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模型介绍
线段分三角形面积问题.
当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.
如图 当S ∶S ＝m∶n时，则＝.
△ABD △ADC
例题精讲
【例1】．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则
图中阴影部分的面积是 ．
变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC ＝8cm2，则S△BEF
的面积是（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝
x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝ ．
【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰
好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝ ．
变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点
E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．
【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那
么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？
【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是
O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．
若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．18cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm2
2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y
＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于
点H．
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；
③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC
的面积为 ．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣
1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把
正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝ ．
7．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形
ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积
相等的两部分，则这样线段的最小值是 ．
9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分
成面积相等的两部分，那么b＝ ．
10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积
为2，求：△CDF的面积．
11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点
的坐标是（1，0）．
（1）直线y＝ x 经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l 经过点F（﹣ ，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移 个单
1
位交轴x于点M，交直线l 于点N，求△NMF的面积．
1
12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x轴上．点M
（0，2）．（1）点P是直线OB 上的动点，求PM+PC最小值．
（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．
①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．
②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．
14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x ，0），交y轴于C．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部
分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得
△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合，
边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长
的速度匀速运动，点 Q从点 B出发沿 BA方向以每秒 5个单位长的速度匀速运动，过点 Q作射线
QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形
DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值
范围）；
（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；
（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．
16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c的图象经过
点A（m，0），B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面
积；
（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积
相等的两部分，求P点的坐标．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．
如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明： ＝ ．
【结论应用】如图2，△CDE的面积为1， ＝ ， ＝ ，求△ABC的面积．
【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝ ．
【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝ AB），N是BC的中点，若△ABC的面
积是1，请直接写出四边形BMDN的面积 ．
18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两
个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的
面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的
两部分，求P点的坐标．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同
的点A（x ，y ）、B（x ，y ），则线段AB的中点坐标可以表示为（ ， ）．
A A B B【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L
将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的
中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD ＝S△BCD ．试说明AO＝CO；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好
平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
