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专题 02 分式方程及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距
480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快
160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
480 480
A． − =4
x+160 x
480 480
B． − =4
x x+160
480 480
C． − =4
x x−160
480 480
D． − =4
x−160 x
a 2
2．若关于x的分式方程 +1=− 无解，则a的值为（ ）
x−1 x−1
A．−1 B．0 C．1 D．−2
3．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由
女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（ ）
A．9 B．12 C．10 D．14
2+ax 4
4．若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤－5，且关于x的分式方程 +2= 有非负整
3−x x−3
数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．0
5．2022年北京冬奥会的比赛场馆分为3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛
区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速
铁路里程为166km，高速公路里程为178km，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车
比乘汽车少用2h，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的
平均速度．设汽车的平均速度是xkm/h，则可列方程为（ ）
166 178 166 178 178 166 178 166
A． − =2 B． +2= C． − =2 D． +2=
x 3x x 3x x 3x x 3x
6．昆明市区与石林风景区相距约为84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路
线去石林风景区，甲比乙晚出发20分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计），
已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.2倍．设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（）
84 84 1 84 1 84 84 84 1 84 84
A． + = B． − = C． − = D． =
x 1.2x 3 1.2x 3 x x 1.2x 3 1.2x x
7．某商店出售A，B两种型号的钢笔，已知A型号的钢笔比B型号的钢笔贵5元，小红用50元买了
A型号的钢笔，用若干元买了相同数量B型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完
款后发现余钱剩3元，设A型号的钢笔每支售价为x元，根据题意可列出的方程为（ ）
50 30 50 33
A． = B． =
x x−5 x x−5
30 50 50 30
C． = D． =
x x−5 x x+5
x m
8．若关于x的分式方程 − =2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．m<−2 B．m>−2且m≠−1
C．m>−2 D．m<2且m≠1
9．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结
果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，
设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（ ）
900 750 900 750
A． = B． =
m+3 m m m+3
900 750 900 750
C． = D． =
m m−3 m−3 m
10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，
当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又
用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，
但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的
单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
12000 11000 12000 11000
A． = −40 B． −40=
x x−5 x x+5
12000 11000 11000 12000
C． +40= D． +40=
x+5 x x x−5
1 2
11．方程 = 的解是（ ）
x+1 x
A．x=−2 B．x=−1 C．x=1 D．x=2
1 2
12．方程 = 的解为（ ）
x x+3
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝﹣3 D．x＝﹣413．2023年“全民健身日”这一天，广大市民积极参与运动，锻炼身体，增强体质，甲、乙两人沿
着总长度为2km的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前40min走完全程，如果
设乙的速度为xkm/h，那么下列方程中，正确的是（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A． − =40B． − = C． − =40 D． − =
x 1.5x x 1.5x 3 1.5x x 1.5x x 3
2
14．分式方程 −1=0的解是（ ）
x−1
A．x=1 B．x=−2 C．x=3 D．x=−3
15．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入
了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中
黄球的数量约为（ ）
A．200个 B．180个 C．240个 D．150个
二、填空题
6 x
16．分式方程 -1= 的解是x= .
x2−9 3−x
17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车
速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小
时，则根据题意，可列方程 ．
7 m
18．关于x的分式方程 +3= 有增根，则增根为 ．
x−1 x−1
19．若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程
a 5
− =−2的解满足y<−8，则所有满足条件的整数a的值为 ．
y−1 1−y
1 1
20．填空：（1）方程x+ =10 的根是10，则另一个根是 ．
x−8 2
x2−bx n−1
（2）如果方程 = 有等值异号的根，那么m＝ ．
ax−c m+1
1 k−5 k−1
（3）如果关于x的方程 + = ，有增根x＝1，则k＝ ．
x2−x x2+x x2−1
x+1 x−1 10
（4）方程 + = 的根是 ．
x−1 x+1 3
21．“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势．
若某一商人在新政的出台前进货价便宜8%，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）
可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于 ．k x
22．能使分式方程 = −1有非负实数解，且使二次函数y=x2+2x+k的图象与y轴交点在
x−1 1−x
原点的上方的k的取值范围是 ．
23．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机
摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则
袋子中红球约有 个.
2 3
24．代数式 与代数式 的值相等，则x= ．
x−4 x−8
2 m
25．关于x的分式方程 =2+ 有增根，则m的值为 ．
x−3 x−3
三、解答题
26．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做120个所用的时间与乙做100
个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
x x−3
27．小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1，
x−(x−3)=x−2，
去括号，得x+x−3=1，
去括号，得x−x+3=x−2，
合并同类项，得2x−3=1，
合并同类项，得3=x−2，
解得，x=2，
解得，x=5，
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解．
∴原方程的解是x=5．
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”：若错误请在框内打“×”，并写出
你的解答过程．
28．2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到
2
不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的 ，原来用60元
3
买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月
底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元．
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
ab
29．我们把形如x+ =a+b（a，b不为零），且两个解分别为x =a，x =b的方程称为“完美分
x 1 2
式方程”．3 1×3
例如x+ =4为完美分式方程，可化为x+ =1+3，∴x =1，x =3．
x x 1 2
8 (−2)×(−4)
再如x+ =−6为分式方程，可化为x+ =(−2)+(−4)，∴x =−2，x =−4．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
2
(1)若x+ =−3为完美分式方程，则x =____，x =____．
x 1 2
q
(2)已知完美分式方程x+ =p的两个解分别为x =m，x =n，
x 1 2
1 1
①若p=3，q=−2，求 + 的值．
m n
m❑ 3+1 n❑ 3+1
②若√p❑ 2−q=0，直接写出 + 的最小值________．
m n
30．为满足顾客的购物需求，某超市计划购进甲、乙两种干果进行销售．经了解，甲干果的进价比
乙干果的进价低20%．超市用400元购进甲种干果比用450元购进乙种干果多10袋．已知甲，乙两
种干果的售价分别为8元/袋和10元/袋．
(1)求甲、乙两种干果的进价每袋分别是多少？
(2)若超市购进这两种干果共150袋，其中甲种干果的数量不低于乙种干果数量的2倍，则超市应如
何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
1 x−1
31．下面是小亮同学解方程 =3− 的过程，请阅读并完成相应任务．
2−x x−2
解：去分母得，1=3+(x−1)，………………第一步
去括号得，1=3+x−1，………………第二步
解得，x=−1，………………第三步
检验：当x=−1时，2−x≠0，………………第四步
∴x=−1是原方程的根．………………第五步
任务：
(1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因是______．
32．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告
的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该
校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一
副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的
数量一样．(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，求
最多购买乒乓球拍多少副．
ax2+b y2
33．对x,y定义一种新运算T，规定T(x,y)= （其中a,b是非零常数，且x+ y≠0）．如：
x+ y
a×32+b×12 9a+b
T(3,1)= = ．若T(−2,0)=−2，且T(5,−1)=6．
3+1 4
(1)求a与b的值；
(2)若T(2m−4,−2m)=T(−2m,2m−4)，求m的值．
2a 1
34．（1）化简： +
a2−4 2−a
1−x 1
（2）解方程： +2=
x−2 2−x
35．如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁A，B两款野餐垫．已知B
款野餐垫单价是A款的1.4倍，用140元租A款比租B款多4张．
(1)求A，B两款野餐垫的租赁单价．
(2)该俱乐部用600元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？
写出此时的租赁方案．
【能力提升】
36．阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在
修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
60 45
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程 = ，…．
x x−5
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
60 45 60−45 15
由 = = = =3，
x x−5 x−(x−5) 5
60
从而可得： =3，解得x=20，经检验x=20是原方程的解，…．
x
1 3 1 3 1+3
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式 = 得 = = 成立，
2 6 2 6 2+61 3 1−3
同时 = = 也成立，由此发现规律．
2 6 2−6
a c a c a c
(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若 = ，则① = =____，② = =
b d b d b d
______；
【运用】
(2)请用上述规律，解分式方程 −x+3 x2+x+3．
=
x2−4x+5 4x+1
37．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原
始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规
则如下：
80x
当0≤x
