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例题精讲
【例1】．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧 CD、弧DE、弧
EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF的长是 ．
变式训练
【变1-1】．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的
半径，则称圆形A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形
被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为 ．【变1-2】．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka2+b＞0时，以
点P为圆心，ka2+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”
例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆．
（1）在点P （3，1），P （1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是 ．该点的“1倍雅圆”的半径
1 2
为 ．
（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直线
ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；
（3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l．
①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；
②点D是直线AB上一点，点D的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心， 为半径的
圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只
有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交
点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为
2．开动脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线的解析式为___________
变式训练
【变2-1】．已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公
式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣
2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的 C的面积
最小时， C的方程为 ． ⊙
⊙【变2-2】．
【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称
为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
【应用】
（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2， ），B（2，2 ），C（3， ），则原点O对三
角形ABC的视角为 ；
（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O ，以原点O，半径为4画圆O ，证明：圆
1 2
O 上任意一点P对圆O 的视角是定值；
2 1
【拓展应用】
（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志
性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为 45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建
立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为 x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直
线上满足条件的位置坐标．1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK K K K K K K …叫做“正六边形的渐开线”，其中 ，
1 2 3 4 5 6 7
， ， ， ， ，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记
为l ，l ，l ，l ，l ，l ，…．当AB＝1时，l 等于（ ）
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A． B． C． D．
2．已知线段AB， M经过A、B两点，若90°≤∠AMB≤120°，则称点M是线段AB的“好心”； M上
的点称作线段A⊙B的“闪光点”．已知A（2，0），B（6，0）． ⊙
①点M（4，2）是线段AB的“好心”；
②若反比例函数y＝ 上存在线段AB的“好心”，则 ≤k≤8；
③线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④若直线y＝x+b上存在线段AB的“闪光点”，则﹣10≤b≤2．
上述说法中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②3．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为圆心做圆周运
动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，
很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一
段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆
沿一条定直线做无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母
圆，该定点称为摆点：
现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无滑动的滚动，那
么：
（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？
（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？
（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（ ）
A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈
B．一条摆线；向上；1圈
C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈
D．一条摆线；向下；2圈4．定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O
的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点
M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比 ＝ ．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果 （可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有
点都在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中内弧，例如，图中 是△ABC其中的某一条中内弧．
若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是
FO，FH的中点，△FOH的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是 ．
6．如图（1），△ABC 是正三角形，曲线 DA B C …叫做“正三角形 ABC 的渐开线”，其中
1 1 1
，…依次连接，它们的圆心依次按A，B，C循环．则曲线CA B C 叫做正△ABC
1 1 1
的1重渐开线，曲线CA B C A B C 叫做正△ABC的2重渐开线，…，曲线CA B C A …A B 叫做正
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 n n n
△ABC的n重渐开线．如图（2），四边形ABCD是正方形，曲线CA B C D …叫做“正方形∁ABCD的
1 1 1 1
渐开线”，其中 …依次连接，它们的圆心依次按A，B，C，D循环．则
曲线DA B C D 叫做正方形ABCD的1重渐开线，…，曲线DA B C D A …A B D 叫做正方形ABCD
1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n
的n重渐开线．依次下去，可得正n形的n重渐开线（n≥3）． ∁
若AB＝1，则正方形的2重渐开线的长为18 ；若正n边形的边长为1，则该正n边形的n重渐开线的长
为 ． π7．一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点
为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，
∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝ ，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点
N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．8．我们不妨定义：有两边之比为1： 的三角形叫敬“勤业三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．
（2）如图1，△ABC是 O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，
交线段OA于点F，交 ⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角
⊙
形”？如果是，请给出证明，并求出 的值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．9．对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于
点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于
点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q （0，4），Q （2， ），Q （﹣2， ），Q （ ，﹣2
1 2 3 4
）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的
取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上
一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D
（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如
果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心， 长为半径作 T．若d（ T）满足d（ T）＞
+ ，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围． ⊙ ⊙ ⊙11．【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切
（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形， O 和 O 都与边AD相切， O 与边AB相切， O 和
1 2 2 1
O 都经过点B， O 经过点D，3个圆都经⊙过点C．⊙在这3个圆中，是矩形⊙ABCD的第Ⅰ类圆的⊙是
3 3
⊙，是矩形ABCD的⊙第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．12．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给
出如下定义：若将直线MN绕⊙点A顺时针旋转，直线MN与 O有两个交点时，则称MN是 O的“双
关联直线”，与 O有一个交点P时，则称MN是 O的“单⊙关联直线”，AP是 O的“单关⊙联线段”．
（1）如图1，A（⊙0，4），当MN与y轴重合时，设⊙MN与 O交于C，D两点．⊙则MN是 O的“
⊙ ⊙
关联直线”（填“双”或“单”）； 的值为 ；
（2）如图2，点A为直线y＝﹣3x+4上一动点，AP是 O的“单关联线段”．
①求OA的最小值； ⊙
②直接写出△APO面积的最小值．13．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，A为任意一点，B为 O上任意一点．给出如下定义：记
⊙ ⊙
A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在 O上时，p＝0），最大值为q，那么把 的值称为
点A与 O的“关联距离”，记作d（A， O）．⊙
（1）如⊙图，点D，E，F的横、纵坐标都是⊙整数．
①d（D， O）＝ ；
②若点M在⊙线段EF上，求d（M， O）的取值范围；
（2）若点N在直线y＝ 上⊙，直接写出d（N， O）的取值范围；
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动
⊙
时，满足d（P， O）的最小值为1，最大值
为 ，直接写出m的最小值和最大值． ⊙14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美
点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ， C的半径是 ；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完⊙美点”的坐标；如果没有，请说明理
由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．15．定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，
相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的 O恰好经过点B，求
证： O是△ABC的切圆． ⊙
（2）⊙如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， O是△ABC的切圆，且另外两条边都是 O的切边，
求 O的半径． ⊙ ⊙
（⊙3）如图3，△ABC中，以AB为直径的 O恰好是△ABC的切圆，AC是 O的切边， O与BC交于
点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于⊙点E，过点E作EH⊥AB于点H，⊙若CF＝8，B⊙F＝10，求AC
和EH的长．16．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交
点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1， O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于 O的“圆截距”；
（2）点M的坐⊙标为（1，0）， ⊙
①如图2，若 M的半径为1，当b＝1时，直线l关于 M的“圆截距”小于 ，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围⊙内变化时，直线l关于 M的“圆截距”的最小
值2，直接写出⊙b的值． ⊙17．对于 C与 C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与 C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为
点A关⊙于 C⊙的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点⊙A的坐标是（﹣ ，0）．
（1）如图⊙1，点O为坐标原点， O的半径是 ，点P是点A关于 O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写
⊙
出点P的坐标是 ；
⊙
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作 T，一次函数y＝ x+4的图象分别与x轴、y
⊙
轴交于D、E，若一次函数y＝ x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于 T的“倍距点”，
求t的值． ⊙18．类比学习：
我们已经知道，顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图1，∠APB就是圆周角，弧
AB是∠APB所夹的弧．
类似的，我们可以把顶点在圆外，且角的两边都和圆相交的角叫做圆外角，如图 2，∠APB就是圆外角，
弧AB和弧CD是∠APB所夹的弧，
新知探索：
图（2）中，弧AB和弧CD度数分别为80°和30°，∠APB＝ °，
归纳总结：
（1）圆周角的度数等于它所夹的弧的度数的一半；
（2）圆外角的度数等于 ．
新知应用：
直线y＝﹣x+m与直线y＝ x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．经过A、B、C三点
作 E，点P是第一象限内 E外的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交
E⊙于点M、N， ⊙
⊙设∠APC＝ ．
①求A点坐θ标； ②求 E的直径；
③连接MN，求线段MN的长度（⊙可用含 的三角函数式表示）．
θ19．（1）【基础巩固】如图1，△ABC内接于 O，若∠C＝60°，弦AB＝2 ，则半径r＝ ；
（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD内
⊙
接于 O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，点B为弧AC上一动
点（不与点A，点C重合）． ⊙
求证：AB+BC＝BD；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣弧 围成，已知
CM＝DM＝ 千米，∠DMC＝60°， 的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主
入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在 上，并在公园中修四条慢跑道，即
图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的
周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．20.A，B是 C上的两个点，点P在 C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于 C的内直角，
特别地，⊙当圆心C在∠APB边（⊙含顶点）上时，称∠APB为AB关于 C的最佳内直⊙角．如图 1，
∠AMB是AB关于 C的内直角，∠ANB是AB关于 C的最佳内直角．在⊙平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2， O⊙的半径为5，A（0，﹣5），B（4⊙，3）是 O上两点．
①已知P
1
（1，⊙0），P
2
（0，3），P
3
（﹣2，1），在∠AP 1⊙B，∠AP
2
B，∠AP
3
B中，是AB关于 O的
内直角的是 ； ⊙
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于 O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动⊙点， T与x轴交于点D（点D在点T的右
边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点⊙H，都存在点T，使∠DHE是DE关于
T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
⊙
