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模型介绍
★旋转动角问题三步解题技巧总结
一. 根据题意找到目标角度
二. 表示出目标角度
1. 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间
2. 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间
3. 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大:
变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间
变大: 目标角=速度 × 时间-起始角
4. 角度两边都动, 运动方向相同且变大
目标角=起始角+速度差×时间
5. 角度两边都动, 运动方向相同且变小
目标角=起始角 - 速度差× 时间
6. 角度两边都动, 运动方向相反
目标角 = 起始角 + 速度和×时间
三. 根据题意列方程求解
例题精讲【例1】．如图，已知∠AOB＝126°，∠COD＝54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝
∠AOC，∠BON＝ ∠BOD，当OC边与OB边重合时，∠COD从图中的位置绕点O顺时针旋转n°（0
＜n＜126），则n°＝ 时，∠MON＝2∠BOC．
变式训练
【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在
BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒
15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 秒．
【变式1-2】．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有
一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，
且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是
∠MPN的“巧分线”时，t的值为 ．
【例2】．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝
60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度 ，（如图2），在转动过程
中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两α边组成的角时， 的值为
． α
变式训练
【变式2-1】．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD
＝30°．将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的平分
线，当三角板ADE旋转至如图2的位置时，∠MAN的度数为 °．【变式2-2】．如图①，O为直线AB上一点作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，
直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针
方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为
．1．如图，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AM的位置开始，以每秒3°的速度
绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆
时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AM才开始转动，当射线AC，BD互相平行
时，射线AC的旋转时间为 秒．
2．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝
30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角
板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为 t秒．若射线 OC的位置保持不变，且
∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线
恰好是另两条射线所夹角的平分线．
3．如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转 度（0°＜ ＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．
α α
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数；
（2）如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；
（3）如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．
试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
5．已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝ ；
（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；
（3）如图 3，当 OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线 OC在OB的下方时，OM平分
∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝ ∠BOC，求∠COM﹣ ∠BON的值？
6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在
射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图 2，
若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
7．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和
∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
8．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即
∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，求∠COD的度数；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的
度数；
（3）将直三角板 DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好∠COD＝
∠AOE，求此时∠BOD的度数．
9．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大
小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，
求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t
秒时，∠AOM＝ ∠DON．求t的值．
10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角
∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放
在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．
问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．
12．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小
于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？
若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝
6∠COD，则n＝ ．
13．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这
三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都
是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】
（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 ；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，
射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、
ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
14．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；
（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关
系： ．
15．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝ ∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此
∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP ，OP 都是∠AOB的“好线”．
1 2
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数；
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，
请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按
顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线
同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，直接写出符合条件的所有的旋转时间 ．
16．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始
绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；
（3）如图 3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线 OD 在∠MON 内部，∠MOD＝30°，OP平分
∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）
°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数17．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重
合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．
整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为
OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写
出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．18．如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，
∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设
旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．
（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；（2）如图 2，当三角形纸板 ODE 旋转至△OD E 时，边 OE 恰好落在射线 OF 上，且 OF 平分
1 1 1
∠AOD ，OD 平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；
1 1
（3）当旋转至△OD E 时，OE 所在直线平分∠AOC，求t的值．
2 2 2
19．如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，
A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）∠MON＝ 度；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板 AOB固定不动，若三角板 COD绕着O点旋转（旋转角度小于
45°），∠BOC＝ ，求∠MON的度数（用含 的式子表示）．
α α20．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿
EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．
（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；
（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
（3）如图3，当∠GFI＝ ，∠EFH＝ 时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在
∠EFH内，PF是∠GFH的α角平分线，QβF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含
， 的式子表示）．
α β
