文档内容
模型介绍
方法点拨
知识点1 两直线平行
如图，直线b∥a，那么k =k ，若已知k 及C的坐标即可求出直线b的解析式.
b a a
知识点2 两直线垂直
如图，直线c⊥a，那么k *k =-1，若已知k 及C或B的坐标即可求出直线c的
c a a
解析式.（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例题精讲
考点一：一次函数平行问题
【例 1】．一次函数 y＝kx+b 与 y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式为
．
变式训练
【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x﹣1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是（
）
A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝2x±4 D．y＝x+2
【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝ x+ 平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（﹣
1，﹣20），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有 个．
考点二：一次函数垂直问题
【例2】．已知直线y＝kx+b经过点A（3，8），并与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝ ；b＝ ．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与y
轴交于点C（0，﹣8），与直线AB交于点D，若△AOB∽△CDB，则点D的坐标为 ．【变2-2】．直线y＝kx+b与抛物线y＝ x2交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，当OA⊥OB时，直线AB
1 1 2 2
恒过一个定点，该定点坐标为 ．[提示：直线l ：y＝k x+b 与直线l ：y＝k x+b 互相垂直，则
1 1 1 2 2 2
k •k ＝﹣1]
1 2
考点三：一次函数的面积问题
【例3】．已知一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝ ．
变式训练
【变 3-1】．已知直线 y＝ （n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 S ．则
n
S +S +S +…+S 的值为（ ）
1 2 3 2020
A． B． C． D．
【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图
象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△COP的面积．1．两直线y ＝k x+b 与y ＝k x+b 相交于y轴，则（ ）
1 1 1 2 2 2
A．k ≠k ，b ≠b B．k ≠k ，b ＝b
1 2 1 2 1 2 1 2
C．k ＝k ，b ≠b D．k ＝k ，b ＝b
1 2 1 2 1 2 1 2
2．若直线x+3y+1＝0与ax+y+1＝0互相垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
3．已知一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（ ）
A．两直线交于点（1，0）
B．两直线之间的距离为4个单位
C．两直线与x轴的夹角都是30°
D．两条已知直线与直线y＝x都平行
4．如图，直线l 过原点，直线l 解析式为y＝﹣ x+2，且直线l 和l 互相垂直，那么直线l 解析式为（
1 2 1 2 1
）A．y＝ x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝ x
5．已知直线y＝mx﹣1上有一点B（1，n），它到原点的距离是 ，则此直线与两坐标轴围成的三角形
的面积为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝
．
7．若平行于直线y＝﹣2x的某直线y＝kx+b与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝ ．
8．如图，直线y＝﹣ x+2与x，y轴交于A、B两点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形的对称中
心为点M，若双曲线y＝ （x＞0）恰好过点C、M，则k＝ ．9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若x轴上有一点C，且S△ABC ＝2，求点C的坐标．
10．如图，直线l ：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，
1 2
0），与y轴交于点D（0，2），直线l ，l 交于点E．
1 2
（1）求直线l 的函数表达式．
2
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
111．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C
坐标为（0，﹣4），直角顶点B坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b的图象经过点A、C交x轴于点
D．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．
12．如图，直线l ：y＝x+3分别与直线l ：y＝kx+b（k≠0）、直线l ：y＝k x+b （k ≠0）交于A、B两点，
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直线l 交y轴于点E，直线l 与x轴和y轴分别交于C、D两点，已知点A的纵坐标为 ，B的横坐标为
1 2
1，l ∥l ，OD＝1，连BD．
2 3
（1）求直线l 的解析式；
3
（2）求△ABD的面积．13．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，且
点B的纵坐标为1．
（1）求反比例函数y＝ （x＞0）的表达式；
（2）过点A作x轴的垂线交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点C，平移直线y＝ x﹣2得到过点C
的直线l，l的函数表达式为y＝mx+n，结合函数的图象，求 ＞mx+n对应x的取值范围．
14．已知抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）设C为抛物线上的一定点，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3与抛物线交于点A、B
（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线y＝﹣a，垂足为D，且△CEF为等腰直
角三角形．
①求点C的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥AC．15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k叫直线l的斜率．
性质：直线l ：y＝k x+b ．l ：y＝k x+b （两直线斜率存在且均不为0），若直线l ⊥l ，则k k ＝﹣1
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：若直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；
（2）探究：一直线过点A（2，3），且与直线y＝﹣ x+3互相垂直，求该直线的解析式．
16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出
它们垂直的定义：设一次函数y＝k x+b（k ≠0）的图象为直线l ，一次函数y＝k x+b （k≠0）的图象
1 1 1 2 2
为直线l ，若k •k ＝﹣1，我们就称直线l 与直线l 互相垂直，如直线y＝3x﹣1与直线y＝﹣ x+1，因
2 1 2 1 2
为3×（﹣ ）＝﹣1，所以相互垂直．
根据以上定义内容，解答下面的问题：
（1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝0.5x﹣2垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的坐标系中
画出直线l的图象．
（2）求（1）问中的两条直线与y轴所围的三角形的面积；
（3）已知点A（0，2），点B，C分别是（1）问中直线l和x轴上的动点，求出△ABC周长的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移
2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在该函数的图象上，过A，B两点的直线
与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，4），连接AD，BD，求△ABD的面积．
18．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段
OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）求△OAB的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，
说明理由．19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝ x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点
A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂
线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 ．点E的坐标为
；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出
此时△ADE的面积；若不存在说明理由．20．如图，已知一次函数y ＝kx+b的图象与函数y ＝ （x＞0）的图象交于A（6，﹣ ），B（ ，n）两
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点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y 与y 的解析式；
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（2）观察图象，直接写出y ＜y 时x的取值范围；
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（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），点C是l上方的抛物线上的一动点，
过C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E．连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；
（2）设点C的横坐标为n，△ABC的面积为S，求出S的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出
所有符合条件的P的坐标；若不存在，简要说明理由．
