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专题 02 分式方程及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0 的未知数的值，这个值
叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而
是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是
使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情
况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验
（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题： ②工程问题： （工作总量
设为1）③销售问题：
模块三 考点一遍过
考点1：分式方程的定义x 5 2 1+x 1 2
典例1：已知方程：① =2；② =2；③y= x；④ = ；⑤y+1= ；⑥
5 x 3 5+x 2 y
1+3(x−2)=7−x，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【变式1】有下列方程：
2 2 2 1 x−1 1
① x2=1；② −x2=1；③ =x；④ +3= ；⑤ =2；⑥2x−3 y=0；⑦
3 π 3x x−2 x−2 x
x+1 2x x+1 3 5
−3= ；⑧ +3；⑨ = ，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是
2 7 x−2 x−2 x
．（填序号）
【变式2】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
ax+b 1 x+5 m+x m−x 2x 2 1 3
① =5；② (x+b)+2= ；③ +2= ；④ = ；⑤1+ =2− ；⑥
2 4 3 a a 2x−1 x x x
a+b a+b 1 1 1 b x−b x+b x−n x+m
= ；⑦ − = − ；⑧ =2+ ；⑨ + =2．
x a a x b x a a x+m x−n
x x−1 x 500 x 3 a 1
【变式3】关于x的方程：① − =6；② = ；③ +1= x；④ = ；⑤
2 3 900 x−30 3 2 2x x
320 400 x 3
− =4；⑥ = −x，分式方程有 (填序号)．
x x a 5
【变式4】下列方程不是分式方程的是（ ）
1 x 4
A． +x=2+3x B． =
x 2x+3 5
x x+1 1 4
C． − =4 D． + =1
π 3 x−5 2x+3
1 2x+1 1−3x x x
【变式5】下列关于x的方程中（1） =1；（2） =1+ ；（3） + =1；（4）
x 3 4 b b
x 2x+3 y
−3=a+4；（5） +1=0，其中是分式方程的有（ ）
a π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：解分式方程
2 4
典例2：(1) =
2x−1 4x2−1
2x 7
(2) +1=
x+3 2x+6
【变式1】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：1 x
习题1：计算
x2−1
+
x+1 习题2：解方程
1
+
x
=1
x2−1 x+1
1 x
解： + 解：方程两边同乘(x2−1)，得
x2−1 x+1
x2−1 x(x2−1)
=
x2
1
−1
⋅(x2−1)+
x+
x
1
⋅(x2−1
x
)
2−1
+
x+1
=x2−1第一步
第一步 1+x(x+1)=x2−1第二步
=1+x(x−1)第二步
x=−2第三步
=1+x2−1第三步
经检验，x=−2是原方程的解．第四
=x2第四步 步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【变式2】解下列分式方程：
x 2x
(1) = +1；
x+1 3x+3
2 4 1
(2) − = ．
x−2 x2−4 x+2
|a b| |a b|
【变式3】“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
=ad−bc，例如：
c d c d
|1 2|
=1×4−2×3=−2
．
3 4
| a+b a−b |
(1)计算 ；
1 1
2a2b 2a2b
| 2 1 |
(2)求等式 1 1 =1中x的值．
1−x x−1
【变式4】解分式方程．
9x−7 4x−5
(1) −1=
3x−2 2−3x
x 3
(2) − =1．
x+3 x2−9
2 x 1 1
【变式5】已知P= + ,Q= − ．
x2−4 x2−4 x+2 x−2
(1)分别化简P和Q；
(2)若P=Q，求x的值．
考点3：分式方程解的应用——求参数典例3：解方程：
x+1 x 2m−x
已知关于x的方程： − = 的解是正数，求m的取值范围
x−3 x+2 x2−x−6
5−x k
【变式1】关于x的分式方程 = −1的解为非负数，求k的取值范围．
x+2 (x−1)(x+2)
2x−m
【变式2】关于x的分式方程 =3的解是正数，求满足条件的整数m的最大值．
x−1
7 mx
【变式3】关于x的分式方程3− = ．
1−x x−1
(1)若m=3，解分式方程；
(2)若这个方程的解为x=2，求m的值；
3x−1 m
【变式4】已知关于x的分式方程 − =1．
x+1 x+1
(1)若该方程的解为x=3，求m的值；
(2)若此方程的解为负数，求m的取值范围．
4 x+1
【变式5】（1）解方程： =1− ．
1−x2 x−1
1 m
（2）关于x的分式方程 − =1的解为正数，则m的取值范围
x−2 2−x
考点4：分式方程无解问题
3 6 mx
典例4：已知，关于x的方程： + = ．
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
(1)若方程有增根，求m的取值；
(2)若方程无解，求m的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数m的值．
x+a 5
【变式1】已知关于x的分式方程 − =1．
x−2 x
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
m+2 m 1−m
【变式2】关于x的方程 + = ．
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
【变式3】阅读下列材料：
a
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1的解为正
x−4数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于
x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪说：你考
虑的不全面，还必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
m x
（2）已知关于x的方程 − =2的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
（3）若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
【变式4】在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘
以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未
知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简
公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
1−x 1
(1)解分式方程 +2= 时产生了增根，这个增根是： ；
x−2 2−x
x−m 5
(2)若关于x的方程 − =1有增根，求m的值： ；
x−2 x
mx 1
(3)已知整数m使关于x的方程 − =3有整数解，求m的值．
1−x x−1
a
【变式5】学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1
x−4
的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解
这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪
说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
x+m 3m
(2)已知关于x的方程 + =3的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
(3)若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
考点5：不等式与分式方程
典例5：若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有45个整数解，且使关于y的方程
2y+a+2 60
+ =1的解为非正数，求整数a的值．
y+1 1+ y
3 y a−10
【变式1】若关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，且关于y的分式方程 − =1的解为
y−2 2−y非负整数，则符合条件的所有整数a的和为多少？
ax−3 3x−1
【变式2】关于x的分式方程 +1= 的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组¿有解，
x−2 2−x
则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
8−mx x
【变式3】若数m使关于y的不等式组¿至少有三个整数解，且使关于x的分式方程 −2=
2−x x−2
有整数解，求所有满足条件的整数m的值的和．
x+2 a
【变式4】若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且使关于y的不等式组¿的解集
x−1 1−x
为y≤1，则符合条件的所有整数a的和．
y+a 2a
【变式5】若数a使关于x的不等式组¿有且只有四个整数解，且使关于y的方程 + =2的
y−1 1−y
解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
考点6：分式方程实际应用
典例6：野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售
价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x x+16
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两
种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时
A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获
得的利润不低于3600元．
【变式1】一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种
文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支
签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍．
(1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？
1 m
(2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了 ，每个圆规的售价便宜了 (m<15)
6 10
元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际
购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了5m个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买
签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了(300+5m)元，求m的值．
【变式2】哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话．
用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商
一件A型商品的进价比一件B型商品的
品的件数的2倍．
进价多10元．
(1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？
(2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品
售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？
【变式3】为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10
台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台
数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m m−3
月处理污水量（吨/台） 200 180
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？
并求出每月最多处理污水量的吨数．
【变式4】近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，
沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600
1
千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的 ，这样甲队比乙队晚2天
2
到达营地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计
划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平
均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，
两队共需花费18720元，求m的值．
【变式5】综合与实践．如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常
悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、
素 乙两个生产部门去完成．
材1
甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这
项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素
经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
材2
素
由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
材3
问题解决
任
确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
务1
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工
任 作时间可表示为______天；
拟订设计方案
务2
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付
的总工资最少？最少需要多少元？
【变式6】下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应
的问题．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用
2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少
元．
方法 分析问题 列出方程
设…… 2000 1200
解法一 =
等量关系：甲商品数量=乙商品数量 x x−20
设…… 2000 1200
解法二 − =20
等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20 x x
(1)解法一所列方程中的x表示_____（填序号），解法二所列方程中的x表示_____（填序号）；
①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件
(2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
(3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？
【变式7】（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90
公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，
追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5
万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【变式8】沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光
伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们
实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、
乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多150块，
甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多20%，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比
甲厂多用2天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
【变式9】项目学习方案：
项
目 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等
情 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
景
素
采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数
材
量为用320元购买的A种花卉数量的2倍
一
任
小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x，由题意得方程：①；
务
320 800
小组成员乙设②，由题意得方程：2× =
一 a a+5
素 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或
材
完成（9−m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时
二 间相同
任
务 求m的值
二
(1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
(2)完成任务二．
