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专题 02 分式方程及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0 的未知数的值，这个值
叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而
是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是
使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情
况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验
（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题： ②工程问题： （工作总量
设为1）③销售问题：
模块三 考点一遍过
考点1：分式方程的定义x 5 2 1+x 1 2
典例1：已知方程：① =2；② =2；③y= x；④ = ；⑤y+1= ；⑥
5 x 3 5+x 2 y
1+3(x−2)=7−x，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解： 是分式方程， 是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C． ②④⑤ ①⑥
【变式1】有下列方程：
2 2 2 1 x−1 1
① x2=1；② −x2=1；③ =x；④ +3= ；⑤ =2；⑥2x−3 y=0；⑦
3 π 3x x−2 x−2 x
x+1 2x x+1 3 5
−3= ；⑧ +3；⑨ = ，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是
2 7 x−2 x−2 x
．（填序号）
【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【知识点】分式方程的定义、判断各式是否是方程
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
2 2 2
【详解】解：∵① x2=1为整式方程；② −x2=1为整式方程；③ =x为分式方程；④
3 π 3x
1 x−1 1 x+1 2x
+3= 为分式方程；⑤ =2为分式方程；⑥2x−3 y=0为整式方程；⑦ −3= 为
x−2 x−2 x 2 7
x+1 3 5
整式方程；⑧ +3为不是方程；⑨ = 为分式方程．
x−2 x−2 x
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数
都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有
未知数整式的有理方程．
【变式2】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
ax+b 1 x+5 m+x m−x 2x 2 1 3
① =5；② (x+b)+2= ；③ +2= ；④ = ；⑤1+ =2− ；⑥
2 4 3 a a 2x−1 x x x
a+b a+b 1 1 1 b x−b x+b x−n x+m
= ；⑦ − = − ；⑧ =2+ ；⑨ + =2．
x a a x b x a a x+m x−n【答案】④⑤⑥⑦⑨
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
ax+b
【详解】① =5是整式方程，故①不符合题意；
2
1 x+5
② (x+b)+2= 是整式方程，故②不符合题意；
4 3
m+x m−x
③ +2= 是整式方程，故③不符合题意；
a a
2x 2
④ = 是分式方程，故④符合题意；
2x−1 x
1 3
⑤1+ =2− 是分式方程，故⑤符合题意；
x x
a+b a+b
⑥ = 是分式方程，故⑥符合题意；
x a
1 1 1 b
⑦ − = − 是分式方程，故⑦符合题意；
a x b x
x−b x+b
⑧ =2+ 是整式方程，故⑧不符合题意；
a a
x−n x+m
⑨ + =2是分式方程，故⑨符合题意；
x+m x−n
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
x x−1 x 500 x 3 a 1
【变式3】关于x的方程：① − =6；② = ；③ +1= x；④ = ；⑤
2 3 900 x−30 3 2 2x x
320 400 x 3
− =4；⑥ = −x，分式方程有 (填序号)．
x x a 5
【答案】②④⑤
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义−−分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，
x 500 a 1 320 400
知分式方程有：② = ；④ = ；⑤ − =4，
900 x−30 2x x x x
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查判断一个方程是否为分式方程，解题的关键是是依据分式方程的定义，也就是看
分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【变式4】下列方程不是分式方程的是（ ）1 x 4
A． +x=2+3x B． =
x 2x+3 5
x x+1 1 4
C． − =4 D． + =1
π 3 x−5 2x+3
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解答本题的关键，分母中含有未
知数的方程叫做分式方程．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；
故选：C．
1 2x+1 1−3x x x
【变式5】下列关于x的方程中（1） =1；（2） =1+ ；（3） + =1；（4）
x 3 4 b b
x 2x+3 y
−3=a+4；（5） +1=0，其中是分式方程的有（ ）
a π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
1
【详解】 =1分母中含有未知数，故是分式方程；
x
2x+1 1−3x
=1+ 分母中不含有未知数，故不是分式方程；
3 4
x x
关于x的方程 + =1分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
b b
x
关于x的方程 −3=a+4分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
a
2x+3 y
+1=0分母中π是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
π
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
考点2：解分式方程2 4
典例2：(1) =
2x−1 4x2−1
2x 7
(2) +1=
x+3 2x+6
【答案】(1)方程无解
1
(2)x=
6
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
2 4
【详解】（1）解： =
2x−1 4x2−1
2 4
=
2x−1 (2x+1)(2x−1)
方程两边同时乘以(2x+1)(2x−1)得：2(2x+1)=4，
即4x+2=4，
1
解得：x= ，
2
1
经检验，当x= 时，(2x+1)(2x−1)=0，
2
故原方程无解；
2x 7
（2）解： +1=
x+3 2x+6
方程两边同时乘以2(x+3)得：4x+2(x+3)=7，
1
解得：x= ，
6
1
经检验，x= 是原方程的解．
6
【变式1】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
1 x
习题1：计算 + 1 x
x2−1 x+1 习题2：解方程 + =1
x2−1 x+1
1 x
解： + 解：方程两边同乘(x2−1)，得
x2−1 x+1= 1 ⋅(x2−1)+ x ⋅(x2−1 x ) 2−1 + x(x2−1) =x2−1第一步
x2−1 x+1 x2−1 x+1
第一步
1+x(x+1)=x2−1第二步
=1+x(x−1)第二步
x=−2第三步
=1+x2−1第三步
经检验，x=−2是原方程的解．第四
=x2第四步
步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)第1题第一步， 第2题第二步
(2)见解析
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的
第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键．
（1）根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．
（2）按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：第1题第一步和分式加法计算， 第2题第二步和分式加法计算．
1 x
（2）解：习题1： +
x2−1 x+1
1 x(x−1)
= +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x2−x+1
=
(x+1)(x−1)
x2−x+1
= ．
x2−1
1 x
习题2：解： + =1，
x2−1 x+1
方程两边同乘 (x²−1)，得1+x(x−1)=x2−1，
解得 ：x=2．
经检验x=2是原分式方程的解．
【变式2】解下列分式方程：
x 2x
(1) = +1；
x+1 3x+32 4 1
(2) − = ．
x−2 x2−4 x+2
3
【答案】(1)x=−
2
(2)原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
x 2x x 2x
【详解】（1）解： = +1可化为 = +1，
x+1 3x+3 x+1 3(x+1)
方程两边都乘3(x+1)，得3x=2x+3(x+1)，
去括号移项得：2x=−3，
3
解得x=− ，
2
3
经检验，x=− 是原分式方程的解，
2
3
∴原分式方程的解为x=− ．
2
2 4 1 2 4 1
（2）解： − = 可化为 − = ，
x−2 x2−4 x+2 x−2 (x−2)(x+2) x+2
去分母，得2(x+2)−4=x−2，
去括号得：2x+4−4=x−2，
解得：x=−2，
经检验，x=−2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
|a b| |a b|
【变式3】“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
=ad−bc，例如：
c d c d
|1 2|
=1×4−2×3=−2
．
3 4
| a+b a−b |
(1)计算 1 1 ；
2a2b 2a2b| 2 1 |
(2)求等式 1 1 =1中x的值．
1−x x−1
1
【答案】(1)
a2
(2)x=4
【知识点】解分式方程、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式方程的应用、新定义运算，解题的关键在于正确理解新定义．
（1）根据题意，可以将所求式子展开，然后计算即可．
（2）根据题意，可以将所求的方程转化为分式方程，然后解方程即可，注意要检验．
| a+b a−b |
1 1 a+b−a+b 1
【详解】（1）解： 1 1 =(a+b)⋅ −(a−b)⋅ = = ；
2a2b 2a2b 2a2b a2
2a2b 2a2b
| 2 1 |
（2）解：由 1 1 =1，
1−x x−1
1 1
得2× − =1，
x−1 1−x
2 1
整理得： + =1，
x−1 x−1
解之得：x=4.
经检验x=4是分式方程的根，
所以x的值为4．
【变式4】解分式方程．
9x−7 4x−5
(1) −1=
3x−2 2−3x
x 3
(2) − =1．
x+3 x2−9
【答案】(1)x=1
(2)x=2
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可，注意分
式方程最后要检验；
（1）方程两边同乘3x−2，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
（1）方程两边同乘(x+3)(x−3)，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
【详解】（1）解：原方程去分母得：9x−7−(3x−2)=5−4x，去括号得：9x−7−3x+2=5−4x，
移项，合并同类项得：10x=10，
系数化为1得：x=1，
检验，当x=1时3x−2≠0，
故原分式方程的解为x=1．
x 3
（2）解： − =1，
x+3 x2−9
x 3
方程变形为： − =1，
x+3 (x+3)(x−3)
x(x−3)−3=(x+3)(x−3)，
x2−3x−3=x2−9，
−3x=−9+3，
−3x=−6，
x=2．
检验：当x=2时，(x+3)(x−3)≠0，
∴原方程的解是x=2．
2 x 1 1
【变式5】已知P= + ,Q= − ．
x2−4 x2−4 x+2 x−2
(1)分别化简P和Q；
(2)若P=Q，求x的值．
1 4
【答案】(1)P= ，Q=−
x−2 x2−4
(2)−6
【知识点】解分式方程、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的加减运算，解分式方程，熟练掌握分式的通分，约分，解分式方程的方
法是解题的关键；
（1）根据分式的加减运算法则求解即可；
1 4
（2）根据P=Q得到分式方程 =− ，再解分式方程即可．
x−2 x2−4
2 x x+2 1
【详解】（1）解：P= + = = ，
x2−4 x2−4 (x+2)(x−2) x−2
1 1 x−2 x+2 x−2−x−2 4
Q= − = − = =− ；
x+2 x−2 (x+2)(x−2) (x+2)(x−2) x2−4 x2−4
1 4
（2）解：由（1）知，P= ，Q=− ，
x−2 x2−4
∵P=Q，1 4
∴ =− ，
x−2 x2−4
方程两边同乘以(x2−4)，得x+2=−4，
解得：x=−6，
经检验，x=−6是分式方程的解，
∴x的值为−6．
考点3：分式方程解的应用——求参数
典例3：解方程：
x+1 x 2m−x
已知关于x的方程： − = 的解是正数，求m的取值范围
x−3 x+2 x2−x−6
23
【答案】m>1且m≠
2
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，
然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母≠0，列出关于m的不等式，解不等式即可．
x+1 x 2m−x
【详解】解： − = ，
x−3 x+2 x2−x−6
方程两边同时乘(x−3)(x+2)得：
(x+1)(x+2)−x(x−3)=2m−x，
6x+2=2m−x，
7x=2m−2，
2m−2
x= ，
7
∵此方程的解为正数，
2m−2
∴ >0，
7
解得m>1，
∵分式方程有解，
∴(x−3)(x+2)≠0，
2m−2 2m−2
∴ −3≠0， +2≠0，
7 7
23
∴m≠ ，m≠−6，
2
23
∴m的取值范围为：m>1且m≠ ．
25−x k
【变式1】关于x的分式方程 = −1的解为非负数，求k的取值范围．
x+2 (x−1)(x+2)
【答案】k≥−7且k≠0
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】首先解关于x的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得
k的范围．
本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键．
【详解】解：方程两边同时乘以(x−1)(x+2)得：(5−x)(x−1)=k−(x−1)(x+2)，
即6x−x2−5=k−x2−x+2，
移项得−x2+x2+6x+x=2+5+k，
合并同类项得7x=7+k，
7+k
系数化为1得x=
7
7+k 7+k 7+k
根据题意得： ≥0且 ≠−2， ≠1，
7 7 7
解得：k≥−7且k≠0．
2x−m
【变式2】关于x的分式方程 =3的解是正数，求满足条件的整数m的最大值．
x−1
【答案】满足条件的整数m的最大值是：1
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查含参数分式方程解的问题，先解分式方程，根据解是正数列不等式求解即可得到
答案；
2x−m
【详解】解：解 =3得，
x−1
x=3−m，
∴x=3−m，
2x−m
∵关于x的分式方程 =3的解是正数，
x−1
∴3−m>0，且x−1≠0，
解得：m<3，3−m≠1，
∴m<3，m≠2，
∴满足条件的整数m的最大值是：1．
7 mx
【变式3】关于x的分式方程3− = ．
1−x x−1
(1)若m=3，解分式方程；
(2)若这个方程的解为x=2，求m的值；【答案】(1)无解
(2)5
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查解分式方程，根据方程的解求参数：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，将x=2代入，进行求解即可．
7 3x
【详解】（1）解：当m=3时，方程化为：3− = ，
1−x x−1
去分母，得：3(x−1)+7=3x，
3x−3+7=3x，
4=0，等式不成立，
∴原方程无解；
7 mx
（2）3− =
1−x x−1
去分母，得：3(x−1)+7=mx，
把x=2代入，得：3×(2−1)+7=2m，
解得：m=5．
3x−1 m
【变式4】已知关于x的分式方程 − =1．
x+1 x+1
(1)若该方程的解为x=3，求m的值；
(2)若此方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】(1)m=4
(2)m<−2且m≠−4．
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程
【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是
解题的关键．
（1）将分式方程的解x=3代入方程，即可计算字母的值．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【详解】（1）解：把x=3代入原方程，
3×3−1 m
得： − =1，
3+1 3+1
解得m=4；
（2）解：方程两边同时乘以x+1，
得3x−1−m=x+1，2+m
得x= ．
2
∵方程的解为负数，
2+m
∴ <0，
2
解得m<−2，
∵原分式方程有解，
2+m
∴ ≠−1，
2
解得m≠−4，
∴m<−2且m≠−4．
4 x+1
【变式5】（1）解方程： =1− ．
1−x2 x−1
1 m
（2）关于x的分式方程 − =1的解为正数，则m的取值范围
x−2 2−x
【答案】（1）原方程无解（2）m>−3且m≠−1
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的是解分式方程及分式方程的解为正数，熟记“注意分式方程要检验，分母不为
0”是解本题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤计算即可；
（2）先解分式方程可得x=m+3，再根据解为正数可得¿，从而可得答案．
【详解】解：（1）方程两边都乘(x−1)(x+1)得：
x2−1−(x+1) 2=−4，
x2−1−x2−2x−1=−4，
−2x−2=−4，
−2x=−2，
∴x=1，
经检验，x=1是原分式方程的增根，
所以，原方程无解；
1 m
（2） − =1，
x−2 2−x
1+m=x−2，
∴x=m+3，
1 m
∵关于x的分式分程 − =1的解为正数，
x−2 2−x∴¿，
解得：m>−3且m≠−1．
考点4：分式方程无解问题
3 6 mx
典例4：已知，关于x的方程： + = ．
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
(1)若方程有增根，求m的取值；
(2)若方程无解，求m的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数m的值．
【答案】(1)若方程有增根，m的取值为6或12；
(2)若方程无解，m的取值为6或9或12；
(3)m=8或10
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解分式方程、根据分式方程解的情况求
值、分式方程无解问题
【分析】（1）根据分式方程的解法得出(m−9)x=3，然后将增根x=±1代入求解即可；
（2）分当m−9=0时原分式方程无解，当m=6或12时方程有增根，从而求解；
3
（3）由(m−9)x=3，得x= ，然后根据方程的解为整数得出m−9=±3，m−9=±1，最后求
m−9
解并检验即可；
本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：去分母，得3(x−1)+6(x+1)=mx，
去括号，得3x−3+6x+6=mx，
移项、合并同类项，得(m−9)x=3，
当x=−1时，得9−m=3，
解得m=6；
当x=1时，得m−9=3，
解得m=12，
∴若方程有增根，m的取值为6或12；
（2）解：∵(m−9)x=3，
∴当m−9=0时原分式方程无解，
∴m=9，
∵当m=6或12时方程有增根，
∴若方程无解，m的取值为6或9或12；
（3）解：∵(m−9)x=3，
3
∴x= ，
m−9∵方程的解为整数，
∴m−9=±3，m−9=±1，
当m−9=3时，m=12（舍去）；
当m−9=−3时，m=6（舍去）；
当m−9=1时，m=10；
当m−9=−1时，m=8；
∴m=8或10．
x+a 5
【变式1】已知关于x的分式方程 − =1．
x−2 x
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)1
(2)−2
(3)3或−2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，
（1）将分式方程转化为整式方程，把x=5代入，求解即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的x的值，代入，求解即可；
（3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可；
【详解】（1）解：方程去分母，得：x2+ax−5x+10=x2−2x，
整理，得：(a−3)x+10=0，
∵分式方程的根是x=5，
∴5(a−3)+10=0，
∴a=1；
（2）由（1）将分式化为整式方程为：(a−3)x+10=0，
∵分式方程有增根，
∴x−2=0或x=0，
∴x=2或x=0，
当x=2时，2(a−3)+10=0，解得：a=−2；
当x=0时，(a−3)x+10=0无解，舍去；
∴a=−2；
（3）由（1）将分式化为整式方程为：(a−3)x+10=0，
由（2）知，当a=−2时，分式方程有增根，无解；当(a−3)x+10=0无解时，即a−3=0时，分式方程也无解，
∴a=3；
综上：a=−2或a=3．
m+2 m 1−m
【变式2】关于x的方程 + = ．
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
1 7
【答案】(1)当m= 或m=− 时，方程有增根；
4 2
1 7
(2)当m=−1或m= 或m=− 时，方程无解
4 2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的
关键．
（1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值；
（2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
m+2 m 1−m
【详解】（1）解： + =
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
方程两边都乘(x+2)(x−1)，
得(m+2)(x−1)+m(x+2)=1−m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x+2)(x−1)=0，
解得x=1或x=−2，
当x=1时，则(m+2)(1−1)+m(1+2)=1−m，
1
解得m= ；
4
当x=−2时，则(m+2)(−2−1)+m(−2+2)=1−m，
7
解得m=− ，
2
1 7
∴当m= 或m=− 时，方程有增根；
4 2
（2）解：由（1）可得(m+2)(x−1)+m(x+2)=1−m，
3−2m
则2(m+1)x=3−2m，即x=
，
2(m+1)
当m+1=0，即m=−1时整式方程无解，3−2m 7
当
=−2，即m=−
时整式方程无解，
2(m+1) 2
3−2m 1
当
=1，即m=
时整式方程无解，
2(m+1) 4
1 7
∴当m=−1或m= 或m=− 时，方程无解．
4 2
【变式3】阅读下列材料：
a
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1的解为正
x−4
数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于
x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪说：你考
虑的不全面，还必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
m x
（2）已知关于x的方程 − =2的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
（3）若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
5
【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）m≥−6且m≠−3；（3）n=1或 ．
3
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数：
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出m的取
值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，
即可求出n的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
m x
（2）解：原方程可化为 + =2
x−3 x−3
去分母得：m+x=2(x−3)
解得：x=m+6
∵解为非负数
∴m+6≥0，即m≥−6
又∵x−3≠0∴m+6≠3，即m≠−3
∴m≥−6且m≠−3
（3）解：去分母得：3−2x+nx−2=−(x−3)
解得：(n−1)x=2
∵原方程无解
∴n−1=0或者x=3
①当n−1=0时，得：n=1
2 5
②当x=3时， =3，得：n=
(n−1) 3
5
综上：当n=1或n= 时原方程无解．
3
【变式4】在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘
以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未
知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简
公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
1−x 1
(1)解分式方程 +2= 时产生了增根，这个增根是： ；
x−2 2−x
x−m 5
(2)若关于x的方程 − =1有增根，求m的值： ；
x−2 x
mx 1
(3)已知整数m使关于x的方程 − =3有整数解，求m的值．
1−x x−1
【答案】(1)x=2
(2)m=2
(3)m=−2,−4,−5
【知识点】分式方程无解问题
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方
程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
1−x 1
（1）解分式方程 +2= 时产生了增根，则x−2=0,据此求出这个增根即可；
x−2 2−x
（2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−2=0或x=0,据此
求出x的值，代入整式方程求出m的值即可；
mx 1 mx 1
（3）首先根据 − =3,用含m的式子表示出x，然后根据关于x的方程 − =3有
1−x x−1 1−x x−1
整数解，求出m的值即可.
1−x 1
【详解】（1）解：解分式方程 +2= 时产生了增根，
x−2 2−x∴x−2=0，
解得x=2，
故答案为：x=2；
（2）x(x−m)−5(x−2)=x(x−2)，
x2−mx−5x+10=x2−2x，
(3+m)x=10．
将x=0代入方程得：0=10．不符合条件．
将x=2代入方程得：6+2m=10．
m=2．
综上所述，m=2．
（3）mx+1=3−3x，
(m+3)x=2，
2
x= (m≠−3)．
m+3
∵x≠1．
∴m≠−1．
2
∵ 为整数，
m+3
∴m+3=1,2,−1,−2，
∴m=−2,−1,−4,−5．
综上所述，m=−2,−4,−5．
a
【变式5】学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1
x−4
的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解
这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪
说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
x+m 3m
(2)已知关于x的方程 + =3的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
(3)若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）
9 3
(2)m≤ 且m≠
2 2
5
(3)当n=1或n= 时原方程无解
3【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步
骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾
根两种情况．
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，
即可求出n的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
9
（2）解方程，得x= −m，
2
∵方程的解为非负数，
9
∴ −m≥0，
2
9
∴m≤ ，
2
∵x≠3，
3
∴m≠ ，
2
9 3
∴m≤ 且m≠ ；
2 2
（3）原方程化简为：(n−1)x=2
∵原方程无解，
∴n−1=0或x=3
①当n−1=0时，解得n=1；
5
②当x=3时，解得n=
3
5
∴当n=1或n= 时原方程无解．
3
考点5：不等式与分式方程
典例5：若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有45个整数解，且使关于y的方程
2y+a+2 60
+ =1的解为非正数，求整数a的值．
y+1 1+ y
【答案】−61或−59【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程；解不等式组，得到不等式组的解集，根据整
数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范
围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：¿
解不等式①得：x≤25
a+1
解不等式②得：x>
3
a+1
∴不等式组的解集为： <x≤25．
3
∵不等式组有且只有45个整数解，
a+1
∴−20≤ <−19，
3
解得−61≤a<−58．
解关于y的方程，得y=−a−61．
2y+a+2 60
∵关于y的方程 + =1的解为
y+1 1+ y
y=−a−61,y≤0，
∴−a−61≤0，解得a≥−61．
∵y+1≠0，
∴y≠−1，
∴a≠−60，
故整数a的值为−61或−59．
3 y a−10
【变式1】若关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，且关于y的分式方程 − =1的解为
y−2 2−y
非负整数，则符合条件的所有整数a的和为多少？
【答案】14
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于
a+2 a+2 3 y a−10 8−a
x的不等式组¿得： <x≤6．可得1≤ <2；分式方程 − =1的解为：y= ．
6 6 y−2 2−y 2
8−a 8−a
根 ≥0且 ≠2即可求解；
2 2
a+2
【详解】解：解关于x的不等式组¿得： <x≤6．
6∵关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，
a+2
∴1≤ <2．
6
3 y a−10 8−a
关于y的分式方程 − =1的解为：y= ．
y−2 2−y 2
3 y a−10
∵关于y的分式方程 − =1可得产生增根2，
y−2 2−y
8−a
∴ ≠2．
2
3 y a−10
∵关于y的分式方程 − =1的解为非负整数，
y−2 2−y
8−a 8−a
∴ ≥0且 ≠2．
2 2
∴¿．解得：4<a≤8．
8−a
∵a为整数，且 为整数，∴a=6,8．
2
∴符合条件的所有整数a的和为：6+8=14．
故答案为：14．
ax−3 3x−1
【变式2】关于x的分式方程 +1= 的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组¿有解，
x−2 2−x
则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
【答案】−2
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元
一次不等式的解分别求出，再根据题意求a的范围，最后确定a的整数解，再相加即可．
ax−3 3x−1
【详解】解：关于x的分式方程 +1= 化为整式方程是：ax−3+(x−2)=−(3x−1)，
x−2 2−x
6
解得：x= ，
a+4
ax−3 3x−1
∵关于x的分式方程 +1= 的解为正数，
x−2 2−x
∴a+4>0，
∴a>−4，
ax−3 3x−1
∵关于x的分式方程 +1= 可能会产生增根2，
x−2 2−x
6
∴ ≠2，
a+4
∴a≠−1，解关于y的一元一次不等式组¿得：¿，
∵关于y的一元一次不等式组¿有解，
∴a−3<0，
∴a<3，
综上，−4<a<3且a≠−1，
∵a为整数，
∴a=−3或−2或0或1或2，
∴满足条件的整数a的值之和是：−3−2+0+1+2=−2．
8−mx x
【变式3】若数m使关于y的不等式组¿至少有三个整数解，且使关于x的分式方程 −2=
2−x x−2
有整数解，求所有满足条件的整数m的值的和．
【答案】11
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、根据分式方程解的情况求值
1 1
【详解】解：不等式组¿的解集为− <y≤ m，
2 2
∵关于y的不等式组¿至少有三个整数解，即y取0，1，2，
1
∴ m≥2，∴m≥4．
2
8−mx x 4
分式方程 −2= 的解为x= ，
2−x x−2 m−3
8−mx x
∵关于x的分式方程 −2= 有可能产生增根2，
2−x x−2
4
∴ ≠2，∴m≠5．
m−3
8−mx x
∵关于x的分式方程 −2= 有整数解，
2−x x−2
4
∴ 为整数，且m≥4，m≠5，
m−3
∴m=4或7．
∴所有满足条件的整数m的值的和为4+7=11．
x+2 a
【变式4】若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且使关于y的不等式组¿的解集
x−1 1−x
为y≤1，则符合条件的所有整数a的和．
【答案】12
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查已知分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式组，正确掌握分式方程的解法及一元一次不等式组的解法是解题的关键．先解分式方程，根据方程的解的情况得到a≤5且a≠3，
再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，由此得到所有整数解及解的和．
x+2 a
【详解】解： + =3
x−1 1−x
x+2 a
− =3
x−1 x−1
x+2−a=3(x−1)
5−a
解得x= 且x≠1，
2
∵解为非负数，
5−a 5−a
∴ ≥0且 ≠1，
2 2
解得a≤5且a≠3．
¿，
解不等式①得，y≤1，
解不等式②得，y≤a，
因为关于y的不等式组的解集为y≤1，
所以a≥1，
所以1≤a≤5且a≠3，
因为a为整数，
所以a为1、2、4、5，
所以符合条件的所有整数的和为1+2+4+5=12．
y+a 2a
【变式5】若数a使关于x的不等式组¿有且只有四个整数解，且使关于y的方程 + =2的
y−1 1−y
解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，
用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：¿，
解①得，x<5；
a+2
解②得，x≥ ，
4
∵不等式组有且只有四个整数解，
a+2
∴不等式组的解集为 ≤x<5，整数解为：1，2，3，4；
4a+2
∴0< ≤1，
4
解得，−2<a≤2；
解分式方程得，y=2−a；
∵方程的解为非负数，且2−a≠1
∴2−a≥0；即a≤2；
综上：−2<a≤2且a≠1
∵a是整数，
∴a=−1,0,2；
∴−1+0+2=1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的
关键．
考点6：分式方程实际应用
典例6：野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售
价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x x+16
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两
种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时
A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获
得的利润不低于3600元．
【答案】(1)60
(2)至少购进B品牌100袋
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、
列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键．
（1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的
数量相同列出分式方程求解即可；
（2）设购进B为m袋，A为(180−m)袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．
4800 6080
【详解】（1）解：由题意可得： = ，解得：x=60．
x x+16经检验：x=60是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为(180−m)袋，由题意可得：
(80−60−5)(180−m)+[100−(60+16)]m≥3600，
解得：m≥100．
答：至少购进B品牌100袋．
【变式1】一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种
文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支
签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍．
(1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？
1 m
(2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了 ，每个圆规的售价便宜了 (m<15)
6 10
元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际
购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了5m个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买
签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费
用减少了(300+5m)元，求m的值．
【答案】(1)计划购买400支签字笔，100个圆规
(2)10
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，一元二次方程的实际应用：
（1）设一支签字笔x元，则一个圆规(15−x)元，根据“计划购买签字笔的数量是圆规数量的4
倍”列分式方程，解方程即可；
（2）根据单价、数量、总价之间的关系，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设一支签字笔x元，则一个圆规(15−x)元，
2400 900
由题意得： =4× ，
x 15−x
去分母，得2400(15−x)=3600x，
解得x=6，
经检验，x=6是所列分式方程的解，
∴签字笔的单价为6元，圆规的单价为15−6=9（元），
2400
∴购买签字笔的数量为： =400（支），
6
购买圆规的数量为：400÷4=100（个），
即计划购买400支签字笔，100个圆规；( 1) ( m )
（2）解：由题意得：6× 1− ⋅(400−5m)+ 9− (100+5m)=2400+900−(300+5m)，
6 10
整理得：m2−30m+200=0，
解得m =20，m =10，
1 2
∵ m<15，
∴ m=10．
【变式2】哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话．
用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商
一件A型商品的进价比一件B型商品的
品的件数的2倍．
进价多10元．
(1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？
(2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品
售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？
【答案】(1)A型商品的进价160元；B型商品的进价150元
(2)至多购进A型商品80件
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、解分式方程、求一元一次不等
式的解集
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．
（1）根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列出方程进
行计算即可；
（2）表示出利润，再根据“利润不多于9800元”列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元，
16000 7500
由题意得： =2× ，
x+10 x
解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，
∴x+10=150+10=160（元），
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．
（2）解：设商场购进A型商品m件，则购进A型商品(150−m)件，(230−160)m+(210−150)(150−m)≤9800，
解得m≤80，
∴至多购进A型商品80件．
【变式3】为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10
台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台
数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m m−3
月处理污水量（吨/台） 200 180
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？
并求出每月最多处理污水量的吨数．
【答案】(1)18
(2)有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1900吨．
【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题
的关键．
（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相
同，列出分式方程即可求解．
（2）设买A型污水处理设备x台，则B型(10−x)台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即
可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解．
【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理
设备的台数相同，
90 75
即可得： = ，
m m−3
解得m=18，
经检验m=18是原方程的解，即m=18；
（2）解：∵A型污水处理设备的单价为18万元，B型污水处理设备的单价为15万元，
设买A型污水处理设备x台，则B型(10−x)台，
根据题意得：18x+15(10−x)≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x=0时，10−x=10，月处理污水量为1800吨，
当x=1时，10−x=9，月处理污水量为200+180×9=1820吨，当x=2时，10−x=8，月处理污水量为200×2+180×8=1840吨，
当x=3时，10−x=7，月处理污水量为200×3+180×7=1860吨，
当x=4时，10−x=6，月处理污水量为200×4+180×6=1880吨，
当x=5时，10−x=5，月处理污水量为200×5+180×5=1900吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1900吨．
【变式4】近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，
沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600
1
千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的 ，这样甲队比乙队晚2天
2
到达营地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计
划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平
均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，
两队共需花费18720元，求m的值．
【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地
(2)5
【知识点】分式方程的行程问题、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划(x+2)天到达目的地，利用速度=路程÷时间，结合乙
队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划
到达目的地的时间，再将其代入(x+2)中，即可求出甲队计划到达目的地的时间；
（2）根据两队共需花费18720元，可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划(x+2)天到达目的地，
1 1600 1200
根据题意得： × = ，
2 x x+2
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，
∴x+2=4+2=6，
答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地；
（2）解：根据题意得：(300−30m)×6(8+m)+135×4(8+m)=18720，
整理得：m2−5m=0，
解得：m =5，m =0（不符合题意，舍去）．
1 2
答：m的值为5．【变式5】综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常
悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、
素 乙两个生产部门去完成．
材1
甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这
项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素
经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
材2
素
由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
材3
问题解决
任
确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
务1
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工
任 作时间可表示为______天；
拟订设计方案
务2
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付
的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①120m，(36−2m)；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公
司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工
程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
2160 2160
（1）设乙部门每天能生成x个壮锦手提包，依题意，列式得 − =18，注意经检验x=60
x 2x
是方程的解，即可作答．
2160−120m
（2）设甲部门工作m天，则乙部门的工作时间为 =36−2m（天）．再依题意，得出
60
1
m≤ (36−2m)，解出m≤9，根据利润公式得出w=−1200m+108000，运用一次函数的性质，进
2
行分析作答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手
提包，2160 2160
由题意得： − =18，
x 2x
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴2x=120，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包120m个，乙部门工作时间可表示为
(2160−120m)×60=(36−2m)天，
故答案为：120m，(36−2m)；
1
②由题意得：m≤ (36−2m)，
2
解得：m≤9，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得：y=4800m+3000(36−2m)=−1200m+108000，
∴−1200<0，
随m的增大而减小，
当m=9时，y有最小值，
此时，36−2m=36−2×9=18，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需
要97200元．
【变式6】下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应
的问题．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用
2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少
元．
方法 分析问题 列出方程
设…… 2000 1200
解法一 =
等量关系：甲商品数量=乙商品数量 x x−20
设…… 2000 1200
解法二 − =20
等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20 x x
(1)解法一所列方程中的x表示_____（填序号），解法二所列方程中的x表示_____（填序号）；
①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件
(2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
(3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？【答案】(1)①，③
(2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元
(3)至多购进甲种商品12件
【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确
定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为(x−20)元，根据用2000元
购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设
2000
甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为 元，乙种商品每件进价为
x
1200
元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可；
x
（3）设甲商品购进a件，则乙商品购进(40−a)件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、
乙两种商品，求解a的范围，可得答案．
2000 1200
【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量，可得： = 中的x表示甲种商品每件进价
x x−20
x元，
2000 1200
由甲商品进价-乙商品进价=20可得： − =20中的x表示甲种商品购进x件；
x x
故答案为：①，③；
（2）解：如下两种解答中选择其中一种即可．
若选择“解法一”，过程如下：
解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为(x−20)元，
2000 1200
由题意得： = ，
x x−20
方程两边同乘x(x−20)，
得2000(x−20)=1200x，
整理得5x−100=3x，
解得x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意，
∴x−20=50−20=30，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
若选择“解法二”，过程如下：解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，
由题意得：
2000 1200
− =20，
x x
方程两边同乘x，
得2000−1200=20x，
整理得800=20x，
解得x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
2000 1200
∴ =50， =30，
40 40
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
（3）解：设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(40−a)件，
由题意，得50a+30(40−a)≤1440，
解得a≤12，
答：至多购进甲种商品12件．
【变式7】（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90
公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，
追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5
万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【答案】（1）40，60（2）方案C
【知识点】分式方程的行程问题、分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的应用．
（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时
间”列分式方程求解可得；
（2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需(x+5)天．根据方案C，可列方程得
4 4 x−4
+ + =1，解方程即可解决问题．
x x+5 x+5
【详解】解：（1）设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时，90 90 1 1
根据题意，得： = + + ，
x 1.5x 2 4
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=40×1.5=60，
答：大巴的平均速度为40公里/小时，小车的平均速度为60公里/小时；
（2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需(x+5)天．
4 4 x−4
根据方案C，可列方程得 + + =1，
x x+5 x+5
解这个方程得x=20，
经检验：x=20是所列方程的根．
即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天．
所以A方案的工程款为1.5×20=30（万元），
B方案的工程款为1.1×25=27.5（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选，
C方案的工程款为1.5×4+1.1×4+1.1×16=28（万元），
∵28<30，
∴在不耽误工期的前提下，选择C方案最节省工程款．
【变式8】沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光
伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们
实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、
乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多150块，
甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多20%，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比
甲厂多用2天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
【答案】(1)甲厂每天生产的光伏板890块
(2)甲、乙厂每天各生产600块和500光伏板
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板(x−150)块，根据题意列方程
2x+3(x−150)=4000即可求解；
（2）设乙厂每天生产m块光伏板，则甲厂每天生产(1+20%)m块光伏板，根据题意列方程
6000 6000
− =2即可求解．
m (1+20％)m【详解】（1）解：设甲厂每天生产的光伏板x块，则乙厂每天生产的光伏板(x−150)块，
根据题意得2x+3(x−150)=4000，
解得x=890，
答：甲厂每天生产的光伏板890块；
（2）解：设乙厂每天生产的光伏板m块，甲厂每天生产的光伏板(1+20%)m块，
6000 6000
根据题意得 − =2，
m (1+20％)m
解得m=500，
经检验m=500是原方程的解，且符合题意
∴(1+20%)m=600，
答：甲、乙厂每天各生产600块和500光伏板．
【变式9】项目学习方案：
项
目 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等
情 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
景
素
采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数
材
量为用320元购买的A种花卉数量的2倍
一
任
小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x，由题意得方程：①；
务
320 800
小组成员乙设②，由题意得方程：2× =
一 a a+5
素 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或
材
完成（9−m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时
二 间相同
任
务 求m的值
二
(1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
(2)完成任务二．
800
=2x
【答案】(1)320 ；每枝A种花卉单价为a元
+5
x
(2)m=7
【知识点】分式方程的其它实际问题、列分式方程、解分式方程
【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键．320
（1）设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为 元，根据用800元购买的B
x
800
=2x 320 800
种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍，即可列方程320 ；结合2× =
+5 a a+5
x
320 800
可知 表示用320元购买的A种花卉数量， 表示用800元购买的B种花卉数量，即可得到答
a a+5
案；
1 1
（2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为 ，完成大盆栽的插花任务的效率为 ，再
m 9−m
1 1
由完成小盆栽的插花任务的效率为 ，完成大盆栽的插花任务的效率为 ，可得方程
m 9−m
1 1
35× =10× ，解分式方程即可得到答案．
m 9−m
320
【详解】（1）解：设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为 元，
x
∵每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，
(320 )
∴每枝B种花卉单价为 +5 元，
x
∵用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍，
800
=2x
∴ 320 ；
+5
x
320 800
∵ 2× = ，
a a+5
320 800
∴ 表示用320元购买的A种花卉数量， 表示用800元购买的B种花卉数量，
a a+5
即小组成员乙设每枝A种花卉单价为a元；
800 320
=2×
故答案为：320 x ；每枝A种花卉单价为a元；
+5
x
（2）解：∵单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或
完成（9−m）盆大盆栽的插花任务，
1 1
∴完成小盆栽的插花任务的效率为 ，完成大盆栽的插花任务的效率为 ，
m 9−m
∵完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，1 1
∴35× =10× ，解得m=7，
m 9−m
经检验，m=7是原分式方程的解，
∴ m=7．
