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专题 06 几何图形的翻折变换问题
几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，
在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：
（1）掌握轴对称的有关性质：
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴
对称的性质。
（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出方程进行求解。
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探
究．
如图，在 中， 为 边上的高， ，点 在 边上，且 ，点 是线段 上
任意一点，连接 ，将 沿 翻折得 ．
(1)问题解决：
如图①，当 ，将 沿 翻折后，使点 与点 重合，则 ______；(2)问题探究：
如图②，当 ，将 沿 翻折后，使 ，求 的度数，并求出此时 的最小
值；
(3)拓展延伸：
当 ，将 沿 翻折后，若 ，且 ，根据题意在备用图中画出图形，并求
出 的值．
（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得 ，根据特殊角的三角函数值
即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得 ，由三角形内角和定理可得
，根据点 在 边上，当 时， 取得最小值，最小值为
；
（3）连接 ，设 ， 则 ， ，在 中， ，延长
交 于点 ，在 中， ，进而根据
，即可求解．
【答案】(1) ；(2) ；(3)作图见解析，
【详解】（1） ，
是等边三角形，
四边形 是平行四边形，
，
，
为 边上的高，，
（2） ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
， 是等腰直角三角形， 为底边上的高，则
点 在 边上，
当 时， 取得最小值，最小值为 ；
（3）如图，连接 ，
，则 ，
设 ， 则 ， ，
折叠，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在 中， ，
，
延长 交 于点 ，如图，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度
角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到
两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰 中， ， 边上有一点D，过点D作 于E， 于F，过
点C作 于G.利用面积证明： ．
(2)如图二，将矩形 沿着 折叠，使点A与点C重合，点B落在 处，点G为折痕 上一点，过
点G作 于M， 于N.若 ， ，求 的长．
(3)如图三，在四边形 中，E为线段 上的一点， ， ，连接 ，且 ，
， ， ，求 的长．
（1）根据题意，利用等面积法 ，根据等腰 中， ，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到 ，结合矩形 中 得到
，从而有 ，从而确定 是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到 ，结
合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（3）延长 交于 ，连接 ，过点 作 于 ，根据 ， ， ，
得到 是等腰三角形，从而由（1）知 ，在 中，
，在 中， ， ，联立方
程 求解得 ，从而得到结论．【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
在等腰 中， ， 边上有一点D，过点D作 于E， 于F，过点C作
于G，
由 得 ，
；
（2）解：连接 ，过点 作 于 ，如图所示：
根据折叠可知 ，
在矩形 中， ，则 ，
，即 是等腰三角形，
在等腰 中， ， 边上有一点G，过点G作 于M， 于N，过点 作
于 ，由（1）可得 ，
在 中， ， ，则 ，
在四边形 中， ，则四边形 为矩形，，即 ；
（3）解：延长 交于 ，连接 ，过点 作 于 ，
在四边形 中，E为线段 上的一点， ， ，则 ，
又 ，
，
，即 是等腰三角形，
由（1）可得 ，
设 ，
， ， ，
在 中， ，
在 中， ， ，
，解得 ，
经检验，x=1是方程的解用符合题意，
，即 ．
本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段
长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中
是解决问题的关键．1．（2022·湖北武汉·校考三模）（1）如图 ，在正方形 中， 是 上一动点，将正方形沿着
折叠，点 落在点 处，连接 ，并延长 交 于点 求证： ；
（2）在（1）的条件下，如图 ，延长 交 边于点 若 ，求 的值；
（3）如图 ，四边形 为矩形，同样沿着 折叠，连接 ，延长 分别交 于 两
点，若 ，则 的值为___________ （直接写出结果）
2．（2022·福建宁德·统考二模）在 中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF
折叠，得到四边形 ．
(1)利用图1，求证： ；
(2)如图2，连接BD，若 ， ， ，当点 落在BD上时，求EF的长；
(3)如图3，当点 恰好落在线段CD上时，求证：直线 与直线CD重合．
3．（2022·山东淄博·统考二模）在Rt△ABC中， ， ，CD是斜边AB上的中线，点E
为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F．(1)如图1，若 ，请直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若 ，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．判断四边形ADFC的形
状，并说明理由；
(3)若 ，直接写出 的度数．
4．（2022·四川乐山·统考一模）模型探究：如图1，D、E、F分别为 三边BC、AB、AC上的点，且
．
（1） 与 相似吗？请说明理由；
模型应用： 为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将 沿EF翻
折，使A点落在射线CB上的点D处，且 ．
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求 的值；
（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求 与 的周长之比．
5．（2022·江苏徐州·统考二模）正方形 的边长为4．(1)将正方形 对折，折痕为 ，如图①把这个正方形展平，再将点 折到折痕 上的点 的位
置，折痕为 ，求 的长；
(2)如图②当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，求 面积的取值范围．
6．（2022·山西大同·统考二模）综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD
相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交
于点G，然后展平，连接GE，EF．
问题解决
（1） 的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若 ，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，
N．求 的值．
