x+b)+2= ；③ +2= ；④ = ；⑤1+ =2− ；⑥
2 4 3 a a 2x−1 x x x
a+b a+b 1 1 1 b x−b x+b x−n x+m
= ；⑦ − = − ；⑧ =2+ ；⑨ + =2．
x a a x b x a a x+m x−n【答案】④⑤⑥⑦⑨
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
ax+b
【详解】① =5是整式方程，故①不符合题意；
2
1 x+5
② (x+b)+2= 是整式方程，故②不符合题意；
4 3
m+x m−x
③ +2= 是整式方程，故③不符合题意；
a a
2x 2
④ = 是分式方程，故④符合题意；
2x−1 x
1 3
⑤1+ =2− 是分式方程，故⑤符合题意；
x x
a+b a+b
⑥ = 是分式方程，故⑥符合题意；
x a
1 1 1 b
⑦ − = − 是分式方程，故⑦符合题意；
a x b x
x−b x+b
⑧ =2+ 是整式方程，故⑧不符合题意；
a a
x−n x+m
⑨ + =2是分式方程，故⑨符合题意；
x+m x−n
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
x x−1 x 500 x 3 a 1
【变式3】关于x的方程：① − =6；② = ；③ +1= x；④ = ；⑤
2 3 900 x−30 3 2 2x x
320 400 x 3
− =4；⑥ = −x，分式方程有 (填序号)．
x x a 5
【答案】②④⑤
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义−−分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，
x 500 a 1 320 400
知分式方程有：② = ；④ = ；⑤ − =4，
900 x−30 2x x x x
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查判断一个方程是否为分式方程，解题的关键是是依据分式方程的定义，也就是看
分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【变式4】下列方程不是分式方程的是（ ）1 x 4
A． +x=2+3x B． =
x 2x+3 5
x x+1 1 4
C． − =4 D． + =1
π 3 x−5 2x+3
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解答本题的关键，分母中含有未
知数的方程叫做分式方程．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；
故选：C．
1 2x+1 1−3x x x
【变式5】下列关于x的方程中（1） =1；（2） =1+ ；（3） + =1；（4）
x 3 4 b b
x 2x+3 y
−3=a+4；（5） +1=0，其中是分式方程的有（ ）
a π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
1
【详解】 =1分母中含有未知数，故是分式方程；
x
2x+1 1−3x
=1+ 分母中不含有未知数，故不是分式方程；
3 4
x x
关于x的方程 + =1分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
b b
x
关于x的方程 −3=a+4分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
a
2x+3 y
+1=0分母中π是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
π
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
考点2：解分式方程2 4
典例2：(1) =
2x−1 4x2−1
2x 7
(2) +1=
x+3 2x+6
【答案】(1)方程无解
1
(2)x=
6
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
2 4
【详解】（1）解： =
2x−1 4x2−1
2 4
=
2x−1 (2x+1)(2x−1)
方程两边同时乘以(2x+1)(2x−1)得：2(2x+1)=4，
即4x+2=4，
1
解得：x= ，
2
1
经检验，当x= 时，(2x+1)(2x−1)=0，
2
故原方程无解；
2x 7
（2）解： +1=
x+3 2x+6
方程两边同时乘以2(x+3)得：4x+2(x+3)=7，
1
解得：x= ，
6
1
经检验，x= 是原方程的解．
6
【变式1】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
1 x
习题1：计算 + 1 x
x2−1 x+1 习题2：解方程 + =1
x2−1 x+1
1 x
解： + 解：方程两边同乘(x2−1)，得
x2−1 x+1= 1 ⋅(x2−1)+ x ⋅(x2−1 x ) 2−1 + x(x2−1) =x2−1第一步
x2−1 x+1 x2−1 x+1
第一步
1+x(x+1)=x2−1第二步
=1+x(x−1)第二步
x=−2第三步
=1+x2−1第三步
经检验，x=−2是原方程的解．第四
=x2第四步
步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)第1题第一步， 第2题第二步
(2)见解析
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的
第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键．
（1）根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．
（2）按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：第1题第一步和分式加法计算， 第2题第二步和分式加法计算．
1 x
（2）解：习题1： +
x2−1 x+1
1 x(x−1)
= +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x2−x+1
=
(x+1)(x−1)
x2−x+1
= ．
x2−1
1 x
习题2：解： + =1，
x2−1 x+1
方程两边同乘 (x²−1)，得1+x(x−1)=x2−1，
解得 ：x=2．
经检验x=2是原分式方程的解．
【变式2】解下列分式方程：
x 2x
(1) = +1；
x+1 3x+32 4 1
(2) − = ．
x−2 x2−4 x+2
3
【答案】(1)x=−
2
(2)原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
x 2x x 2x
【详解】（1）解： = +1可化为 = +1，
x+1 3x+3 x+1 3(x+1)
方程两边都乘3(x+1)，得3x=2x+3(x+1)，
去括号移项得：2x=−3，
3
解得x=− ，
2
3
经检验，x=− 是原分式方程的解，
2
3
∴原分式方程的解为x=− ．
2
2 4 1 2 4 1
（2）解： − = 可化为 − = ，
x−2 x2−4 x+2 x−2 (x−2)(x+2) x+2
去分母，得2(x+2)−4=x−2，
去括号得：2x+4−4=x−2，
解得：x=−2，
经检验，x=−2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
|a b| |a b|
【变式3】“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
=ad−bc，例如：
c d c d
|1 2|
=1×4−2×3=−2
．
3 4
| a+b a−b |
(1)计算 1 1 ；
2a2b 2a2b| 2 1 |
(2)求等式 1 1 =1中x的值．
1−x x−1
1
【答案】(1)
a2
(2)x=4
【知识点】解分式方程、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式方程的应用、新定义运算，解题的关键在于正确理解新定义．
（1）根据题意，可以将所求式子展开，然后计算即可．
（2）根据题意，可以将所求的方程转化为分式方程，然后解方程即可，注意要检验．
| a+b a−b |
1 1 a+b−a+b 1
【详解】（1）解： 1 1 =(a+b)⋅ −(a−b)⋅ = = ；
2a2b 2a2b 2a2b a2
2a2b 2a2b
| 2 1 |
（2）解：由 1 1 =1，
1−x x−1
1 1
得2× − =1，
x−1 1−x
2 1
整理得： + =1，
x−1 x−1
解之得：x=4.
经检验x=4是分式方程的根，
所以x的值为4．
【变式4】解分式方程．
9x−7 4x−5
(1) −1=
3x−2 2−3x
x 3
(2) − =1．
x+3 x2−9
【答案】(1)x=1
(2)x=2
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可，注意分
式方程最后要检验；
（1）方程两边同乘3x−2，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
（1）方程两边同乘(x+3)(x−3)，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
【详解】（1）解：原方程去分母得：9x−7−(3x−2)=5−4x，去括号得：9x−7−3x+2=5−4x，
移项，合并同类项得：10x=10，
系数化为1得：x=1，
检验，当x=1时3x−2≠0，
故原分式方程的解为x=1．
x 3
（2）解： − =1，
x+3 x2−9
x 3
方程变形为： − =1，
x+3 (x+3)(x−3)
x(x−3)−3=(x+3)(x−3)，
x2−3x−3=x2−9，
−3x=−9+3，
−3x=−6，
x=2．
检验：当x=2时，(x+3)(x−3)≠0，
∴原方程的解是x=2．
2 x 1 1
【变式5】已知P= + ,Q= − ．
x2−4 x2−4 x+2 x−2
(1)分别化简P和Q；
(2)若P=Q，求x的值．
1 4
【答案】(1)P= ，Q=−
x−2 x2−4
(2)−6
【知识点】解分式方程、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的加减运算，解分式方程，熟练掌握分式的通分，约分，解分式方程的方
法是解题的关键；
（1）根据分式的加减运算法则求解即可；
1 4
（2）根据P=Q得到分式方程 =− ，再解分式方程即可．
x−2 x2−4
2 x x+2 1
【详解】（1）解：P= + = = ，
x2−4 x2−4 (x+2)(x−2) x−2
1 1 x−2 x+2 x−2−x−2 4
Q= − = − = =− ；
x+2 x−2 (x+2)(x−2) (x+2)(x−2) x2−4 x2−4
1 4
（2）解：由（1）知，P= ，Q=− ，
x−2 x2−4
∵P=Q，1 4
∴ =− ，
x−2 x2−4
方程两边同乘以(x2−4)，得x+2=−4，
解得：x=−6，
经检验，x=−6是分式方程的解，
∴x的值为−6．
考点3：分式方程解的应用——求参数
典例3：解方程：
x+1 x 2m−x
已知关于x的方程： − = 的解是正数，求m的取值范围
x−3 x+2 x2−x−6
23
【答案】m>1且m≠
2
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，
然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母≠0，列出关于m的不等式，解不等式即可．
x+1 x 2m−x
【详解】解： − = ，
x−3 x+2 x2−x−6
方程两边同时乘(x−3)(x+2)得：
(x+1)(x+2)−x(x−3)=2m−x，
6x+2=2m−x，
7x=2m−2，
2m−2
x= ，
7
∵此方程的解为正数，
2m−2
∴ >0，
7
解得m>1，
∵分式方程有解，
∴(x−3)(x+2)≠0，
2m−2 2m−2
∴ −3≠0， +2≠0，
7 7
23
∴m≠ ，m≠−6，
2
23
∴m的取值范围为：m>1且m≠ ．
25−x k
【变式1】关于x的分式方程 = −1的解为非负数，求k的取值范围．
x+2 (x−1)(x+2)
【答案】k≥−7且k≠0
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】首先解关于x的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得
k的范围．
本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键．
【详解】解：方程两边同时乘以(x−1)(x+2)得：(5−x)(x−1)=k−(x−1)(x+2)，
即6x−x2−5=k−x2−x+2，
移项得−x2+x2+6x+x=2+5+k，
合并同类项得7x=7+k，
7+k
系数化为1得x=
7
7+k 7+k 7+k
根据题意得： ≥0且 ≠−2， ≠1，
7 7 7
解得：k≥−7且k≠0．
2x−m
【变式2】关于x的分式方程 =3的解是正数，求满足条件的整数m的最大值．
x−1
【答案】满足条件的整数m的最大值是：1
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查含参数分式方程解的问题，先解分式方程，根据解是正数列不等式求解即可得到
答案；
2x−m
【详解】解：解 =3得，
x−1
x=3−m，
∴x=3−m，
2x−m
∵关于x的分式方程 =3的解是正数，
x−1
∴3−m>0，且x−1≠0，
解得：m<3，3−m≠1，
∴m<3，m≠2，
∴满足条件的整数m的最大值是：1．
7 mx
【变式3】关于x的分式方程3− = ．
1−x x−1
(1)若m=3，解分式方程；
(2)若这个方程的解为x=2，求m的值；【答案】(1)无解
(2)5
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查解分式方程，根据方程的解求参数：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，将x=2代入，进行求解即可．
7 3x
【详解】（1）解：当m=3时，方程化为：3− = ，
1−x x−1
去分母，得：3(x−1)+7=3x，
3x−3+7=3x，
4=0，等式不成立，
∴原方程无解；
7 mx
（2）3− =
1−x x−1
去分母，得：3(x−1)+7=mx，
把x=2代入，得：3×(2−1)+7=2m，
解得：m=5．
3x−1 m
【变式4】已知关于x的分式方程 − =1．
x+1 x+1
(1)若该方程的解为x=3，求m的值；
(2)若此方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】(1)m=4
(2)m<−2且m≠−4．
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程
【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是
解题的关键．
（1）将分式方程的解x=3代入方程，即可计算字母的值．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【详解】（1）解：把x=3代入原方程，
3×3−1 m
得： − =1，
3+1 3+1
解得m=4；
（2）解：方程两边同时乘以x+1，
得3x−1−m=x+1，2+m
得x= ．
2
∵方程的解为负数，
2+m
∴ <0，
2
解得m<−2，
∵原分式方程有解，
2+m
∴ ≠−1，
2
解得m≠−4，
∴m<−2且m≠−4．
4 x+1
【变式5】（1）解方程： =1− ．
1−x2 x−1
1 m
（2）关于x的分式方程 − =1的解为正数，则m的取值范围
x−2 2−x
【答案】（1）原方程无解（2）m>−3且m≠−1
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的是解分式方程及分式方程的解为正数，熟记“注意分式方程要检验，分母不为
0”是解本题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤计算即可；
（2）先解分式方程可得x=m+3，再根据解为正数可得¿，从而可得答案．
【详解】解：（1）方程两边都乘(x−1)(x+1)得：
x2−1−(x+1) 2=−4，
x2−1−x2−2x−1=−4，
−2x−2=−4，
−2x=−2，
∴x=1，
经检验，x=1是原分式方程的增根，
所以，原方程无解；
1 m
（2） − =1，
x−2 2−x
1+m=x−2，
∴x=m+3，
1 m
∵关于x的分式分程 − =1的解为正数，
x−2 2−x∴¿，
解得：m>−3且m≠−1．
考点4：分式方程无解问题
3 6 mx
典例4：已知，关于x的方程： + = ．
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
(1)若方程有增根，求m的取值；
(2)若方程无解，求m的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数m的值．
【答案】(1)若方程有增根，m的取值为6或12；
(2)若方程无解，m的取值为6或9或12；
(3)m=8或10
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解分式方程、根据分式方程解的情况求
值、分式方程无解问题
【分析】（1）根据分式方程的解法得出(m−9)x=3，然后将增根x=±1代入求解即可；
（2）分当m−9=0时原分式方程无解，当m=6或12时方程有增根，从而求解；
3
（3）由(m−9)x=3，得x= ，然后根据方程的解为整数得出m−9=±3，m−9=±1，最后求
m−9
解并检验即可；
本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：去分母，得3(x−1)+6(x+1)=mx，
去括号，得3x−3+6x+6=mx，
移项、合并同类项，得(m−9)x=3，
当x=−1时，得9−m=3，
解得m=6；
当x=1时，得m−9=3，
解得m=12，
∴若方程有增根，m的取值为6或12；
（2）解：∵(m−9)x=3，
∴当m−9=0时原分式方程无解，
∴m=9，
∵当m=6或12时方程有增根，
∴若方程无解，m的取值为6或9或12；
（3）解：∵(m−9)x=3，
3
∴x= ，
m−9∵方程的解为整数，
∴m−9=±3，m−9=±1，
当m−9=3时，m=12（舍去）；
当m−9=−3时，m=6（舍去）；
当m−9=1时，m=10；
当m−9=−1时，m=8；
∴m=8或10．
x+a 5
【变式1】已知关于x的分式方程 − =1．
x−2 x
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)1
(2)−2
(3)3或−2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，
（1）将分式方程转化为整式方程，把x=5代入，求解即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的x的值，代入，求解即可；
（3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可；
【详解】（1）解：方程去分母，得：x2+ax−5x+10=x2−2x，
整理，得：(a−3)x+10=0，
∵分式方程的根是x=5，
∴5(a−3)+10=0，
∴a=1；
（2）由（1）将分式化为整式方程为：(a−3)x+10=0，
∵分式方程有增根，
∴x−2=0或x=0，
∴x=2或x=0，
当x=2时，2(a−3)+10=0，解得：a=−2；
当x=0时，(a−3)x+10=0无解，舍去；
∴a=−2；
（3）由（1）将分式化为整式方程为：(a−3)x+10=0，
由（2）知，当a=−2时，分式方程有增根，无解；当(a−3)x+10=0无解时，即a−3=0时，分式方程也无解，
∴a=3；
综上：a=−2或a=3．
m+2 m 1−m
【变式2】关于x的方程 + = ．
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
1 7
【答案】(1)当m= 或m=− 时，方程有增根；
4 2
1 7
(2)当m=−1或m= 或m=− 时，方程无解
4 2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的
关键．
（1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值；
（2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
m+2 m 1−m
【详解】（1）解： + =
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
方程两边都乘(x+2)(x−1)，
得(m+2)(x−1)+m(x+2)=1−m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x+2)(x−1)=0，
解得x=1或x=−2，
当x=1时，则(m+2)(1−1)+m(1+2)=1−m，
1
解得m= ；
4
当x=−2时，则(m+2)(−2−1)+m(−2+2)=1−m，
7
解得m=− ，
2
1 7
∴当m= 或m=− 时，方程有增根；
4 2
（2）解：由（1）可得(m+2)(x−1)+m(x+2)=1−m，
3−2m
则2(m+1)x=3−2m，即x=
，
2(m+1)
当m+1=0，即m=−1时整式方程无解，3−2m 7
当
=−2，即m=−
时整式方程无解，
2(m+1) 2
3−2m 1
当
=1，即m=
时整式方程无解，
2(m+1) 4
1 7
∴当m=−1或m= 或m=− 时，方程无解．
4 2
【变式3】阅读下列材料：
a
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1的解为正
x−4
数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于
x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪说：你考
虑的不全面，还必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
m x
（2）已知关于x的方程 − =2的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
（3）若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
5
【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）m≥−6且m≠−3；（3）n=1或 ．
3
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数：
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出m的取
值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，
即可求出n的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
m x
（2）解：原方程可化为 + =2
x−3 x−3
去分母得：m+x=2(x−3)
解得：x=m+6
∵解为非负数
∴m+6≥0，即m≥−6
又∵x−3≠0∴m+6≠3，即m≠−3
∴m≥−6且m≠−3
（3）解：去分母得：3−2x+nx−2=−(x−3)
解得：(n−1)x=2
∵原方程无解
∴n−1=0或者x=3
①当n−1=0时，得：n=1
2 5
②当x=3时， =3，得：n=
(n−1) 3
5
综上：当n=1或n= 时原方程无解．
3
【变式4】在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘
以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未
知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简
公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
1−x 1
(1)解分式方程 +2= 时产生了增根，这个增根是： ；
x−2 2−x
x−m 5
(2)若关于x的方程 − =1有增根，求m的值： ；
x−2 x
mx 1
(3)已知整数m使关于x的方程 − =3有整数解，求m的值．
1−x x−1
【答案】(1)x=2
(2)m=2
(3)m=−2,−4,−5
【知识点】分式方程无解问题
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方
程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
1−x 1
（1）解分式方程 +2= 时产生了增根，则x−2=0,据此求出这个增根即可；
x−2 2−x
（2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−2=0或x=0,据此
求出x的值，代入整式方程求出m的值即可；
mx 1 mx 1
（3）首先根据 − =3,用含m的式子表示出x，然后根据关于x的方程 − =3有
1−x x−1 1−x x−1
整数解，求出m的值即可.
1−x 1
【详解】（1）解：解分式方程 +2= 时产生了增根，
x−2 2−x∴x−2=0，
解得x=2，
故答案为：x=2；
（2）x(x−m)−5(x−2)=x(x−2)，
x2−mx−5x+10=x2−2x，
(3+m)x=10．
将x=0代入方程得：0=10．不符合条件．
将x=2代入方程得：6+2m=10．
m=2．
综上所述，m=2．
（3）mx+1=3−3x，
(m+3)x=2，
2
x= (m≠−3)．
m+3
∵x≠1．
∴m≠−1．
2
∵ 为整数，
m+3
∴m+3=1,2,−1,−2，
∴m=−2,−1,−4,−5．
综上所述，m=−2,−4,−5．
a
【变式5】学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1
x−4
的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解
这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪
说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
x+m 3m
(2)已知关于x的方程 + =3的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
(3)若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）
9 3
(2)m≤ 且m≠
2 2
5
(3)当n=1或n= 时原方程无解
3【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步
骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾
根两种情况．
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，
即可求出n的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
9
（2）解方程，得x= −m，
2
∵方程的解为非负数，
9
∴ −m≥0，
2
9
∴m≤ ，
2
∵x≠3，
3
∴m≠ ，
2
9 3
∴m≤ 且m≠ ；
2 2
（3）原方程化简为：(n−1)x=2
∵原方程无解，
∴n−1=0或x=3
①当n−1=0时，解得n=1；
5
②当x=3时，解得n=
3
5
∴当n=1或n= 时原方程无解．
3
考点5：不等式与分式方程
典例5：若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有45个整数解，且使关于y的方程
2y+a+2 60
+ =1的解为非正数，求整数a的值．
y+1 1+ y
【答案】−61或−59【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程；解不等式组，得到不等式组的解集，根据整
数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范
围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：¿
解不等式①得：x≤25
a+1
解不等式②得：x>
3
a+1
∴不等式组的解集为： 0，
∴a>−4，
ax−3 3x−1
∵关于x的分式方程 +1= 可能会产生增根2，
x−2 2−x
6
∴ ≠2，
a+4
∴a≠−1，解关于y的一元一次不等式组¿得：¿，
∵关于y的一元一次不等式组¿有解，
∴a−3<0，
∴a<3，
综上，−4
