文档内容
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X
B
-X
A
(即：右端点减左端点）
X +X
✮（5）数轴上中点数公式：X = A B (即：中点等于两端点相加除以2）
M 2例题精讲
【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与
A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.
变式训练
【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒
4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时
向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝
．
【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点
出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个
单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
（3）当时间t满足t ＜t≤t 时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、
1 2
10个整数点，请直接写出t ，t 的值．
1 2
【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为 A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是 ．
变式训练
【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方
向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三
点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为 秒．
【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．
（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；
（2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向
左运动．
①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在
请说明理由．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别
对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方
向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（ ）
A．对应的数是2019 B．对应的数是2020
C．对应的数是2021 D．不对应任何数
3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示
数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下
列说法中正确的个数是（ ）
①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；
②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；
③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；
④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．44．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是
．
5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各
折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点 M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着
折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向
终点D运动；点M从点A出发的同时，
点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A运动．其中一点到达终
点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t 时，M、N两点相遇（结果化为小数）．
6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对
应的数分别是a、b、c，且ab＜0．
（1）原点在第 部分（填序号）；
（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；
（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．
7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|
x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts
后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否
随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣
AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ﹣ 2 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点
运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终
为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．
（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；
（2）该数轴上有另一点D表示数d．
①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；
②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．10．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|
可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之
间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ；
（2）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣ 2 时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；
（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．
（1）填空：线段AB的长度AB＝ ；
（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是
否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？
（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点
F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
12．如图，在数轴上，点 O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点 P（不与点A点O重
合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p） ，即 ，我们称k（p） 为点P的特征值，例如：
点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以 ．
（1）当点P为AO的中点时，则k（p） ＝ ；
（2）若k（p） ＝2，求点P表示的数；
（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k
的和．
（p）
13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如
图所示．
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点 B处时、它的右端点在数轴上对应的数为
20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，
由此可得木棒的长为 5 cm ；我们把这个模型记为“木捧摸型”；
（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．
某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要 41年才出生；你若是我现在这
么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年
龄．
14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量
关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此
时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数： ，0，1，4，5所对应的点分别为C ，C ，
1 2
C ，C ，C ，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
3 4 5
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点 P表示
的数．
15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，
如图画数轴．
（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 ，点C表示的数是 ；
（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和
等于21，求m；
（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长
度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大
的负整数．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合；
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度
向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，
运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB
﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足 2倍的数量关系．如下图，数
轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数： 、 、 ．
（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C ，C ，C ，C ，
1 2 3 4
C ，其中不是点M，N的“关联点”是点 ．
5
（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示
的数．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB
的中点P表示的数为 ．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，
对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应
的数x为 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度
为每秒3个单位长度，则经过 秒点B追上点A；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时
点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点 A、点B、
点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁
P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从B点出发，以3单位/秒
的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 20个单位长度，并写出此时点P所表示
的数．20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表
示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，
以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来
的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数
轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．
设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 秒，动点Q从点C运动至点A需要 秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点 A和点B在“折线数
轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定
义：如果 ＝10，那么称M是N的“努力点”．
例如：m＝1，n＝ ，M是N的“努力点”．
（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝ ，n＝ ；
（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 （填序号）；
①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”
③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”
（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求 值？22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如
下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a
＝2， 时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．
（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）．
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比
点”；
（2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求 的值；
（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出 的值．23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），
将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作 ，即 ＝ ，例如：当点P是线段OA的
中点时，因为PO＝PA，所以 ＝1．
（1）如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是﹣ ，点P 与P 关于原点对称．
1 2 3 1 2 1
① ＝ ；
②比较 ， ， 的大小 （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝ OA，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 ＜100且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为
．24．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x ﹣
1
x |表示在数轴上数x ，x 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
2 1 2
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数
轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右
边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x
＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4
的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 ；
（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
