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例题精讲
【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，
且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 （ 5 ，﹣ 6 ） ．
解：如图所示，
将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（﹣4，﹣8），
由于旋转可知，△ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点，
所以点M的坐标为（4，﹣4），又B为（0，4），设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M代入可得
，解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点，
则由 解得 ，所以点P的坐标为（5，﹣6），
故答案为（5，﹣6）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直
线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 y ＝ 3 x + 4 ．
解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴令x＝0，得y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
在△ABO和△FAE中
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，
∴F（﹣2，﹣2），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+4，把F的坐标代入得，﹣2＝﹣2k+4，
解得k＝3，
∴直线BC的函数表达式为：y＝3x+4，
故答案为：y＝3x+4．
【变1-2】．如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l ：y＝2x+b上，l 和l ：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点
1 1 2
B的横坐标为8，将直线l 绕点A逆时针旋转45°与直线l ，相交于点Q，则点Q的坐标为 （ ，﹣
1 2
） ．
解：过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，
将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l 的解析式为y＝2x﹣9，
1
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，
∴点B的坐标为（8，7），将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
∴直线l 的解析式为y＝x﹣1，
2
∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，
∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），
把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ）．
故答案为：（ ，﹣ ）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将
直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为 （ 0 ，﹣ 6 ） ．
解：一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
作DB⊥AB交直线AC于D，过点D作DE⊥y轴与E，
∵∠BAD＝45°，
∴△BAD是等腰直角三角形，
∴AB＝DB，
∵∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠DBE＝90°，
∴∠OAB＝∠DBE，
在△ABO和△BDE中
，
∴△ABO≌△BDE（AAS），∴BE＝OA＝2，DE＝BO＝4，
∴D（﹣4，6），
设直线AC的函数表达式为：y＝kx+4，
把A、D的坐标代入得 ，
解得 ，
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣3x﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
故答案为：（0，﹣6）．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与
x轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（ ）
A．y＝3x﹣2 B．y＝ x﹣2 C．y＝ x﹣2 D．y＝﹣ x﹣2
解：∵一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，
∴F（3，﹣1），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
，
∴ ，
∴直线BC的函数表达式为：y＝ x﹣2，
故选：B．
【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）填空：b＝ 1 ；
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线
l的函数表达式．解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
故答案为1；
（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
∴A（﹣ ，0），B（0，1），
∴OA＝ ，OB＝1，
作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝ ，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C（1， ），设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣ ，0），C（1， ）代入得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x+ ．
1．如图，直线y＝ x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若∠ABO+∠ACO＝45°，则点C的坐标
为 （﹣ 2 ， 0 ）（ 2 ， 0 ） ．
解：∵直线y＝ x+1与坐标轴交于A、B两点
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3
∴点A（0，1），点B（﹣3，0）
如图：取点D（﹣1，0），当点C在原点右边，设点C（a，0）
∵点A（0，1），点D（﹣1，0），点B（﹣3，0）
∴OA＝OD＝1，OB＝3，BD＝2
∴∠ADO＝∠DAO＝45°，AB＝ ＝
∴∠ABO+∠BAD＝45°
又∵∠ABO+∠ACO＝45°
∴∠ACO＝∠BAD，且∠ABO＝∠ABO
∴△ABD∽△CBA
∴ 即
∴a＝2
∴点C坐标为（2，0）
若点C在原点左边，记为点C ，
1
∵∠ABO+∠ACO＝45°，∠ABO+∠AC O＝45°
1
∴∠ACO＝∠AC O且∠AOC＝∠AOB＝90°，AO＝AO
1
∴△ACO≌△AC O（AAS）
1
∴OC＝OC ＝2
1
∴点C （﹣2，0）
1
故答案为：（2，0），（﹣2，0）
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C
（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 1 2 ．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
∴m＞0．
∵∠CPA＝∠ABO＝45°，
∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，
∴△PCD∽△APB，
∴ ，即 ＝ ，
解得m＝12．
故答案是：12．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣ x+3．点C是AO上一点且OC＝1，点D在线
段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是 ．解：方法一：
在x轴负半轴截取OF＝ ，
过点F作FH⊥AF交AD的延长线于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，
∵OC：OB＝1：4，OF：OA＝ ÷3＝1：4，
∴将△BOC逆时针旋转90°时，再将点B平移到与点A重合时，此时的∠FAO和∠CBO重合，
∴∠FAO＝∠CBO，
∵FH⊥AF，
∴∠AFO+∠HFP＝90°，
而∠AFO+∠FAO＝90°，
∴∠FAO＝∠HFP＝∠CBO，
∴BC∥FH，
∴∠FHA＝∠BED＝45°，
∴△AFH为等腰直角三角形，
∴AF＝FH，
而∠AOF＝∠FPH，∠FPH＝∠AFO，
∴△AOF≌△FPH（AAS），
∴PF＝AO＝3，PH＝OF＝ ，
故OP＝FP﹣OF＝3﹣ ＝ ，
故点H（ ，﹣ ），
设直线AH的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线AH的表达式为y＝﹣ x+3，
令y＝0，则y＝﹣ x+3＝0，
解得：x＝ ，
故点D（ ，0），
故OD＝ ，
故答案为 ．
方法二：过点A作x轴的平行线MN，交过点E与y轴的平行线于点M，交过点F与y轴的平行线于点
N，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣ x+1，
同理可证：△EMA≌△ANF（AAS），
则AN＝ME＝3+ m﹣1＝ m+2，NF＝AM＝m，
则点F的坐标为（﹣ m﹣2，3﹣m），
将点F的坐标代入直线BC的表达式并解得m＝ ，
故点E的坐标为（ ， ），由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝﹣ x+3，
令y＝﹣ x+3＝0，解得x＝ ，
故OD＝ ，
故答案为 ．
4．如图，直线y＝4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y＝﹣x+4交x轴于点C，点P为线段BC
上一点，∠PAB＝45°，求点P的坐标．
解：由题可得A（﹣1，0），B（0，4），C（4，0），
设P（m，4﹣m），
过点P做PD⊥AB，
∴AB＝ ，AC＝5，
△ABC的面积＝ ＝ + × ×PD，
∴PD＝ m，
∵∠PAB＝45°，
∴AP＝ m，
∴（ m）2＝（4﹣m）2+（m+1）2，
∴m＝ ，
∴P（ ， ）；5．如图，正比例函数y＝kx经过点A，点A在第二象限，过点A作AC⊥y轴于点C，AC＝2，且△AOC的
面积为5．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若直线y＝ax上有一点B满足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．
解：（1）∵AC⊥y轴．
∴∠ACO＝90°
∵△AOC的面积为5，
∴S△AOC ＝ AC•OC＝5，
又∵AC＝2，
∴OC＝5．
∴A（﹣2，5），
将点A（﹣2，5）代入y＝kx，解得k＝﹣ ，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣ x；
（2）①当点B在第二象限时，如图，∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABF+∠EBO＝90°，
如图，过B作BE⊥x轴于E，交CA延长线于点F．
∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，
∴四边形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，
∴∠ABF+∠FAB＝90°，
∴∠EBO＝∠FAB，
∴△EBO≌△FAB（AAS）．
∴BE＝AF，EO＝FB．
又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，
AC＝CF﹣AF＝2，
∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，
解得：EO＝ ，BE＝ ．
∴B（﹣ ， ），
将B（﹣ ， ）代入y＝ax，解得a＝﹣ ．
∴a＝﹣ ．
②当点B在第一象限时，OB ＝OB，过点O作OB ⊥OB，则∠AOB ＝45°，如图所示，
1 1 1过点B 作B G⊥x轴于点G，则∠B GO＝∠BEO＝90°，
1 1 1
又∵∠B OB＝90°，
1
∴∠B OG+∠BOE＝90°，
1
∵∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠OBE＝∠B OG，
1
∴△OBE≌△B OG（AAS），
1
∴OE＝B G＝ ，BE＝OG＝ ，
1
∴B （ ， ），
1
将B （ ， ）代入y＝a x，解得a ＝ ．
1 1 1
综上，a的值为﹣ 或 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD
交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．
（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．
解：（1）由题可得，B（6，0），C（0，6），
设BC为y＝kx+b（k≠0），则
，解得 ，∴BC的解析式为y＝﹣x+6，
∵OA＝OB＝6，
∴AB＝12，
∵△ABD的面积为18，
∴ 12×y ＝18，
D
解得y ＝3，
D
当y＝3时，3＝﹣x+6，
解得x＝3，
∴点D的坐标为（3，3）．
（2）由题可得，A（﹣6，0），
设直线AD的表达式为y＝mx+n（m≠0），则
，解得 ，
∴直线AD的表达式为y＝ x+2，
令x＝2，则y＝2，
∴点E的坐标为（0，2）．
（3）∵CF⊥AD，CO⊥AB，
∴∠FCO+∠AFC＝90°，∠EAO+∠AFC＝90°，
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴FO＝EO＝2，
∴F（2，0）．
7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣ x+3分别交x、y轴于点B、A．（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为 （﹣ 4 ， 6 ） ；
（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；
（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M
在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，直线y＝﹣ x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，由﹣ x+3＝0，得x＝4，
∴A（0，3），B（4，0）；
∵CA＝AB，且点C不同于点B，
∴点A是线段BC的中点，即点C与点B关于点A对称，
∴点C的横坐标为﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣ ×（﹣4）+3＝6，
∴C（﹣4，6），
故答案为：（﹣4，6）．
（2）如图2，射线AC在直线AB的上方，射线AC′在直线AB的下方，∠BAC＝∠BAC′＝45°；
作线段AB的垂直平分线交AC于点G，交AC′于点H，交AB于点Q，连接BG、BH，则Q（2，
）；
作GP⊥y轴于点P，GF⊥x轴于点F，则AG＝BG，AH＝BH，
∵BG＝AG，BH＝AH，
∴∠GBA＝∠BAC＝45°，∠HBA＝∠BAC′＝45°，
∴∠BGA＝∠GAH＝∠AHB＝90°，
∴四边形AHBG是正方形；
∵∠AGB+∠AOB＝180°，
∴∠GBF+∠OAG＝180°，∵∠GAP+∠OAG＝180°，
∴∠GBF＝∠GAP，
∵∠GFB＝∠GPA＝90°，
∴△GBF≌△GAP（AAS），
∴BF＝AP，GF＝GP，
∵∠FOP＝∠OPG＝∠GFO＝90°，
∴四边形OFGP是正方形，
∴OF＝OP，
∵OB＝4，OA＝3，
∴4﹣BF＝3+AP，
∴4﹣AP＝3+AP，
解得AP＝ ，
∴OP＝OF＝3+ ＝ ，
∴G（ ， ）；
∵点H与点G关于点Q（2， ）对称，
∴H（ ， ）；
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴y＝ x+3；
设直线AC′的解析式为y＝mx+n，
则 ，解得 ，
∴y＝﹣7x+3，
综上所述，直线AC的解析式为y＝ x+3或y＝﹣7x+3．（3）存在，如图3，平行四边形AMBN以AB为对角线，
延长ED交y轴于点R，设OD＝r，
由折叠得，∠AED＝∠AOD＝90°，ED＝OD，
∴ED＝r，ED⊥AB；
∵AB＝ ＝5，AE＝AO＝3，
∴BE＝5﹣3＝2，
∵S△AOB ＝ ×3×4＝6，且S△AOD +S△ABD ＝S△AOB ，
∴ ×3r+ ×5r＝6，
解得r＝ ，
∴ED＝OD＝ ，
∴D（ ，0）；
∵∠DOR＝∠DEB＝90°，∠ODR＝∠EDB，
∴△ODR≌△EDB（ASA），
∴RO＝BE＝2，
∴R（0，﹣2），
设直线DE的解析式为y＝px﹣2，
则 p﹣2＝0，解得p＝ ，
∴y＝ x﹣2；
∵点N在x轴上，且AM∥BN，
∴AM∥x轴，
∴点M与点A的纵坐标相等，都等于3，
当y＝3时，由 x﹣2＝3，得x＝ ，
∴M（ ，3），∵BN＝AM＝ ，
∴ON＝4﹣ ＝ ，
∴N（ ，0）；
如图4，平行四边形ABNM以AB为一边，则AM∥x轴，且AM＝BN＝ ．
∵ON＝4+ ＝ ，
∴N（ ，0），
综上所述，点N的坐标为（ ，0）或（ ，0）．8．直角坐标系中，点A的坐标为（9，4），AB⊥x轴于点B，AC垂直y轴于点C，点D为x轴上的一个动
点，若CD＝2 ．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）翻折四边形ACOB，使点C与点D重合，直接写出折痕所在直线的解析式；
（3）在线段AB上找点E使∠DCE＝45°．
①直接写出点E的坐标；
②点M在线段AC上，点N在线段CE上，直接写出当△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形时
点M的坐标．
解：（1）如图1，∵点A的坐标为（9，4），AC⊥y轴于点C，
∴OC＝4，
∵点D为x轴上的一个动点，CD＝2 ，
由勾股定理得：OD＝ ＝ ＝2，
∴D（2，0）或（﹣2，0）；
（2）分两种情况：
①当D（2，0）时，如图2，连接ED，
设ED＝x，
由翻折得CD⊥EF，CE＝ED＝x，
∴OE＝4﹣x，
Rt△OED中，由勾股定理得：x2＝22+（4﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴OE＝4﹣ ＝ ，
∵∠OCD+∠CEF＝∠OCD+∠CDO＝90°，
∴∠CEF＝∠CDO，
∵∠ECF＝∠COD＝90°，
∴△FCE∽△COD，∴ ，即 ，
∴FC＝5，
∴F（5，4），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线EF的解析式为：y＝ ；
②当D（﹣2，0）时，如图3，连接ED，
同理得：E（0， ），
∵△DOC∽△EOF，
∴ ＝ ，
∴OF＝2OE＝3，
∴F（3，0），
同理得EF：y＝﹣ x+ ，
综上，折痕所在直线的解析式是y＝ 或y＝﹣ x+ ；
（3）①当D（2，0）时，如图4，过E作EF⊥CD，交CD的延长线于F，过F作FH⊥y轴于H，延长
AB，HF交于点G，∵∠DCE＝45°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴CF＝EF，
∵∠HCF+∠CFH＝∠CFH+∠EFG＝90°，
∴∠HCF＝∠EFG，
∵∠CHF＝∠FGE＝90°，
∴△CHF≌△FGE（AAS），
∴CH＝FG，
∵OD∥FH，
∴ ，即 ，
∴ ，
设FH＝a，则CH＝FG＝2a，
∵GH＝OB＝9，
即2a+a＝9，
∴a＝3，
∴CF＝ ＝3 ，
∴CE＝ CF＝3 ，
Rt△ACE中，AE＝ ＝ ＝3，
∴BE＝4﹣3＝1，
∴E（9，1）；
当D（﹣2，0）时，如图5，∠DCB＞90°，此种情况不存在符合条件的点E，综上，点E的坐标是（9，1）；
②i）当∠CMN＝90°，MN＝EN时，如图6，
由①知：AE＝3，
∵MN∥AE，
∴ ，即 ，
∴ ，
设MN＝b，则CM＝3b，EN＝b，
∴CN＝ b，
∵CE＝3 ，
∴3 ＝b+ b，
解得：b＝ ，
∴CM＝3b＝10﹣ ，
∴M（10﹣ ，4）；
ii）当∠CNM＝90°，MN＝EN时，如图7，∵∠CNM＝∠CAE＝90°，∠MCN＝∠ACE，
∴△MCN∽△ECA，
∴ ＝3，
设MN＝m，则CN＝3n，EN＝n，
∴CE＝3n+n＝3 ，
∴n＝ ，
∴CM＝ n＝ ，
∴M（ ，4）；
综上，点M的坐标是（10﹣ ，4）或（ ，4）．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C
作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE．
（1）直接写出E点的坐标；
（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；
（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵CD⊥x轴，
∴∠CDF＝90°＝∠EOF，
又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，
∴△CDF≌△EOF（AAS），
∴CD＝OE，
又∵A（0，4），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵点C为AB的中点，CD∥y轴，
∴CD＝ OA＝2，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2）；
（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∵C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），
∴C（3，2），
∴ ，
解得 ，
∴直线CE的解析式为y＝ x﹣2，
∵BG∥CE，∴设直线BG的解析式为y＝ x+m，
∴ ×6+m＝0，
∴m＝﹣8，
∴G点的坐标为（0，﹣8），
∴AG＝12，
∴S四边形ECBG ＝S△ABG ﹣S△ACE
＝ ×AE×OD
＝ ×6×3
＝27．
（3）直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，分两种情况：
如图1，当点Q在x轴的上方时，∠ABQ＝45°，
过点A作AM⊥AB，交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
则△ABM为等腰直角三角形，
∴AM＝AB，
∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAM＝∠ABO，
∵∠AHM＝∠AOB＝90°，∴△AMH≌△BAO（AAS），
∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，
∴M（4，10），
∵B（0，6），
∴直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，
∵C（3，2），CD∥y轴，
∴C点的横坐标为3，
∴y＝﹣5×3+30＝15，
∴Q（3，15）．
如图2，当点Q在x轴下方时，∠ABQ＝45°，
过点A作AN⊥AB，交BQ于点N，过点N作NG⊥y轴于点G，
同理可得△ANG≌△BAO，
∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，
∴N（﹣4，﹣2），
∴直线BN的解析式为y＝ x﹣ ，
∴Q（3，﹣ ）．
综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3，﹣ ）．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C
两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如图1，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴
于点M，求点M的坐标．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．
过点A作AE⊥OB于E，如图1，
∵A（﹣6，6），
∴△AEO是等腰直角三角形，
∠AOB＝45°，
∴∠BAO＝67.5°＝∠ABC，
∴OA＝OB．
（2）设OM＝x，
当点C在点D右侧时，如图2，连接CM，过点A作AE⊥y轴于点E，
由∠BAM＝∠DAE＝90°，
可知：∠BAD＝∠MAE；
∴在△BAD和△MAE中，
，
∴△BAD≌△MAE．
∴BD＝EM＝6﹣x．
又∵AC＝AC，∠BAC＝∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC＝CM＝8﹣x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2＝CM2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
∴M点坐标为（0，3）．
当点C在点D左侧时，如图3，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD＝FM＝6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC＝CM＝4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2＝CM2，即82+x2＝（4+x）2，
解得：x＝6，
∴M点坐标为（0，﹣6）．
综上，M的坐标为（0，3）或（0，﹣6）．11．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作
AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA
模型应用：如图2，已知直线l ：y＝ x+4与y轴交于A点，将直线l 绕着A点顺时针旋转45°至l ．
1 1 2
（1）在直线l 上求点C，使△ABC为直角三角形；
2
（2）求l 的函数解析式；
2
（3）在直线l 、l 分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写
1 2
出点Q的坐标．
（1）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l 于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2①，
2
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
∵△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线l ：y＝ x+4，
1
∴A（0，4），B（﹣3，0），
①当∠ABC＝90°时，
∵△CDB≌△BAO，
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，3）；
②当∠ACB＝90°时，如图2②，
同理：△CDB≌△AEC，
∴AE＝CD，BD＝CE，
∴AE＝OA﹣BD＝OB+BD，即4﹣BD＝3+BD，
∴BD＝ ，
∴OD＝CD＝3.5
∴C（﹣3.5，3.5），
综上，在直线l 点C的坐标为（﹣7，3）或（﹣3.5，3.5）时，△ABC为直角三角形；
2
（2）设l 的解析式为y＝kx+b（k≠0），
2
∵A（0，4），C（﹣7，3）；
∴ ，
∴ ，
∴l 的解析式：y＝ x+4；
2
（3）如图2，①当AO为边时，
∵A（0，4），
∴OA＝4，设Q 的横坐标为x，
1
则Q （x， x+4），P（x， x+4），
1
∵四边形AOPQ是平行四边形，
∴PQ ＝OA＝4，
1
即 x+4﹣（ x+4）＝4，或 x+4﹣（ x+4）＝4，解得x＝﹣ 或
∴Q （﹣ ， ）或（ ， ）．
1
②当AO为对角线时，Q 与Q 重合．
3 2
综上，存在符合条件的平行四边形，且Q点的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M作直线AB，交x轴负半轴于点A，交y轴
负半轴于点B（0，m）．
（1）如图1，当m＝﹣6时．
i）求直线AB的函数表达式；
ii）过点A作y轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN，MN，若S△MBN ＝ S△ABO ，求满足条件的点N的坐标．
（2）如图2，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后，交x轴正半轴于点C，过点C作CD⊥BC，交直线
AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变
化，请说明理由．
解：（1）i）、∵m＝﹣6，
∴B（0，﹣6），
∴设直线AB的表达式为y＝kx﹣6，
∵点M（﹣2，﹣2）在直线AB上，
∴﹣2＝﹣2k﹣6，
∴k＝﹣2，
∴直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6；
ii）、如图1，由i）知，直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6，
令y＝0，则﹣2x﹣6＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴直线l为x＝﹣3，
∴设N（﹣3，t），
∴AN＝|t|，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣6），
∴OA＝3，OB＝6，
∴S△AOB ＝ OA•OB＝ ×3×6＝9，∵S△MBN ＝ S△ABO ，
∴S△MBN ＝ S△ABO ＝ ，
过点M作MF⊥AN于F，过点B作ME⊥AN于E，
∴MF＝1，BE＝3，
∴S△MBN ＝S△BAN ﹣S△AMN ＝ AN•BE﹣ AN•FM＝ （BE﹣MF）＝ |t|（3﹣1）＝|t|＝ ，∴t＝±
，
∴N（﹣3， ）或（﹣3，﹣ ）；
（2）如图2，
∵∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝45°＝∠ABC，
∴CD＝CB，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵M（﹣2，﹣2），B（0，m），
∴直线AB的表达式为y＝ x+m，
设点C（a，0），分别过点D，B作y轴的垂线，过点C作x的垂线，交前两条直线和y轴于点G，H，
L，
则∠H＝∠G＝∠OCH＝∠OBH＝90°，
∴四边形OBHC是矩形，
∴OC＝BH，
∵∠G＝∠BCD＝90°，
∴∠CDG+∠DCG＝∠DCG+∠BCH＝90°，
∴∠CDG＝∠BCH，
∴△DCG≌△CBH（AAS），
∴BH＝OC＝CG＝|a|，CH＝DG＝|m|，
∴D（m+a，a），∴a＝ •（m+a）+m，
∴m2+ma+4m＝0，
∵m≠0，
∴m+a＝﹣4，
即点D的横坐标为﹣4，保持不变．
13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线y＝3交于点C，点D
为直线y＝3上点C右侧的一点．
（1）如图1，若△ACD的面积为6，则点D的坐标为 （ ， 3 ） ；
（2）如图2，当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AD上一点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于
m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．解：（1）如图1，对于直线y＝﹣2x﹣4，当y＝0时，由﹣2x﹣4＝0得，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
当y＝3时，由﹣2x﹣4＝3得，x＝﹣ ，
∴C（﹣ ，3），
设D（r，3），
∵点D在点C右侧，
∴CD＝r+ ，
由题意，得 ×3（r+ ）＝6，
解得，r＝ ，
∴D（ ，3），
故答案为：D（ ，3）．
（2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，过点G作MN⊥x轴于点N，交直线y＝3于点M，则∠AGD＝
∠GNA＝90°，
∵直线y＝3与x轴平行，
∴∠DMG＝180°﹣∠GNA＝90°＝∠GNA，
∵∠GAD＝45°，
∴∠GDA＝45°＝∠GAD，∴DG＝GA，
∵∠DGM＝90°﹣∠AGN＝∠GAN，
∴△DGM≌△GAN（AAS），
∴GM＝AN，DM＝GN，
设AN＝t，则N（﹣2﹣t，0），
∵点G在直线y＝﹣2x﹣4上，
∴y ＝﹣2（﹣2﹣t）﹣4＝2t，
G
∴G（﹣2﹣t，2t），
∵M（﹣2﹣t，3），
∴GM＝3﹣2t，
由GM＝AN得，3﹣2t＝t，解得t＝1，
∴N（﹣3，0），M（﹣3，3），
∵DM＝GN＝2t＝2，
∴D（﹣1，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴y＝3x+6．
（3）由（1）、（2）得，C（﹣ ，3），D（﹣1，3），
∴CD＝﹣1﹣（﹣ ）＝ ，
∴S△ACD ＝ × ×3＝ ，
过点E作直线y＝3的垂线，垂足为点F，
∵点E在直线y＝3x+6上，且点E的横坐标为m，
∴E（m，3m+6），
如图3，点E在线段AD上，则﹣2＜m≤﹣1，
此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，
由S△ACE ＝S△ACD ﹣S△ECD 得，
S＝ ﹣ × （﹣3m﹣3）＝ m+ ；
如图4，点E在线段AD的延长线上，则m＞﹣1，此时，EF＝3m+6﹣3＝3m+3，
由S△ACE ＝S△ACD +S△ECD 得，
S＝ + × （3m+3）＝ m+ ，
∴当m＞﹣2时，S＝ m+ ；
如图5，点E在线段DA的延长线上，则m＜﹣2，
此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，
由S△ACE ＝S△ECD ﹣S△ACD 得，
S＝ × （﹣3m﹣3）﹣ ＝﹣ m﹣ ，
综上所述， ．14．（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、
DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，
并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且
∠CAB＝45°，求点D的坐标．
（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD （SAS），
∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．
∴∠AEB+∠DEC＝90°．
∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°．
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，
则∠AHC＝90°．
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO＝CH，OB＝HA，
∵A（2，0），B（0，3），
∴AO＝2，OB＝3，
∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，
∴OH＝OA+AH＝5，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，
把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），
∴OA＝2，
把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵AO⊥OB，EF⊥BD，
∴∠AOB＝∠BFE＝90°，
∵AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，
又∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠EBF，
在△AOB和△BFE中，
，
∴△AOB≌△BFE（AAS），
∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，
∴OF＝3，
∴点E的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+2，
令y＝0，解得x＝6，
∴D（6，0）．
15．【模型建立】：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A
作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】：（2）如图②，已知直线l ：y＝﹣2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l 绕
1 1点A顺时针旋转45°至直线l ，求直线l 的函数表达式；
2 2
（3）如图③，平面直角坐标系内有一点B（﹣4，﹣6），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点
C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为
等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
∵BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）解：如图②，作BF⊥AB交直线l 于点F，作FE⊥x轴于点E，
2
∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，
∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
由旋转得∠BAF＝45°，
∴∠BFA＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AB，
∴△BEF≌△AOB（AAS），
直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，则﹣2x+4＝0，
解得x＝2；
当x＝0时，y＝4，
∴A（2，0），B（0，4），∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝4，
∴OE＝OB+EB＝6，
∴F（4，6），
设直线l 的函数表达式为y＝kx+b，
2
把A（2，0），F（4，6）代入y＝kx+b，
得 ，解得
∴直线l 的函数表达式为y＝3x﹣6．
2
（3）解：△CPD能成为等腰直角三角形，
∵B（﹣4，﹣6），BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，
∴A（﹣4，0），C（0，﹣6），四边形OABC为矩形，
设P（﹣4，m），
如图③，∠PDC＝90°，则PD＝DC，
过点D作DH⊥y轴于点H，交AB的延长线于点G，
∵∠G＝∠ABC＝90°，∠DHC＝90°，
∴∠G＝∠DHC，
∴∠PDG＝∠DCH＝90°﹣∠CDH，
∴△PDG≌△DCH（AAS），
∴DG＝CH＝BG，PG＝DH，
∵BP＝m﹣（﹣6）＝m+6，
∴m+6+DG＝4﹣DG，
∴DG＝BG＝ ，
∴x ＝﹣4+ ＝ ，y ＝﹣6﹣ ＝ ，
D D
将D（ ， ）代入y＝3x+3，
得 ＝3× +3，
解得m＝﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣ ）；如图④，∠PCD＝90°，则CD＝PC，
∵作DJ⊥y轴于点J，PI⊥y轴于点I，
∵∠DJC＝∠CIP＝90°，
∴∠DCJ＝∠CPI＝90°﹣∠PCI，
∴△DCJ≌△CPI（AAS），
∴CJ＝PI＝4，DJ＝CI＝BP＝m+6，
∴OJ＝6+4＝10，
∴D（﹣m﹣6，﹣10），
将D（﹣m﹣6，﹣10）代入y＝3x+3，
得过且过﹣10＝3（﹣m﹣6）+3，
解得m＝﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣10）；
如图⑤，∠CPD＝90°，且点D在PC上方，则DP＝PC，
作DK⊥AB交射线BA于点K，
∵∠K＝∠B＝90°，
∴∠PDK＝∠CPB＝90°﹣∠DPK，
∴△PDK≌△CPB（AAS），
∴KP＝BC＝4，KD＝BP＝m+6，
∴x ＝﹣4+m+6＝m+2，y ＝m+4，
D D
∴D（m+2，m+4），
将D（m+2，m+4）代入y＝3x+3，
得m+4＝3（m+2）+3，
解得m＝﹣ ，
∴D（﹣ ， ），
∵D（﹣ ， ）不在第三象限，
∴D（﹣ ， ）不符合题意，舍去；
如图⑥，∠CPD＝90°，且点D在PC下方，则DP＝PC，作DL⊥AB交AB的延长线于点L，则∠DLP＝∠PBC，
∴∠DPL＝∠PCB＝90°﹣∠BPC，
∴△PDL≌△CPB（AAS），
∴LP＝BC＝4，LD＝BP＝m+6，
∴x ＝﹣4﹣（m+6）＝﹣10﹣m，y ＝m﹣4，
D D
∴D（﹣10﹣m，m﹣4），
将D（﹣10﹣m，m﹣4）代入y＝3x+3，
得m﹣4＝3（﹣10﹣m）+3，
解得m＝﹣ ，
D（﹣ ，﹣ ），
综上所述，点D的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
