文档内容
模型介绍
方法点拨
知识点1 两直线平行
如图，直线b∥a，那么k =k ，若已知k 及C的坐标即可求出直线b的解析式.
b a a
知识点2 两直线垂直
如图，直线c⊥a，那么k *k =-1，若已知k 及C或B的坐标即可求出直线c的
c a a
解析式.（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例题精讲
考点一：一次函数平行问题
【例1】．一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式为 y ＝ 3 x +13
．
解：∵一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，
∴k＝3，
把（﹣3，4）代入y＝3x+b得﹣9+b＝4，解得b＝13，
∴所求一次函数解析式为y＝3x+13．
故答案为y＝3x+13．
变式训练
【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x﹣1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是（
）
A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝2x±4 D．y＝x+2
解：∵所求直线与直线y＝2x﹣1平行
∴可设所求直线的解析式为y＝2x+b
令x＝0可得直线在y轴的截距为b
令y＝0可得直线在x轴的截距为
由题意可知：b× × ＝4
∴b＝±4，
故选：C．
【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝ x+ 平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（﹣
1，﹣20），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有 4 个．
解：因为一次函数的图象与直线y＝ x+ 平行，
所以所求直线的斜率为 ，
又因为所求直线过点（﹣1，﹣20），
所以所求直线为5x﹣4y﹣75＝0，所以此直线与x轴、y轴的交点分别为A（15，0）、B（0，﹣ ），
设在直线AB上并且横、纵坐标都是整数的点的横坐标是x＝﹣1+4N，纵坐标是y＝﹣20+5N，（N是整
数）．
因为在线段AB上这样的点应满足0≤x＝﹣1+4N≤15，且﹣ ＜y＝﹣20+5N≤0，
解得： ≤N≤4，
所以N＝1，2，3，4，
故答案为：4．
考点二：一次函数垂直问题
【例2】．已知直线y＝kx+b经过点A（3，8），并与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝ ﹣ ；b＝ ．
解：∵已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3垂直，
则k＝﹣ ，
∴y＝ x+b，
将A（3，8）代入，
8＝ +b，
解得b＝ ，
故答案为﹣ ， ．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与y
轴交于点C（0，﹣8），与直线AB交于点D，若△AOB∽△CDB，则点D的坐标为 （ ， ） ．解：∵△AOB∽△CDB，
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
设直线CD的解析式为：y＝2x+b，
∵点C的坐标为（0，﹣8），
∴b＝﹣8，
，
解得， ，
则点D的坐标为：（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
【变2-2】．直线y＝kx+b与抛物线y＝ x2交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，当OA⊥OB时，直线AB
1 1 2 2
恒过一个定点，该定点坐标为 （ 0 ， 4 ） ．[提示：直线l ：y＝k x+b 与直线l ：y＝k x+b 互相垂直，
1 1 1 2 2 2
则k •k ＝﹣1]
1 2
解：∵直线y＝kx+b与抛物线y＝ x2交于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴kx+b＝ x2，
化简，得x2﹣4kx﹣4b＝0，
∴x +x ＝4k，x x ＝﹣4b，
1 2 1 2
又∵OA⊥OB，
∴ × ＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣1，解得，b＝4，
即直线y＝kx+4，
故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．
考点三：一次函数的面积问题
【例3】．已知一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝ ± 2 ．
解：令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣ ，
∵一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
∴ ×2×|﹣ |＝1，解得m＝±2．
故答案为：±2．
变式训练
【变 3-1】．已知直线 y＝ （n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 S ．则
n
S +S +S +…+S 的值为（ ）
1 2 3 2020
A． B． C． D．
解：令x＝0，则y＝ ，
令y＝0，则 ＝0，
解得x＝ ，
所以，S ＝ • • ＝ （ ﹣ ），
n
所以，S +S +S +…+S ＝ （ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝ （ ﹣ ）＝
1 2 3 2020
．
故选：B．
【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图
象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；（2）求△COP的面积．
解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象过点P（m，3），
∴3＝﹣3m，
解得：m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
∵一次函数y＝kx+b的图象过点P（﹣1，3），B（1，1），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）由（1）知，一次函数表达式为y＝﹣x+2，
令y＝0，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∴ ＝3．
1．两直线y ＝k x+b 与y ＝k x+b 相交于y轴，则（ ）
1 1 1 2 2 2A．k ≠k ，b ≠b B．k ≠k ，b ＝b
1 2 1 2 1 2 1 2
C．k ＝k ，b ≠b D．k ＝k ，b ＝b
1 2 1 2 1 2 1 2
解：两直线y ＝k x+b 与y ＝k x+b 相交于y轴，则两直线与y轴的交点是同一点，
1 1 1 2 2 2
在直线y ＝k x+b 中，令x＝0，解得y＝b ，与y轴的交点是（0，b ），
1 1 1 1 1
同理直线y ＝k x+b 与y轴的交点是（0，b ），
2 2 2 2
则b ＝b ，
1 2
若k ＝k ，则两直线重合，因而k ≠k ．
1 2 1 2
故选：B．
2．若直线x+3y+1＝0与ax+y+1＝0互相垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
解：直线x+3y+1＝0的斜率为：﹣ ，
直线ax+y+1的斜率为：﹣a，
∵两直线垂直，
∴﹣ ×（﹣a）＝﹣1，
∴a＝﹣3，
故选：A．
3．已知一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（ ）
A．两直线交于点（1，0）
B．两直线之间的距离为4个单位
C．两直线与x轴的夹角都是30°
D．两条已知直线与直线y＝x都平行
解：根据一次函数的性质，一次函数 y＝x+2与y＝﹣2+x，分别与y轴相交于（0，2）和（0，﹣2）两
点，
因为x的系数，都为1，因此直线的方向是一样的，都与直线y＝x平行．
故选：D．
4．如图，直线l 过原点，直线l 解析式为y＝﹣ x+2，且直线l 和l 互相垂直，那么直线l 解析式为（
1 2 1 2 1
）A．y＝ x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝ x
解：∵一次函数经过原点，
∴设所求的一次函数为y＝kx，
∵一次函数的图象与直线y＝﹣ x+2垂直，
∴k＝ ，
则直线l 解析式为y＝ x，
1
故选：D．
5．已知直线y＝mx﹣1上有一点B（1，n），它到原点的距离是 ，则此直线与两坐标轴围成的三角形
的面积为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
解：∵点B（1，n）到原点的距离是 ，
∴n2+1＝10，即n＝±3．
则B（1，±3），代入一次函数解析式得y＝4x﹣1或y＝﹣2x﹣1．
（1）y＝4x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为： × ×1＝ ；
（2）y＝﹣2x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为： × ×1＝ ．
故选：C．
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝ ﹣ 8
．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，
∴k＝2，
∴y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，
∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8．
故答案为﹣8．
7．若平行于直线y＝﹣2x的某直线y＝kx+b与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝ ．
解：直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x平行，
因而k＝﹣2，
直线y＝﹣2x+b与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是（0，b），
∴ | |•|b|＝5，即 ＝5，
解得：b＝±2 ．
8．如图，直线y＝﹣ x+2与x，y轴交于A、B两点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形的对称中
心为点M，若双曲线y＝ （x＞0）恰好过点C、M，则k＝ ．
解：∵y＝﹣ x+2，∴x＝0时，y＝2；
y＝0时，﹣ x+2＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），B（0，2）．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°．
设直线BC的解析式为y＝2x+b，
将B（0，2）代入得，b＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2，
设C（a，2a+2），
∵矩形ABCD的对称中心为点M，
∴M为AC的中点，
∴M（ ，a+1）．
∵双曲线y＝ （x＞0）过点C、M，
∴a（2a+2）＝ （a+1），
解得a ＝ ，a ＝﹣1（不合题意舍去），
1 2
∴k＝a（2a+2）＝ （2× +2）＝ ．
故答案为 ．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若x轴上有一点C，且S△ABC ＝2，求点C的坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，0），B（0，1）代入，可得 ，
解得 ，∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+1；
（2）∵x轴上有一点C，
设点C（x，0），
∴AC＝|2﹣x|，
∵S△ABC ＝2，
∴ ×|2﹣x|×1＝2，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴C（﹣2，0）或C（6，0）．
10．如图，直线l ：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，
1 2
0），与y轴交于点D（0，2），直线l ，l 交于点E．
1 2
（1）求直线l 的函数表达式．
2
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
1
解：（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
∴直线l 的函数解析式为y＝﹣4x+2；
2
（2）当﹣4x+2＝x﹣3时，∴x＝1，
∴E（1，﹣2），
过点E作EF⊥x轴于F，
∴EF＝OD＝2，
∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，
∴△DOC≌△EFC（AAS），
∴CD＝CE；
（3）∵∠POB＝∠BDE，
∴点P在l 上有两个位置，
1
当点P在点B上方时，如图，
∴OP∥DE，
∴直线OP的函数解析式为y＝﹣4x，
∴﹣4x＝x﹣3，∴x＝ ，
当x＝ 时，y＝﹣ ，
∴P（ ，﹣ ），
当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l 为点P'，
1
∴Q（﹣ ），
则直线OQ的函数解析式为y＝4x，
∴直线OQ与l 的交点为P'（﹣1，﹣4），
1
综上所述：P（ ，﹣ ）或（﹣1，﹣4）．
11．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C
坐标为（0，﹣4），直角顶点B坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b的图象经过点A、C交x轴于点
D．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）作AE⊥x轴，垂足为E．
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°．
在Rt△AEB中，
∵∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CBO＝∠EAB，
在△AEB和△BOC中，
，
∴△AEB≌△BOC（AAS）．
∴AE＝BO＝1，BE＝OC＝4，
∴OE＝OB+BE＝1+4＝5，
∴A（﹣5，﹣1）．
（2）把A（﹣5，﹣1），C（0，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得 ，
函数解析式为：y＝﹣ x﹣4，
当y＝0时，x＝﹣ ，
D（﹣ ，0）．
S△COD ＝ × ×4＝ ．12．如图，直线l ：y＝x+3分别与直线l ：y＝kx+b（k≠0）、直线l ：y＝k x+b （k ≠0）交于A、B两点，
1 2 3 1 1 1
直线l 交y轴于点E，直线l 与x轴和y轴分别交于C、D两点，已知点A的纵坐标为 ，B的横坐标为
1 2
1，l ∥l ，OD＝1，连BD．
2 3
（1）求直线l 的解析式；
3
（2）求△ABD的面积．
解：（1）在y＝x+3中，令y＝ ，则x＝﹣ ，
∴A（﹣ ， ），
∵OD＝1，
∴D（0，﹣1），
把点A，D的坐标代入l ：y＝kx+b，可得
2
，解得 ，
∴l ：y＝﹣ x﹣1，
2
在y＝x+3中，令x＝1，则y＝4，
∴B（1，4），∵l ∥l ，
2 3
∴k ＝﹣ ，
1
把B（1，4）代入y＝﹣ x+b 可得，
1
4＝﹣ +b ，
1
∴b ＝ ，
1
∴直线l 的解析式为y＝﹣ x+ ；
3
（2）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴E（0，3），
∴DE＝3+1＝4，
∴S△ABD ＝ DE（|x
A
|+|x
B
|）＝ （ +1）＝5．
13．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，且
点B的纵坐标为1．
（1）求反比例函数y＝ （x＞0）的表达式；
（2）过点A作x轴的垂线交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点C，平移直线y＝ x﹣2得到过点C
的直线l，l的函数表达式为y＝mx+n，结合函数的图象，求 ＞mx+n对应x的取值范围．解：（1）∵点B在一次函数y＝ x﹣2的图象上，且B的纵坐标为1，
∴1＝ ，
∴x＝6，
∴B（6，1），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象过点B，
∴ ，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为 （x＞0）；
（2）∵一次函数y＝ x﹣2的图象与x轴交于点A，
∴令y＝0得， ，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∵CA⊥x轴，
∴点C的横坐标为4，
结合函数图象可知，要求 ＞mx+n，即反比例函数y＝ 的图象在一次函数y＝mx+n的图象的上方，
∴0＜x＜4．
14．已知抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）设C为抛物线上的一定点，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3与抛物线交于点A、B
（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线y＝﹣a，垂足为D，且△CEF为等腰直角三角形．
①求点C的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥AC．
解：（1）在y＝ax2﹣a中，令y＝0，得ax2﹣a＝0，
∵a＞0，
∴x2﹣1＝0，
解得：x＝﹣1或x＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1，0）；
（2）①∵y＝ax2﹣a，
∴E（﹣1，0），F（1，0），
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝45°，
∵∠EOC＝∠FOC＝90°，OE＝OF＝1，
∴OC＝OE＝1，
∴C（0，﹣1），
将C（0，﹣1）代入y＝ax2﹣a中，则﹣a＝﹣1，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；
②由题意得： ，
解得： 或 ，
∴A（﹣2，3），B（k+2，k2+4k+3），且k+2≠0，
∵直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为D，
∴D（k+2，﹣1），
在y＝kx+2k+3中，令x＝0，得y＝2k+3，
∴P（0，2k+3），
设直线AC解析式为y＝mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线AC解析式为y＝﹣2x﹣1，
设直线DP的解析式为y＝m′x+n′，
则 ，
解得： ，
∴直线DP的解析式为y＝﹣2x+2k+3，
∴AC∥DP．
15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k叫直线l的斜率．
性质：直线l ：y＝k x+b ．l ：y＝k x+b （两直线斜率存在且均不为0），若直线l ⊥l ，则k k ＝﹣1
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：若直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；
（2）探究：一直线过点A（2，3），且与直线y＝﹣ x+3互相垂直，求该直线的解析式．
解：（1）∵直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，
∴2•k＝﹣1，
∴k＝﹣ ；
（2）设该直线的解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣ x+3互相垂直，
∴﹣ k＝﹣1，解得k＝3，
把A（2，3）代入y＝3x+b得6+b＝3，解得b＝﹣3，
∴该直线的解析式为y＝3x﹣3．
16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出
它们垂直的定义：设一次函数y＝k x+b（k ≠0）的图象为直线l ，一次函数y＝k x+b （k≠0）的图象
1 1 1 2 2
为直线l ，若k •k ＝﹣1，我们就称直线l 与直线l 互相垂直，如直线y＝3x﹣1与直线y＝﹣ x+1，因
2 1 2 1 2
为3×（﹣ ）＝﹣1，所以相互垂直．
根据以上定义内容，解答下面的问题：（1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝0.5x﹣2垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的坐标系中
画出直线l的图象．
（2）求（1）问中的两条直线与y轴所围的三角形的面积；
（3）已知点A（0，2），点B，C分别是（1）问中直线l和x轴上的动点，求出△ABC周长的最小值．
解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，
∵直线l与直线y＝0.5x﹣2垂直，
∴k＝﹣2，
∵直线l过点P（1，2），
∴﹣2×1+b＝2，
∴b＝4．
∴直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4；
直线l的图象如图；
（2）解方程组 得， ，
∵直线y＝0.5x﹣2与y轴的交点为（0，﹣2），直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4与y轴的交点为（0，
4），
∴两条直线与y轴所围的三角形的面积＝ ×6× ＝ ；
（3）∵点A（0，2）关于x轴的对称点为E（0，﹣2），关于直线l的对称点D（ ， ），
连接DE交直线l于B，交x轴于C，
则此时，△ABC周长的值最小，△ABC周长的最小值＝DE＝ ＝ ．17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移
2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在该函数的图象上，过A，B两点的直线
与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，4），连接AD，BD，求△ABD的面积．
解：（1）设反比例函数表达式为 ，
把A（﹣4，3）代入得，3＝ ，
解得k＝﹣4×3＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 ．
∵将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为（﹣2，y）．
当x＝﹣2时， ．
∴点B的坐标为（﹣2，6）．设直线AB的函数表达式为y＝kx+b．
由题意，得 ，解得 ．
∴ ．
∵当x＝0时，y＝9，
∴点C的坐标为（0，9）．
（2）由（1）知CD＝OC﹣OD＝9﹣4＝5．
∴ |x |﹣ ＝ ．
A
18．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段
OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）求△OAB的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，
说明理由．
解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ．
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，
∴B（0，6），∴OB＝6，
∴△OAB的面积＝ ×6×2＝6；
（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：
如图所示：
设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝ ．
则直线OA的解析式是：y＝ x，
∵点C（0，6），
∴OC＝6，
∴OB＝OC＝6，
∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，
∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，
∴点M的横坐标为2或﹣2；
当M的横坐标为2时，
在y＝ x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；
在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．
则M的坐标为（2，1）或（2，4）．
当M的横坐标为﹣2时，
在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．
综上所述：点M的坐标为（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝ x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点
A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂
线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 （ t ，﹣ t +4 ） ．点E
的坐标为 （ t ， t ﹣ 2 ） ；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出
此时△ADE的面积；若不存在说明理由．
解：（1）令y＝0，则x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B的坐标为（0，﹣2），
将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，
解得b＝4；
（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P（t，0），
∵PD⊥x轴，
∴D（t，﹣t+4），E（t， t﹣2），
故答案为（t，﹣t+4），（t， t﹣2）；（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：
∵点P在线段OA上，
∴0≤t≤4，
由（2）知D（t，﹣t+4），E（t， t﹣2），
∴DE＝﹣t+4﹣（ t﹣2）＝﹣ t+6，
∵B（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵DE＝OB，
∴﹣ t+6＝2，
解得：t＝ ，
∴AP＝4﹣t＝4﹣ ＝ ，
∴S△ADE ＝ DE•AP＝ ×2× ＝ ．
20．如图，已知一次函数y ＝kx+b的图象与函数y ＝ （x＞0）的图象交于A（6，﹣ ），B（ ，n）两
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点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y 与y 的解析式；
1 2
（2）观察图象，直接写出y ＜y 时x的取值范围；
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（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 2 ．解：（1）将点A（6，﹣ ）代入y ＝ 中，
2
∴m＝﹣3，
∴y ＝ ，
2
∵B（ ，n）在y ＝ 中，可得n＝﹣6，
2
∴B（ ，﹣6），
将点A、B代入y ＝kx+b，
1
∴ ，
解得 ，
∴y ＝x﹣ ；
1
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣ ），B（ ，﹣6），
∴ ＜x＜6时，y ＜y ；
1 2
（3）在y ＝x﹣ 中，令x＝0，则y＝﹣ ，
1
∴C（0，﹣ ），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣ +t，
∴F点坐标为（0，﹣ +t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（ ，0），与y轴交点C（0，﹣ ），
∴∠OCA＝45°，∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG＝ t，
∵A（6，﹣ ），C（0，﹣ ），
∴AC＝6 ，
∵AB∥DF，
∴S△ACD ＝S△ACF ，
∴ ×6 × t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），点C是l上方的抛物线上的一动点，
过C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E．连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点C的横坐标为n，△ABC的面积为S，求出S的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出
所有符合条件的P的坐标；若不存在，简要说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x；
（2）易求直线l的解析式为y＝﹣x+6．
由题意，知C（n，﹣n2+6n），E（n，﹣n+6），
∴EC＝（﹣n2+6n）﹣（﹣n+6），即EC＝﹣n2+7n﹣6．
过A作AF⊥CD于F，则AF＝n﹣1，DB＝6﹣n，
∴S＝S△ACE +S△BCE
＝ ×EC×（n﹣1）+ ×EC×（6﹣n）
＝ ×EC×5＝ （﹣n2+7n﹣6），
即S＝﹣ n2+ n﹣15，
配方得S＝﹣ （n﹣ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴S有最大值，当n＝ 时，S最大值 ＝ ；
（3）在抛物线上存在点P，能够使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边．分两种情况：
①当∠PBA＝90°时，
∵∠ABO＝45°，∴过点B且垂直于AB的直线解析式为y＝x﹣6，
解方程组 ，得 ， ，
∵B（6，0），
∴P （﹣1，﹣7）；
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②当∠PAB＝90°时，
∵过点A且垂直于AB的直线解析式为y＝x+4，
解方程组 ，得 ， ，
∵A（1，5），
∴P （4，8）．
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综上所述，符合条件的P点坐标为P （﹣1，﹣7），P （4，8）．
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