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专题 06 分式与分式方程
（时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列关于x的方程：① ，② ，③ ，④ 中，分式方程有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知量的方程叫做分式方程进行判断
【详解】解：关于x的方程① ，方程分母中不含未知数，不是分式方程．
关于x的方程② ，方程分母含有未知数，是分式方程．
关于x的方程③ ，方程分母中含有未知数，是分式方程．
关于x的方程④ 中，方程分母中不含未知数，不是分式方程．
综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C．
2．（2021·广东禅城·八年级期末）分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞﹣1
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式 在实数范围内有意义，∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：B．
3．（2021·安徽阜南·七年级期末）当分式 的值为0时，x的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．
【答案】A
【分析】直接利用分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式 值为0，∴2x＝0， ，解得：x＝0．故选：A．
4．（2021·浙江七年级期末）不改变分式 的值，下列式子变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式的分子分母乘以10化简即可得到结果．
【详解】解： = = ，故选：D．
5．（2022·海南）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：
2-（x-1）=0
2-x+1=0
-x=-3
x=3
检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．
故答案为C．
6．（2022·四川眉山）化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解： ．故选：B
7．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为24 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量
达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全
过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x ，由题意列方程，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为
每分钟 ，粗油管的注油速度为每分钟 ，继而可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟 ，
∴粗油管的注油速度为每分钟 ，
∴ ．故选：A．
8．（2022·四川南充）已知 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出 ， ，代入计算即
可得出结果．
【详解】解： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵a>b>0，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵a>b>0，∴ ，∴原式= ，故选：B．
9．（2022·黑龙江）已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且【答案】C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到
且 ，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以 ，得 ，
解得 ，
关于x的分式方程 的解是正数，
，且 ，
即 且 ，
且 ，故选：C．
10.关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】解出分式方程的根x=m-1，分式方程的增根为x=2，所以m-1=2，求得m的值．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得：m-3=x-2，解得：x=m-1，
∵方程有增根，∴x-2=0，∴x=2，∴m-1=2，∴m=3．故选：A．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022·黑龙江哈尔滨）在函数 中，自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式 ，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：
∴
∴
故答案为：
12．（2022·湖南郴州）若 ，则 ________．
【答案】
【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：
，
；
故答案为： ．
13．（2022·北京）方程 的解为___________．
【答案】x=5
【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，
再进行检验即可得解．
【详解】解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故原方程的解为：x=5
14．（2022·山东威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根据程序分析即可求解．
【详解】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为 或
解得 （经检验， 是原方程的解），或当 符合程序判断条件， 不符合程序判断条件
故答案为：1
15.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】 且
【分析】先由题意求出分式方程的解，再由解是非负数和分母不为0，列出不等式组，解出即可得到答案．
【详解】解： ，去分母得： ， ，
，解得： 且 ，故答案为： 且 ．
16．（2022·黑龙江牡丹江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲
车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务 ．设乙车间每天生产 个，可列方
程为___________ ．
【答案】
【分析】设乙车间每天生产x个，根据甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙
车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务可列出方程．
【详解】解：设乙车间每天生产x个，则 ．
故答案为： ．
三、简答题（46分）
17．（6分）（2022·江苏宿迁）解方程： ．
【答案】x＝﹣1
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解： ，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．18．（6分）（2022·黑龙江牡丹江）先化简，再求值： ，在﹣2，0，1，2四个数中
选一个合适的代入求值．
【答案】 ，10．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把x=1代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当 -2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
19．（6分）（2022·贵州铜仁）科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接
到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前
提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口
罩？
【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，
利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万
只，依题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
20．（8分）（2022·广西贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球
的数量各是多少？
【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元
(2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，根据“84元购买绳子的数量与360元
购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；
（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．
【详解】(1)
解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，
根据题意，得： ，
解分式方程，得： ，
经检验可知 是所列方程的解，且满足实际意义，
∴ ，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为 条，
根据题意，得： ，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
21．（8分）（2022·广西桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某
队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲
商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店
租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】(1)甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
(2)乙商店租用服装的费用较少，理由见解析
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【详解】(1)解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得： ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
(2)解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝
800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
22．（12分）（2022·湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）
和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一
件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买
超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出
W关于a的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【答案】(1)每件雨衣 元，每双雨鞋 元
(2) (3)最多可购买 套
【分析】（1）根据题意，设每件雨衣 元，每双雨鞋 元，列分式方程求解即可；
（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套 元，根据费用=单价×套数即可得出结论；
（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式 ，求解后根据实际意义取值即可．(1)解：设每件雨衣 元，每双雨鞋 元，则
，解得 ，
经检验， 是原分式方程的根， ，
答：每件雨衣 元，每双雨鞋 元；
(2)解：根据题意，一套原价为 元，下降20%后的现价为 元，则
；
(3)解： ， 购买的套数在 范围内，
即 ，解得 ，
答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买 套．
