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专题 06 分式与分式方程
一、分式
分式概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的 因为0不能做除数，所以在分式中，若B≠0，则分式有意义；若B＝0，那么分
条件 式没有意义．
值为0 在分式中，当A＝0且B≠0时，分式的值为0
分式的基本 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表
性质 示是：＝，＝(其中M是不等于0的整式)
约分 将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分 将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
二、分式运算
分式加 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±＝.异分母的分式相加减，先通
分
减 分，变为同分母的分式，然后相加减，即±＝.
式
分式乘 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.分式除以分
运
除 式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝
算
分式的 在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇混合运
到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
算
三、分式方程
定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根
分
作答.
式
解法
方 （4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的
程 值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们
把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用 解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
【考点1】分式的概念及有意义的条件
【例1】（2022·湖南怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例2】分式 的值为零，则x的值为 （ ）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意实数
分式有意义、无意义和值为零的条件
（1）若分式有意义，则B≠0
（2）若分式无意义，则B=0
（3）若分式 =0，则A=0且B≠0
1．（2022·四川凉山）分式 有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A． B． C． D．
3．（2022·湖北黄冈）若分式 有意义，则x的取值范围是________．
4．（2022·广西）当 ______时，分式 的值为零．
5．（2021·浙江）一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5
克盐完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为________．
【考点2】分式的基本性质
【例3】如果把分式 中的x和y都缩小到原来的一半，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的2倍
【例4】（2021·福建三明·八年级期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
分式约分的关键是确定分子和分母的公因式.
1．分子、分母均为单项式.
确定公因式的步骤
2．分子或分母是多项式时,需要先将多项式因式分解,再求公因式.
1．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）A． B． C． D．
2．（2021·辽宁沈河·八年级期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝x﹣y C． ＝ D． ＝
3．（2021·湖北武汉·八年级期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南长沙·八年级期末）将分式 与 通分，那么最简公分母为________．
5．（2021·贵州八年级月考）对分式 通分后， 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】分式运算与化简
【例5】先化简，再求值：（ ＋2－x）÷ ，其中x满足x2－4x＋3=0.
在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要
改变符号
分式混合运算应注意的七点
1．注意分式混合运算的顺序.
2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.
3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.
4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.
5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.
6．化简结果要最简.
7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的
分母为0.
1．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算： __________．
3．先化简，再求值： ，其中 ．
4．（2022·四川成都）已知 ，则代数式 的值为_________．
5．（2022·新疆）先化简，再求值： ，其中 ．6．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1， 中选择一个合适的 值代入求值．
．
【考点4】分式方程的定义
【例6】下列关于 的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
1．已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，
分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【考点5】解分式方程
【例7】（2022·四川成都）分式方程 的解是_________．解分式方程的有关要点
（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.
（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分
式方程一定要验根.
（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的
解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1．（2021·陕西莲湖·八年级期末）已知 是分式方程 的解，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．（2022·湖南常德）方程 的解为________．
3．（2022·广西玉林）解方程： ．
4．（2022·广西梧州）解方程：
【考点6】含参的分式方程【例8】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）若关于x的分式方程 无解，则a的值为（
）
A．3 B．0 C． D．0或3
【例10】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）若关于x的分式方程 的解为正数，则m的
取值范围是_________．
分式方程无解两种情形
（1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解；
（2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。
1．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（2022·四川德阳）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
4．（2022·四川遂宁）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
5．（2021·四川雅安市·中考真题）若关于x的分式方程 的解是正数，则k的取值范围是
______．【考点7】分式方程的实际运用：行程
【例11】（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期
间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远
的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果
他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
1.（2021·黑龙江虎林·八年级期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比
乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平
均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________．
2．（2021·上海市卢湾中学期末）小王步行的速度比跑步的速度慢 ，跑步的速度比骑车的速度慢 ．
如果他骑车从 城到 城，再步行返回 城共需要两小时，那么小王跑步从 城到 城需要____分钟．
3．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿相同路
线骑行去距 地30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行的速度．
4．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车
先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车
的速度．【考点8】分式方程的实际运用：工程
【例12】（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160
人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则
可列分式方程为__________．
1．（2021·四川宣汉·八年级期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居
民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划
每天铺设管道的长度为 千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·贵州初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．
在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知
乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙
队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中
选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
3．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，
后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小
组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？4．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2
天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工
队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工
队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相
同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
5．（2021·成都市八年级月考）为稳步推进 网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与
基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的 倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙
队多用 天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工 天完成 基站建设
工程的 时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前 天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需
要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过 天，求甲队从开始施工到完成该
工程至少需要多少天？
