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例题精讲
【例1】．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，
点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝ （x＞0）
上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，
0）为圆心，半径为1的 C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为 ，则k的值是 ．
⊙
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两
边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是
．
变式训练
【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y＝ 的图
象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 ．【变2-2】．如图，一次函数y ＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y ＝ （k≠0）相交于A（﹣1，2）和B
1 2
（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有
可能的坐标．1．如图，点N是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于
点M，则△OMN面积的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ
＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P
从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别
为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点A是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等
边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的
表达式为 ．5．如图，点P是双曲线C：y＝ （x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝ x﹣2于点Q，
连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是 ．
6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°
得到线段 AC，反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点 C．已知点 P 是反比例函数 y＝
（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB
＝4 的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的
代数式表示）．8．如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以
点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是
．
9．如图，点A是反比例函数y＝ （k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，以AB为直
径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于
点E．记△BDE的面积为S ，△ACE的面积为S ，连接BC，△ACB是 等腰直角 三角形，则若S ﹣
1 2 1
S 的值最大为1，则k的值为 ．
210．如图，正比例函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x
轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x
轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．
11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于
点C，连接BC，若△ABC面积为 2．
（1）求k的值
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．
13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，n），B两点．
（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x
轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（a，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝ （x＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜ 的解集．
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
16．如图，直线OA：y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作轴
的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴
上求一点P，使PA+PB最小．
17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点（A在B的右
侧），点A横坐标为4．
（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣ ＞0的解集；
（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，
求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．反比例函数 （k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，
①求满足条件的点P的坐标；
②求△PAB的面积．
19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝ （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．
20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝
的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是
（m，3）．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．
（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．
21．如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，
过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．
（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．
22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝ 交于点C、D，
且点C坐标为（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．
（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．
