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模型介绍
线段分三角形面积问题.
当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.
如图 当S ∶S ＝m∶n时，则＝.
△ABD △ADC
例题精讲
【例1】．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则
图中阴影部分的面积是 4 ．
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，
∴AE＝CE，
∴S△CGE ＝S△AGE ＝ S△ACF ，S△BGF ＝S△BGD ＝ S△BCF ，∵S△ACF ＝S△BCF ＝ S△ABC ＝ ×12＝6，
∴S△CGE ＝ S△ACF ＝ ×6＝2，S△BGF ＝ S△BCF ＝ ×6＝2，
∴S阴影 ＝S△CGE +S△BGF ＝4．
故答案为：4．
变式训练
【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC ＝8cm2，则S△BEF
的面积是（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ，
∵E是AD的中点，
∴S△ABE ＝S△BDE ＝ S△ABD ，S△AEC ＝S△CDE ＝ S△ADC ，
∵F是EC的中点，
∴S△BEF ＝S△BCF ＝ S△BCE ，
∵S△ABC ＝8cm2，
∴S△BCE ＝4cm2，
∴S△BCF ＝2cm2， 故选：C．【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝
x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝ ﹣ ．
解：连接AC、BO，交于D．
∵平行四边形OCBA，
∴BC∥OA，DB＝OD，DC＝DA，
∴∠MCD＝∠DAN，∠CMD＝∠DNA，
∴△CMD≌△AND，
同理△BMD≌△OND，
∴过D的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分．
过D作DF⊥x轴于F，过B作BE⊥x轴于E．
∵平行四边形OCBA，B（17，6），C（5，6），
∴DO＝BD，DF∥BE，
∴OF＝EF，
∴DF＝3，OF＝ ×17＝8.5，
∴D（8.5，3），
代入y＝ x+b得：3＝ ×8.5+b，
∴b＝﹣ ，故答案为：﹣ ．
【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰
好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝ 5 ．
解：∵直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分
∴直线y＝﹣x+b要经过矩形的中心
∵矩形的中心为（3，2）
∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5．
变式训练
【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点
E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2 ．
解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3 ＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那
么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？
解：①如图，过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DM⊥BC于M，
∵D是AB的中点，DM∥AQ，
∴M是BQ的中点，
∴DM＝ AQ，
∴三角形ABC的面积是＝ BC×AQ＝1，
∴BC×AQ＝2，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝ BC，
∴三角形DEF的面积为＝ DE×DM＝ × ×BC× ×AQ＝ ；
②∵DE＝ ，FG＝ ，∴ ＝ ，
∴三角形DOE面积＝三角形DEF面积× ＝ ．
【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是
O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．
若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．
解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，
∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．
∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，
∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，
∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分
又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，
∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
∴直线MN即为所求的直线L，
设直线l的解析式为y＝kx+b，
则2k+b＝3，5k+b＝2，
解得k＝ ，b＝ ，
因此所求直线l的函数表达式是：y＝﹣ x+ ．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．18cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm2
解：设长方形ABCD中，AD＝a，AB＝b，
则AE＝ b＝GC，BF＝ a，
∴S阴 ＝S长方形ABCD ﹣S△AEH ﹣S△HFC ﹣S△HCG ，
＝36﹣ AE•AH﹣ FC•AB﹣ HD•CG，
＝36﹣ AD•AE﹣ FC•AB，
＝36﹣ ab，
＝18cm2．
故选：A．2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y
＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），
∴梯形的面积为： ＝8，
∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，
∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，
设直线与x轴交于点（x，0），
∴ （x+1）×2＝4，
∴x＝3，
∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）
∴0＝3k+2
解得k＝﹣
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于
点H．
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；
③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（ ）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
解：∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，
故①符合题意；
若AF＝FB，则F是AB的中点，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴BC＝AC与BC＞AC矛盾，
故②不符合题意；
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAG+∠CAD＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠FAG＝∠ACD，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACD＝2∠ADF，
∴∠FAG＝2∠ACF，
故③符合题意；
故选：A．
4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC
的面积为 1 6 ．
解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE ＝ S△ABD ，S△ACE ＝ S△ADC ，
∴S△ABE +S△ACE ＝ S△ABC ，
∴S△BCE ＝ S△ABC ，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF ＝ S△BCE ，
∴S△ABC ＝4S△BEF ＝4×4＝16．
故答案为：16．
5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣
1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．
解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵C（10，4），
∴AF＝10，CF＝4，…（2分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AM＝CM，即 ＝ ，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠MEA＝∠CFA＝90°，
∴ME∥CF，∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC，
∴△AME∽△ACF，
∴ ＝ ＝ ，即E为AF的中点，
∴ME为△AFC的中位线，…（4分）
∴AE＝ AF＝5，ME＝ CF＝2，
∴M（5，2），…（6分）
∵直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y＝ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）
将M（5，2）代入y＝ax﹣2a﹣1得：a＝1．…（9分）
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把
正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝ 2 ．
解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分
∴直线必经过正方形的中心
∵点B的坐标为（4，4）
∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2
7．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形
ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 1 ．
解：∵点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵直线y＝mx﹣3m﹣1四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y＝mx﹣3m﹣1过矩形的对角线的交点，
而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3），
∴7m﹣3m﹣1＝3，∴m＝1．
故答案为：1．
8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积
相等的两部分，则这样线段的最小值是 2 ．
解：∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
过D作DF⊥AC于F，设DF＝x，则 ＝ ，
∴AF＝ x，
∵S△ADE ＝ x•AE＝ S△ABC ＝15，
∴AE＝ ，EF＝ ﹣ x，
∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（ ﹣ x）2＝ x2+ ﹣144＝（ x﹣ ）2+12≥12，
故可得DE2最小值是12，
∴DE最小值为2 ．
故答案为：2 ．
9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分
成面积相等的两部分，那么b＝ ．解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），
直线y＝ x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，
将（7.5，3）代入直线y＝ x+b得：
3＝ ×7.5+b，
解得：b＝ ．
故答案为： ．
10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积
为2，求：△CDF的面积．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ACD ＝ S△ABC ＝ ×2＝1，
∵CD是△ACE的中线，
∴S△CDE ＝S△ACD ＝1，
∵DF是△CDE的中线，∴S△CDF ＝ S△CDE ＝ ×1＝ ．
∴△CDF的面积为 ．
11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点
的坐标是（1，0）．
（1）直线y＝ x 经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l 经过点F（﹣ ，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移 个单
1位交轴x于点M，交直线l 于点N，求△NMF的面积．
1
解：（1）在y＝ x 中，
令y＝4，即 x ＝4，
解得：x＝5，则B的坐标是（5，0）；
令y＝0，即 x ＝0，
解得：x＝2，则E的坐标是（2，0）．
则OB＝5，OE＝2，BE＝OB﹣OA＝5﹣2＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣3＝1，
S四边形AECD ＝ （AE+CD）•AD＝ （4+1）×4＝10；
（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF＝AE＝1，
则F的坐标是（4，4）．
设直线的解析式是y＝kx+b，则
，
解得： ．
则直线l的解析式是：y＝2x﹣4；
（3）∵直线l 经过点F（﹣ ，0）且与直线y＝3x平行，
1
设直线l 的解析式是y ＝kx+b，
1 1则：k＝3，
代入得：0＝3×（﹣ ）+b，
解得：b＝ ，
∴y ＝3x+ ，
1
已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移 个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x﹣4+ ，
即：y＝2x﹣3 ，
当y＝0时，x＝ ，
∴M（ ，0），
解方程组 得： ，
即：N（﹣7 ，﹣19），
S△NMF ＝ ×[ ﹣（﹣ ）]×|﹣19|＝ ．
答：△NMF的面积是 ．
12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）在y＝2x+4中，分别令y＝0和x＝0来得到：A（﹣2，0）、B（0，4）、
D点是因为旋转，OD＝OB，所以，D点（4，0）；
C点也是因为旋转，OA＝OC，所以，C点（0，2）；
设经过A、B、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
则有：4a﹣2b+c＝0①，c＝4②，16a+4b+c＝0③（3分）
解①②③得： ，b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为： ．（4分）
（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）
易知经过C、E的直线为y＝﹣x+2，（6分）
于是可设点P的坐标为P（m，﹣m+2）；
将P（m，﹣m+2）代入
得： ，（7分）
整理，得：m2﹣4m﹣4＝0，
解得： ， ；
所以满足条件的点P有两个：P （2+2 ，﹣2 ）， ．（9分）
113．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x轴上．点M
（0，2）．
（1）点P是直线OB 上的动点，求PM+PC最小值．
（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．
①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．
②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．
解：（1）由已知，OA＝OC＝ ，连接AC、AM，如图1所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴PC＝PA，
∴PC+PM＝PM+PA≤AM，
即PC+PM≤ ＝ ＝3．
（2）∵y＝kx+b为y＝﹣x﹣1平移得来的，
∴k＝﹣1．
①依照题意画出图形，如图2所示．结合函数图象可知，当点O在直线y＝﹣x+b上时，b最小，此时b＝0；
当点C在直线y＝﹣x+b上时，b值最大，
∵点C（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得：b＝3．
故0≤b≤3．
②连接AC、OB，设AC与OB的交点为D，当直线y＝﹣x+b过点D时，直线y＝﹣x+b将四边形OABC
分成面积相等的两部分，如图3所示．
∵OA＝OC＝ ，
∴点A（ ，0）．
∵四边形OABC为菱形，C（1，2），A（ ，0），
∴点D（ ，1）．
∵直线y＝﹣x+b过点D，
∴1＝﹣ +b，解得：b＝ ．
∴当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝ ．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x ，0），交y轴于C．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部
分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得
△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），A（﹣1，0），
∴ ，
解得a＝1，b＝﹣2，
所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线y＝kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，
A（﹣1，0），B（3，0），
E（ ），F（ ）；
S四边形ACFE ＝ （CF+AE）•OC＝ （1 ）；
S四边形EFDB ＝ （DF+BE）•OC＝ （5 ）；
即（1 ）＝（5 ），k＝ ．
（3）存在点P．直线y＝m与y轴交点为F（0，m），
①当DE为腰时，分别过D、E作DP ⊥x轴于P ，
1 1
作EP ⊥x轴于P ；如图，
2 2
则△DP E和△DEP 均为等腰直角三角形，
1 2
又DP ＝DE＝EP ＝OF＝﹣m，又AB＝x ﹣x ＝3+1＝4，
1 2 B A
又△ECD∽△BCA，即 ，
即m＝ ；P （ ，0），P （ ，0）；
1 2
②当DE为底时，过P 作GP ⊥DE于G，如图，
3 3
又DG＝GE＝GP ＝OF＝﹣m，由△ECD∽△BCA， ，
3
即m＝ ；P （ ，0）
3
综上所述，P （ ，0），P （ ，0），P （ ，0）．
1 2 315．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合，
边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长
的速度匀速运动，点 Q从点 B出发沿 BA方向以每秒 5个单位长的速度匀速运动，过点 Q作射线
QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形
DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）求线段DF的长；
（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值
范围）；
（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；
（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD＝12，CF＝16，
根据勾股定理：
DF＝ ＝20；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，
∴BC＝ ＝40，
根据题意得：当t＝ ＝10时，停止运动；
如图2：当点E在AB上时，
∵∠C＝90°，∠EFG＝90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BF：BC，
∴12：30＝BF：40，
∴BF＝16，
∴CG＝BC﹣BF﹣GF＝40﹣16﹣16＝8，
此时，t＝8÷4＝2；
如图3：当F与B重合时，
CG＝BC﹣BG＝40﹣16＝24，
此时，t＝24÷4＝6，
∵tan∠ABC＝ ＝ ，tan∠GBD＝ ＝ ，
∴此时，点D在直线AB上；
①当0＜t≤2时，s＝S矩形DEFG ＝12×16＝192，
②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N∵BF＝24﹣4t tanB＝
∴MF＝ （24﹣4t）＝18﹣3t，
∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18﹣3t）＝3t﹣6，
∴NE＝ EM＝4t﹣8，
∴s＝S矩形DEFG ﹣S△EMN ＝192﹣ EM•EN＝192﹣6（t﹣2）2，
③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG＝40﹣4t，
则MG＝ BG＝30﹣3t，
则s＝S△BMG ＝ BG•MG＝ ×（40﹣4t）（30﹣3t）＝6（10﹣t）2；
（3）能，
如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；
∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF＝ ＝ ＝ ，tan∠B＝ ＝ ，
∴∠GFD＝∠B，
∴DF∥AB，
∴ ，
∵DF＝20，
∴OF＝10，
∵BF＝24﹣4t，HF＝ ＝ ，QB＝5t，
∴BH＝BF+FH＝24﹣4t+ ，
∴ ，
解得：t＝ ；（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，
∵∠GMD+∠B＝90°，∠GMD+∠GDM＝90°，
∴∠GDM＝∠B，
∴GM＝GD•tan∠GDM＝ ×12＝9，
∴DM＝ ＝15，
∵BG＝40﹣4t，
∴BM＝BG+GM＝40﹣4t+9＝49﹣4t，
∴MN＝BM•cos∠B＝ （49﹣4t），
∴DN＝MN﹣DM＝ （49﹣4t）﹣15，
∵QH＝ QB＝ ×5t＝ t，
∵DH∥AB，
∴QH＝DN，
则 t＝ （49﹣4t）﹣15，
解得t＝ ．
故t值为 ．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c的图象经过
点A（m，0），B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面
积；
（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积
相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）由方程x2﹣6x+5＝0得x ＝1，x ＝5，
1 2
∵m＜n，
∴m＝1，n＝5，
∴A（1，0），B（0，5）．
把A（1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），
过D作DE⊥x轴于E，
∵易得E（﹣2，0）．
∴S△BCD ＝S△CDE +S梯形OBDE ﹣S△OBC ＝ ；
（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，
须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点 在直线BC上．
∵易得直线BC的解析式为y＝x+5，
∴ ，
解得a ＝﹣1，a ＝﹣5（不合题意，舍去），
1 2
∴P点坐标为（﹣1，0）．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．
如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明： ＝ ．
【结论应用】如图2，△CDE的面积为1， ＝ ， ＝ ，求△ABC的面积．
【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：
＝ ．
【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝ AB），N是BC的中点，若△ABC的面
积是1，请直接写出四边形BMDN的面积 ．
解：【经验发展】如图1，过C作CH⊥AB于H，
∵S△ACM ＝ AM×CH，S△BCM ＝ BM×CH，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ．【结论应用】如图2，连接AE，
∵ ＝ ，
∴S△CDE ＝ S△ACE ，
又∵ ＝ ，
∴S△ACE ＝ S△ABC ，
∴S△CDE ＝ × S△ABC ＝ S△ABC ，
又∵△CDE的面积为1，
∴△ABC的面积12．
【拓展延伸】如图3，∵M是AB上任意一点，
∴ ＝ ，
∵D是CM上任意一点，
∴S△ACD ＝ ×S△ACM ，S△BCD ＝ ×S△BCM ，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ．【迁移应用】如图4，连接BD，
∵M是AB的三等分点（AM＝ AB），
∴ ＝ ，
∵N是BC的中点，
∴ ＝ ＝1，
设S△ADM ＝a，则S△BDM ＝2a，S△ACD ＝3a，S△CDN ＝S△BDN ＝ S△BCD ＝3a，
∴S四边形BMDN ＝5a，S△ABC ＝12a，
∴S四边形BMDN ＝ S△ABC ＝ ×1＝ ．
故答案为： ．
18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两
个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的
面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．
解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，
得x ＝5，x ＝1，
1 2
由m＜n，知m＝1，n＝5，
∴A（1，0），B（0，5），
∴
即 ；
所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．
（2）由﹣x2﹣4x+5＝0，
得x ＝﹣5，x ＝1，
1 2
故C的坐标为（﹣5，0），
由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；
过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），
∴S△BCD ＝S△CDE +S梯形OBDE ﹣S△OBC ＝ ＝15．
（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD ＝S△CFD ﹣S△CFB 也可求得）
（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只需BC等分线段PH，亦即PH的中点，
（ ）在直线BC上，
易得直线BC方程为：y＝x+5；∴ ．
解之得a ＝﹣1，a ＝﹣5（舍去），
1 2
故所求P点坐标为（﹣1，0）．
19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同
的点A（x ，y ）、B（x ，y ），则线段AB的中点坐标可以表示为（ ， ）．
A A B B
【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L
将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的
中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD ＝S△BCD ．试说明AO＝CO；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好
平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
解：【简单应用】：∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，
∴直线L必过线段AB的中点，
设线段AB的中点为E，∵A（0，3），B（4，0），
∴E（ ， ），
∴E（2， ），
∵直线L过原点，
∴设直线L的解析式为y＝kx，
∴2k＝ ，
∴k＝ ，
∴直线L的解析式为y＝ x；
【探究升级】：如图2，
过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，
∴S△ABD ＝ BD•AF，S△CBD ＝ BD•CG，
∵S△ABD ＝S△BCD ，
∴ BD•AF＝ BD•CG，
∴AF＝CG，
在△AOF和△COG中， ，
∴△AOF≌△COG（AAS），
∴OA＝OC；
【综合运用】：如图3，
由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，
∵OC恰好平分四边形OACB的面积，
∴OC过四边形OACB的对角线AB的中点，
连接AB，设线段AB的中点为H，
∵A（1，4），B（3，﹣2），∴H（2，1），设直线OC的解析式为y＝k'x，
∴2k'＝1，
∴k'＝ ，
∴直线OC的解析式为y＝ x，
∵点C（2m，﹣m+5）在直线OC上，
∴﹣m+5＝ ×2m，
∴m＝ ，
∴C（5， ）．
