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例题精讲
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、
三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△ABC的面积．
y
C
B
A
O x
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
y
D C E
B
A F
O x
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
y
C
F B
D
A E
O x此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下面求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
y
C
铅
垂
高
B
D
水平宽
A
O x
E
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．例题精讲
【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P
为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），
把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），
过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△PBC ＝ PM•|x
B
﹣x
C
|＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ （x2+3x）＝﹣ （x+ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，S△PBC 有最大值，最大值是 ，
∴△PBC面积的最大值为 ；
当x＝﹣ 时，﹣x2﹣2x+3＝ ，∴点P坐标为（﹣ ， ）．
变式训练
【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其
中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的
坐标．
解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，联立 ，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣ ，
即m＝﹣ 时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝ ，y＝ ﹣ ＝﹣ ，
∴点E的坐标为（ ，﹣ ），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（ ，0），
∴AF＝ ﹣1＝ ，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝ × ＝ ，
又∵AC＝ ＝3 ，
∴△ACE的最大面积＝ ×3 × ＝ ，此时E点坐标为（ ， ）．
【变1-2】．如图，直线y＝﹣ x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣ +bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
解：（1）令x＝0，得y＝﹣ x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣ x+2＝0，解得x＝4，
∴C（4，0）．
把A、C两点代入y＝﹣ x2+bx+c得， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，
设M（a，﹣ a2+ a+2），则N（a，﹣ a+2），
∴S△ACM ＝ •MN•OC＝ （﹣ a+2﹣ a2﹣ a﹣2）×4＝﹣ a2+2a，S△ABC ＝ •BC•OA＝ ×（4+2）×2＝6，
∴S四边形ABCM ＝S△ACM +S△ABC ＝﹣ a2+2a+6＝＝﹣ （a﹣2）2+8，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．
【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线
于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在何处时，△ACE面积最大．
解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；
设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），
∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，
∴△ACE的面积＝ ×（2+1）×PE
＝ （﹣t2+t+2）
＝﹣ （t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，△ACE的面积有最大值，最大值为 ，此时P点坐标为（ ，﹣ ）．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最
大值．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；
（2）连接OP，设点 ，
则 S ＝ S 四 边 形 ADCP ＝ S△ APO +S△ CPO ﹣ S△ ODC ＝ ＝
，∵﹣1＜0，故S有最大值，当 时，S的最大值为 ．
【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝
+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象
上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．
解：（1）把x＝0代y＝ x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝ x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝ （x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝ （x﹣4）（x+1）＝ x2﹣ x﹣2；
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x， x2﹣ x﹣2），则F（x， x﹣2），DF＝（ x﹣2）﹣（ x2﹣ x﹣2）＝﹣ x2+2x．
∴S△BCD ＝ OB•DF＝ ×4×（﹣ x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
1．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物
线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）A．（2，3） B．（ ， ） C．（1，3） D．（3，2）
解：对于y＝﹣ x2+ x+2，令y＝﹣ x2+ x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣ x+2，
设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），则点H的坐标为（x，﹣ x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB +S△PHC ＝ PH×OB＝ ×4×（﹣ x2+ x+2+ x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
2．如图1，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线 过B、C两点，
连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；
（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
将点B（4，0）和点C（0，2）代入 ，
得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）作PD∥y轴交直线BC于点D，
设P（m，﹣ m2+ m+2），则D（m，﹣ m+2），
∴PD＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m，
∴S△PBC ＝ ×4×（﹣ m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积有最大值4，
此时P（2，3）；
（3）令y＝0，则 ，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∵A点与B点关于对称轴对称，
∴AQ＝BQ，
∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，
∴当B、C、Q三点共线时，，△QAC周长最小，
∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），
∴BC＝2 ，AC＝ ，
∴AC+BC＝3 ，
∴△QAC周长最小值为3 ．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC
面积的最大值．若没有，请说明理由．解：（1）根据题意得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
设BC的解析式是y＝mx+n，
则 ，解得 ，
则BC的解析式是y＝x+3．
x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．
则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
则S△PBC ＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ x2﹣ x＝＝﹣ （x+ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，故△PBC的面积有最大值是 ．
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点
P的坐标；
（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H
的坐标．
解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）
把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5
得 ，
解得
y＝x2﹣4x﹣5；
（2）当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），
①BC为对角线，
则x ﹣x ＝x ﹣x ，y ﹣y ＝y ﹣y ，
Q C B P Q C B P
解得 ，（ 舍去），
∴P（4，﹣5），
②CP为对角线，
则x ﹣x ＝x ﹣x ，y ﹣y ＝y ﹣y ，
Q C P B Q C P B
解得 或 ，∴P（2+ ，5）或（2﹣ ，5），
③CQ为对角线时，CP∥BQ，
则点P（4，﹣5）；
综上P（4，﹣5）或（2﹣ ，5）或（2+ ，5）；
第三种，CQ为对角线不合要求，舍去；
（3）过H作HD∥y轴交BC于D，
∴S△BCH ＝S△CDH +S△BDH ＝ HD（x
H
﹣x
C
）+ HD（x
B
﹣x
H
）＝ HD（x
B
﹣x
C
）＝ HD，
设BC：y＝kx+b ，
1
∵BC过B、C点，
代入得，
，
，
∴y＝x﹣5，
设H（h，h2﹣4h﹣5），D（h，h﹣5），
S△BCH ＝ HD＝ ×[h﹣5﹣（h2﹣4h﹣5）]＝﹣ （h﹣ ）2+ ，
∴当h＝ 时，H（ ，﹣ ）时，S△BCHmax ＝ ．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，
0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为
菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，
∵点B（3，0）在二次函数图象上，
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CE＝ OC，
∵点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OE＝ ，
∴E（0，﹣ ），
∴点P的纵坐标为﹣ ，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣ ，
∴x＝ 或x＝ ，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴0＜x＜3，
∴点P（ ，﹣ ）；
（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
∴F（m，0），
∴S四边形ABPC ＝S△AOC +S梯形OCPF +S△PFB ＝ OA•OC+ （OC+PF）•OF+ PF•BF
＝ ×1×3+ （3﹣m2+2m+3）•m+ （﹣m2+2m+3）•（3﹣m）＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，四边形ABPC的面积最大，最大值为 ，此时，P（ ，﹣ ），
即点P运动到点（ ，﹣ ）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为 ．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜
3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得： ，
解得：a＝﹣ ，b＝ ，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2．
（2）设点P的坐标为（t，﹣ t2+ t+2）．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
∴S＝ AB•PD＝ ×4×（﹣ t2+ t+2）＝﹣ t2+ t+4（0＜t＜3）；
（3）当△ODP∽△COB时， ＝ 即 ＝ ，
整理得：4t2+t﹣12＝0，
解得：t＝ 或t＝ （舍去）．
∴OD＝t＝ ，DP＝ OD＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
当△ODP∽△BOC，则 ＝ ，即 ＝ ，整理得t2﹣t﹣3＝0，
解得：t＝ 或t＝ （舍去）．
∴OD＝t＝ ，DP＝ OD＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
综上所述点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝ x+ 经过点A，与抛物线的
另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的
垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；
（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值
若没有请说明理由．
解：（1）∵点C的横坐标为3，
∴y＝ ×3+ ＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，
解得：a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ ；
（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点 D（m， m+ ）m，E（m， ），G（m+1， m+1），F（m+1，
），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴ED＝FG，
∴（ ）﹣（ m+ ）＝（ ）﹣（ m+1），即 ＝ ，
∴m＝0.5，
∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；
（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，
由（2）可得，S＝（ ）×1÷2＝ （﹣m2+m+ ）＝ ，
∴当m＝ 时，S最大值为 ，
∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 ．
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC
上一点，PE∥y轴．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，
解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得 ，
这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得 ．
故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，
过点P作PE∥y轴，
交直线BC于点E（t，﹣t+3），
PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△BCP ＝S△BPE +S△CPE ＝ （﹣t2+3t）×3＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当t＝ 时，S△BCP最大 ＝ ．
（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），
∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝ |m﹣3|，
当MN＝BM时，m2﹣3m＝ （m﹣3），解得m＝ ．
9．已知直线y＝ x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣ x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；
若不存在，说明理由．
解：（1）把x＝0代入y＝ x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），
把y＝0代入y＝ x﹣3得 x﹣3＝0，解得x＝4，则A点坐标为（4，0），
把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣ x2+mx+n得 ，
解得 ，
所以二次函数解析式为y＝﹣ x2+ x﹣3；
（2）存在．
过D点作直线AC的平行线y＝kx+b，当直线y＝kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最
大，此时△ACD的面积最大，
∵直线AC的解析式为y＝ x﹣3，
∴k＝ ，即y＝ x+b，
由直线y＝ x+b和抛物线y＝﹣ x2+ x﹣3组成方程组得 ，消去y得到3x2﹣
12x+4b+12＝0，
∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，∴3x2﹣12x+12＝0，解得x ＝x ＝2，
1 2
把x＝2，b＝0代入y＝ x+b得y＝ ，
∴D点坐标为（2， ）．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直
线y＝＝ x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．
解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得： ，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，
过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m， m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣ m+2）＝﹣m2+ m+1，
联立方程组： ，
解得： ， ．
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∴BD+CF＝3+| |＝ ．
∴S△PBC ＝S△PEB +S△PEC ＝ PE•BD+ PE•CF
＝ PE（BD+CF）
＝ （﹣m2+ m+1）× ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，（其中﹣ ＜m＜3）．
∵﹣ ＜0，
∴这个二次函数有最大值．
∴当m＝ 时，S△PBC 的最大值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝ x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两
点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB ＝S△OAB ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明
理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ ON
的最小值．解：（1）∵直线y＝ x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝ ，
∴抛物线解析式为：y＝ （x+1）（x﹣4）＝ x2﹣ x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB ＝S△ABO ，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝ x，
联立方程组可得 ，解得： 或 ，
∴点P（2+2 ，1+ ）或（2﹣2 ，1﹣ ）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，
连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B ＝S△ABO ，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝ x﹣4，
联立方程组可得 ，
解得 ，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2 ，1+ ）或（2﹣2 ，1﹣ ）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m， m2﹣ m﹣2），则点F（m， m﹣2），
∴MF＝ m﹣2﹣（ m2﹣ m﹣2）＝﹣ （m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积＝ ×4×[﹣ （m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线
KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ ON，
∴MN+ ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝ x，
当x＝2时，点Q（2，2 ），
∴QM＝2 +3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝ QM＝ + ，
∴MN+ ON的最小值为 + ．
12．直线y＝﹣ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；
①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为 Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM
与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、
（0，2），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+ x+2；
（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+ m+2），点N（m，﹣ m+2），
则：△PBA的面积S＝ PN×OA＝ ×4×（﹣m2+ m+2+ m﹣2）＝﹣2m2+8m，
当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；
②点P（2，5），则点Q（ ，5），设点M（a，﹣ a+2）；（Ⅰ）若：∠QM B＝2∠QAM ，则QM ＝AM ，
1 1 1 1
则（a﹣ ）2+（ a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣ a+2）2，
解得：a＝ ，
故点M （ ， ）；
1
（Ⅱ）若∠QM B＝2∠QAM ，
2 1
则∠QM B＝∠QM B，QM ＝QM ，
2 1 1 2
作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，
则tan∠BAO＝ ＝ ，则tan∠QNA＝2，
故直线QH表达式中的k为2，
设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，
故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，
M 、M 关于B对称，
2 1
∴M （﹣ ， ）；
2
综上，点M的坐标为：（ ， ）或（﹣ ， ）．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和
点C（1，0）．（1）求此抛物线的表达式．
（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P的坐标和△ABP
的最大面积．
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写
出此时点H的坐标 （﹣ ，﹣ ） ．
解：（1）将点B（﹣3，0）和点C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得 ，
∴ ，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x﹣3，
过点P作PG⊥x轴交AB于点G，
设P（t，t2+2t﹣3），则G（t，﹣t﹣3），
∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，
∴S△ABP ＝ ×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣ （t+ ）2+ ，当t＝﹣ 时，S△ABP 有最大值 ，
此时P（﹣ ，﹣ ）；
（3）由y＝x2+2x﹣3的顶点D（﹣1，﹣4），
设H（m，﹣m﹣3），
∵△DHP为等腰三角形，
∴DH＝PH，
∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+ ）2+（﹣m+ ）2，
解得m＝﹣ ，
∴H（﹣ ，﹣ ），
故答案为：（﹣ ，﹣ ）．
14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其
顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长
的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3 ，同理可得：AN＝ ，
∴C△ANM ＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3 + ；
（3）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣
x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC ＝ AQ•PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三
点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．
解：
（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC ＝S△PFC +S△PFB ＝ PF•OE+ PF•BE＝ PF•（OE+BE）＝ PF•OB＝ （﹣t2+4t）×4＝﹣2（t
﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC 最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝ （小于0，舍去）或x＝ ，∴存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣2）．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；
（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为
点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P的坐标及四边形BDCP面积的
最大值．
解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得： ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3．
（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），
∴ ．
∴△BCM的周长为 ．
如图1，过点M作MN⊥BC于点N，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BMN＝45°．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）由题意可知：S四边形BDCP ＝S△BDC +S△BPC ，
∵过点A的直线m∥BC，
∴ ．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C（0，3），
∴OC＝3．
∴ ．
如图2，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），
∵点P是直线BC上方抛物线上一动点，
∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．
则 ＝ ．
∴ ．
当 时，四边形BDCP的面积最大，最大面积为 ．
此时，点P的坐标为 ．
17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F ：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
1
（1）求抛物线F 的解析式；
1
（2）如图2，作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F 的解析式；
2 1 2
（3）如图3，将（2）中抛物线F 向上平移2个单位，得到抛物线F ，抛物线F 与抛物线F 相交于
2 3 1 3
C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F 和抛物线F 上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求
1 3
四边形CMDN面积的最大值．
解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴ ，解得 ，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），
∴抛物线F 的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
2
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）由题意可得，抛物线F 的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，
3
①联立方程组 ，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，
设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），
则F（m，2m+1），E（n，2n+1），
∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，
NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，
∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，
∴当m＝0时，MF有最大值4，
当n＝0时，NE有最大值4，
∵S四边形CMDN ＝S△CDN +S△CDM ＝ ×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）
2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动
点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为
D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、
P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明
理由．
参考：若点P （x ，y ）、P （x ，y ），则线段P P 的中点P 的坐标为 ．
1 1 1 2 2 2 1 2 0
解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣ 时，PE有最大值 ，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝ PE，
∴S△PEF ＝ PF•EF＝ PE2，∴当m＝﹣ 时，S△PEF最大值 ＝ ×（ ）2＝ ；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣ ， ），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣ ）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
