文档内容
模型介绍
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问
题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决
问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动
点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3
可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路
1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．例题精讲
【例1】．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一
点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．
解：∵抛物线y＝﹣ x2+ x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴当y＝0时，0＝﹣ x2+ x+2，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴OB＝4，
当x＝0时，y＝2，
∴OC＝2，
∵点M是第一象限内抛物线上一点，
∴设M（m，﹣ m2+ m+2），
∵MN⊥x轴，
∴ON＝m，MN＝﹣ m2+ m+2，∠ONM＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠ONM，
∵△MON与△BOC相似，
∴ 或 ，∴ ＝ 或 ＝ ，
∴m＝ 或m＝﹣1+ （负值舍去），
∴点M的横坐标为 或﹣1+ ．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y
＝x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐
标．
解：（1）由x＝0得y＝0+4＝4，则点C的坐标为（0，4）；
由y＝0得x+4＝0，解得x＝﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；
把点C（0，4）代入y＝x2+kx+k﹣1，得k﹣1＝4，
解得：k＝5，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，
∴此抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ．
令y＝0得x2+5x+4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣4，
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0）．（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝OC＝4，
∴∠OCA＝∠OAC．
∵∠AOC＝90°，OB＝1，OC＝OA＝4，
∴AC＝ ＝4 ，AB＝OA﹣OB＝4﹣1＝3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CD＝ ，
∴OD＝CD﹣CO＝ ﹣4＝ ，
∴点D的坐标为（0，﹣ ）．
【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标．解：（1）把C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
得c＝3，
∴y＝x2+bx+3，
把A（1，0）代入y＝x2+bx+3，
得1+b+3＝0，
解得b＝﹣4，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．
（2）当点P在点B上方时，如图1，PB＝AB，
∵PB⊥x轴，
∴∠ABP＝90°，
抛物线y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，则x2﹣4x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，PB＝AB＝3﹣1＝2，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠PBC＝∠ABC＝45°，
∵ ＝ ＝1，
∴△PBC∽△ABC，
此时点P的坐标为（3，2）；
如图2，△PBC∽△CBA，且∠CBP＝∠ABC＝45°，∠BCP＝∠BAC，
∴ ＝ ，
∵BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，BA＝2，∴BP＝ ＝ ＝9，
此时点P的坐标为（3，9）；
当点P在点B下方时，∠PBC＝135°，∠BAC＝∠AOC+∠ACO＝90°+∠ACO＜135°，
此时△PBC与△ABC不相似，
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且
过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD ＝ ×OG（x
D
﹣x
P
）＝ （3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+ m+3，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD ＝ ×OM（x
D
﹣x
P
）＝﹣m2+ m+3，综上，S△POD ＝﹣m2+ m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD 有最大值，当m＝ 时，其最大值为 ；
（3）∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝3 ，AC＝ ，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC ＝ ×AH×BC＝ AB×OC，解得：AH＝2 ，
则sin∠ACB＝ ＝ ，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x＝ 或﹣ ，
故点Q（ ，﹣2 ）或（﹣ ，2 ），
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC＝ ＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，﹣3n），
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝ ，
故点Q（ ， ）或（ ， ）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（ ，﹣2 ）或（﹣ ，2 ）或（ ，
）或（ ， ）．
1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物
线与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；
（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．
解：（1）∵将抛物线y＝﹣x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）∠ACB与∠ABD相等，理由如下：
如图，∵y＝﹣x2+2x+3，
∴点x＝0时，y＝3，即C点坐标为（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°．
在△BCD中，∵BC2＝32+32＝18，CD2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝ ＝ ＝ ，
∵在△AOC中，∠AOC＝90°，
∴tan∠ACO＝ ＝ ，
∴tan∠ACO＝tan∠CBD，
∴∠ACO＝∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，
即∠ACB＝∠ABD；
（3）∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴可设P点的坐标为（1，n）．
∵△ABC是锐角三角形，
∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，
∴n＜4，即点P只能在点D的下方，
又∵∠CDP＝∠ABC＝45°，
∴D与B是对应点，分两种情况：
①如果△CDP∽△ABC，那么 ＝ ，
即 ＝ ，
解得n＝ ，∴P点的坐标为（1， ）；
②如果△CDP∽△CBA，那么 ＝ ，
即 ＝ ，
解得n＝ ，
∴P点的坐标为（1， ）．
综上可知P点的坐标为（1， ）或（1， ）．
2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．
此时，A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点
B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC2＝OA•OB＝4，即OC＝2，
∴C（0，2）；
（2）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：
2＝a（0+1）（0﹣4），a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x+1）（x﹣4）＝﹣ x2+ x+2；
（3）存在符合条件的P点，且P（ ，0）或（﹣ ，0）．
根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：
，
解得 ， ，
∴E（6，﹣7），
∴tan∠DBO＝ ＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝ ＝1，即∠EAB＝45°，
∴∠DBA＝∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD＝3 ，EA＝7 ，AB＝5，
由①得： ，即 ，即PB＝ ，OP＝OB﹣PB＝ ，
由②得： ，即 ，即P′B＝ ，OP′＝OB﹣BP′＝﹣ ，
∴P（ ，0）或（﹣ ，0）．
3．如图已知直线 y＝ x+ 与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线 y＝
ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣ ），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；
（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求
N点的坐标．解：（1）将点B（4，m）代入y＝ x+ ，
∴m＝ ，
将点A（﹣1，0），B（4， ），C（0，﹣ ）代入y＝ax2+bx+c，
解得a＝ ，b＝﹣1，c＝﹣ ，
∴函数解析式为y＝ x2﹣x﹣ ；
（2）设P（n， n2﹣n﹣ ），
则经过点P且与直线y＝ x+ 垂直的直线解析式为y＝﹣2x+ n2+n﹣ ，
直线y＝ x+ 与其垂线的交点G（ n2+ n﹣ ， n2+ n+ ），
∴GP＝ （﹣n2+3n+4），
当n＝ 时，GP最大，此时△PAB的面积最大，
∴P（ ，﹣ ），
∵AB＝ ，PG＝ ，
∴△PAB的面积＝ × × ＝ ；
（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），
∴AM＝2 ，AD＝4，MD＝2 ，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∵△QMN与△MAD相似，
∴△QMN是等腰直角三角形，
设N（t， t2﹣t﹣ ）
①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；
②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，
∴△MNS≌△NMS（AAS）
∴t﹣1＝﹣ t2+t+ ，
∴t＝± ，
∴t＞1，
∴t＝ ，
∴N（ ，1﹣ ）；
③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点M作MR∥x轴，与过Q点
的垂线分别交于点S、R；
∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，
∴△MQR≌△QNS（AAS），
∴SQ＝QR＝2，
∴t+2＝1+ t2﹣t﹣ ，
∴t＝5，
∴N（5，6）；
④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，
过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；
∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，
∴△MNR≌△NQS（AAS），
∴SQ＝RN，
∴ t2﹣t﹣ ＝t﹣1，
∴t＝2± ，
∵t＞1，
∴t＝2+ ，
∴N（2+ ，1+ ）；
综上所述：N（3，0）或N（2+ ，1+ ）或N（5，6）或N（ ，1﹣ ）．4．如图，已知抛物线 经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），
AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出：b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，
求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与
△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将点 A（0，1），B（﹣9，10）代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴b＝2，c＝1，
故答案为：2，1；（2）∵AC∥x 轴，A（0，1），
∴ ，
∴x ＝﹣6，x ＝0，
1 2
∴C （﹣6，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），
∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1，
设点 ，则 E（m，﹣m+1），
∴ ，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP ＝S△AEC +S△APC
＝ ×AC×EF+
＝ ×AC×（EF+PF）
＝ ×AC×PE
＝ ×6×（﹣ m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣6＜m＜0，
当 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，
此时点 ；
（3）存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵ ，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF＝y ﹣y ＝3，CF＝x ﹣x ＝3，
F P F C∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°．
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q，
设 Q（t，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），C （﹣6，1），
∴ ，AC＝6， ，
以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t＝﹣4，
∴Q（﹣4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t＝3，
∴Q（3，1）；
综上所述：Q点坐标为（﹣4，1）或（3，1）．
5．已知抛物线 经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO ＝S△PBC ，求直线AP的表达式；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的
三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝ x2+bx+c中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣x﹣4；
（2）当y＝0时， x2﹣x﹣4＝0，
解得：x＝﹣2或4，
∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，
∵S△PBO ＝S△PBC ，
∴ ，
∴OE＝CF，
易得△OEG≌△CFG，
∴OG＝CG＝2，
设P（x， x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，
tan∠PBM＝ ＝ ＝ ，
∴BM＝2PM，
∴4+ x2﹣x﹣4＝2x，
x2﹣6x＝0，x ＝0（舍），x ＝6，
1 2
∴P（6，8），
∴AP的解析式为：y＝x+2，
BC的解析式为：y＝x﹣4，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE
重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE＝∠ACB＝45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝ ，OE＝ ﹣2＝
∴E（ ，0），
∵B（0，﹣4），
∴BE：y＝3x﹣4，
则 x2﹣x﹣4＝3x﹣4，
x ＝0（舍），x ＝8，
1 2
∴D（8，20）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，
∵∠BEA＝∠BEC，
∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，
∴ ＝ ＝ ，
设BE＝2 m，CE＝4 m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴ ，
3m2﹣8 m+8＝0，
（m﹣2 ）（3m﹣2 ）＝0，
m ＝2 ，m ＝ ，
1 2
∴OE＝4 m﹣4＝12或 ，
∵OE＝ ＜2，∠AEB或∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
如图4，
∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y＝﹣ x﹣4，
﹣ x﹣4＝ x2﹣x﹣4，
x＝ 或0（舍）
∴D（ ，﹣ ）；
同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，
∴ ＝ ，
设AE＝2 m，BE＝4 m，
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴ ，
3m2+2 m﹣5＝0，
（m+ ）（3m﹣ ）＝0，
m ＝﹣ ，m ＝ ，
1 2∴OE＝﹣12（舍）或 ，
∵OE＝ ＜4，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为（8，20）或（ ，﹣6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线 CP与x轴交于点Q，当∠BQC
＝∠BCO时，求此时P点坐标；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CNM＝90°，且△CMN与
△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由y＝﹣2x2+4x+6得C（0，6），
∴OC＝6，
当Q在x轴正半轴，如图：∵∠BQC＝∠BCO，且∠COB＝∠QOC，
∴△COB∽△QOC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OQ＝12，
∴Q（12，0），
设直线CQ解析式为y＝kx+6，
则0＝12k+6，
∴k＝﹣ ，即直线CQ为y＝﹣ x+6，
由 得 （与C重合，舍去）或 ，
∴P（ ， ），
当Q在x轴负半轴，如图：
同理可得：△BOC∽△BCQ，
∴ ＝ ，即BC2＝OB•BQ，
而OC＝6，OB＝3，
∴BC＝3 ，
∴（3 ）2＝3×BQ，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣12，0），
设直线CQ为y＝mx+6，则0＝﹣12m+6，解得m＝ ，
∴直线CQ为y＝ x+6，
由 得 （舍去）或 ，
∴P（ ， ），
综上所述，P点坐标为（ ， ）或（ ， ），
（3）设M（t，﹣2t2+4t+6），则N（0，﹣2t2+4t+6），
∴MN＝|t|，CN＝|2t2﹣4t|，
∵OC＝6，OB＝3，
∴OC＝2OB，
∵△CMN与△OBC相似，
∴MN＝2CN或CN＝2MN，
①MN＝2CN时，如图：
∴|t|＝2|2t2﹣4t|，
解得t＝ 或t＝ 或t＝0（舍去），
∴M（ ， ），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）；
②CN＝2MN时，如图：∴|2t2﹣4t|＝2|t|，
解得t＝0（舍去）或t＝3（M与B重合，舍去）或t＝1，
∴M（1，8），N（0，8），
综上所述，M（ ， ），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M（1，8），N（0，8）．
7．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝
3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为点C，D， ．
（1）求b，c的值；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）求∠ADB的度数；
（4）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ相似时，请直接
写出所有满足条件的点Q的坐标．
解：（1）∵点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ x2+bx+c，得 ，
解得： ，
∴b＝﹣ ，c＝﹣ ；
（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，
则∠DEB＝∠COB＝90°，
∴DE∥OC，
∴ ＝ ，
∵BC＝ CD，OB＝3，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴点D横坐标为﹣ ，
当x＝﹣ 时，y＝ ×（﹣ ）2﹣ ×（﹣ ）﹣ ＝ +1，
∴点D坐标为（﹣ ， +1），
设直线BD的函数解析式为y＝kx+n，把B（3，0），D（﹣ ， +1）代入，
得 ，
解得： ，
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣ x+ ；
（3）如图2，连接AC，
∵直线BD的函数解析式为y＝﹣ x+ ，
∴C（0， ），
∵A（﹣1，0），D（﹣ ， +1），∴AC2＝OA2+OC2＝12+（ ）2＝4，则AC＝2，
BC2＝OB2+OC2＝32+（ ）2＝12，则BC＝2 ，
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°，
∵BC＝ CD，
∴CD＝2，
∴tan∠ADB＝ ＝ ＝1，
∴∠ADB＝45°；
（4）在△ABD中，tan∠ABD＝ ＝ ，
∴∠ABD＝30°，
∵∠ADB＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，
∵CD＝2，BC＝ CD＝2 ，
∴BD＝BC+CD＝2 +2，
由（3）知：AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，AB＝4，
∴AD＝2 ，
∵y＝ x2﹣ x﹣ ，
∴对称轴为直线x＝1．
∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，
∴∠PBQ＜90°，
∴分两种情况：
①当∠PBQ＝∠ABD＝30°时，如图3，设对称轴与x轴交于点M，
则M（1，0），
∴BM＝3﹣1＝2，
∴PM＝BM•tan∠PBQ＝2×tan30°＝ ，∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，
∴P（1，﹣ ），
BP＝ ＝ ＝ ，
∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ABD，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴BQ＝ 或BQ＝ ，
∴Q（ ，0）或（ ，0）；
②当∠PBQ＝∠ADB＝45°时，如图4，
∵PM＝BM•tan∠PBQ＝2tan45°＝2，
∴P（1，﹣2），
∴BP＝2 ，
∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ADB，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴BQ＝2 ﹣2或2 +2，
∴Q（5﹣2 ，0）或（1﹣2 ，0）；
综上所述，点Q的坐标为Q（ ，0）或Q（ ，0）或Q（5﹣2 ，0）或Q（1﹣2 ，
0）．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴
交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：
在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，
解得a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ （x+1）（x﹣4），即y＝ x2﹣ x﹣2．
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴ ＝ ．
设直线BC的解析式为y＝kx+b ，
1
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣ ﹣2＝﹣ ，
∴AK＝ ，
设D（m， m2﹣ m﹣2），则F（m， m﹣2），
∴DF＝ m﹣2﹣ m2+ m+2＝﹣ m2+2m．
∴ ＝ ＝﹣ （m﹣2）2+ ．∴当m＝2时， 有最大值，最大值是 ．
（3）符合条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝ x，
设P（a ， ），
1
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC＝ ，AB＝5，BC＝2 ，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，
∴∠MQP＝∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴QM＝ ，PM＝ （a ﹣4）＝ a ﹣2，
1 1
∴MN＝a ﹣2，ON﹣QM＝a ﹣ ＝ a ，
1 1 1
∴Q（ a ，a ﹣2），
1 1
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得 ×（ a ）2﹣ × a ﹣2＝a ﹣2，
1 1 1
解得a ＝0（舍去）或a ＝ ．
1 1
∴P（ ， ）．
②当点P在直线BQ左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为（ a ，2）．
1
此时点P的坐标为（ ， ）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）．
9．如图，直线y＝﹣ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A，
B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以
B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
（3）将抛物线在0≤x≤3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y＝t上方部分沿直线y＝t翻折，其
余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤3，请直接
写出t的取值范围．解：（1）将（3，0）代入y＝﹣ x+c得0＝﹣2+c，
解得c＝2，
∴y＝﹣ x+2．
将x＝0代入y＝﹣ x+2得y＝2，
∴点B坐标为（0，2）．
将（3，0），（0，2）代入y＝﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+2．
（2）如图，当BM∥AM时满足题意，点B，N关于抛物线对称轴对称，
∵y＝﹣ x2+ x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∴点N坐标为（ ，2），
∴点M坐标为（ ，0）．
如图，当∠NBP＝90°时符合题意，
作NC⊥y轴于点C，则N（m，﹣ m2+ m+2），
∵∠NBC+∠ABO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠NBC＝∠BAO，
∴△BCN∽△AOB，
∴ ＝ ，即 ，
解得m＝ ，
∴点M坐标为（ ，0）．
综上所述，点M坐标为（ ，0）或（ ，0）．（3）∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线顶点坐标为（ ， ），
∴翻折后顶点坐标为（ ，2t﹣ ），
当点A为最低点时，t﹣0≤3，
解得t≤3，
令t﹣（2t﹣ ）＝3，
解得t＝ ，
∴ ≤t≤3．
10．如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴相交于点C，B、C两点的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），直线y＝kx+3k经过点A，
与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E是抛物线上一动点（不与点C重合），连接AE，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，若△AEF是
等腰直角三角形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在直线y＝kx+3k上存在一点G使得△DFG与△AOC相似，求出k的值．
解：（1）∵直线y＝kx+3k经过点A，则点A的坐标为（﹣3，0），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点E的坐标为（x，x2+2x﹣3），则AF＝|x+3|，EF＝|x2+2x﹣3|，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴|x2+2x﹣3|＝|x+3|，
∴x＝﹣3（舍去）或x＝0（舍去）或x＝2，
故点E的坐标为（2，5）；
（3）∵CO＝BO＝3，故△AOC为等腰直角三角形，
当△DFG与△AOC相似时，则△DFG为等腰直角三角形，
显然∠DFG不可能为直角，
∵直线y＝kx+3k与y轴交于点D，则点D（0，3k），
由（2）知，点F（2，0），
①当∠FDG为直角时，
∵点G在直线AD上，故在∠FDG的前提下，总能找到GD＝DF，
故只需要DF⊥AD即可，
在等腰Rt△FDG中，
由直线AD的表达式为：y＝kx+3k，则tan∠DOA＝k，
而tan∠DFO＝ ＝ ＝ ＝ ，
解得k＝± ；
②当∠FGD为直角时，如下图，过点G作MN∥y轴，交x轴于点N，交过点D与x轴的平行线于点M，则DG＝GF，
设点G的坐标为（t，kt+3k），
则MD＝﹣t，MG＝3k﹣tk﹣3k＝﹣kt；GN＝kt+3k，FN＝2﹣t，
∵∠MGD+∠FGN＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠MGD＝∠GFN，
∵∠GMD＝∠FNG＝90°，GD＝FG，
∴△GMD≌△FNG（AAS），
∴MD＝GN，MG＝NF，
即﹣t＝kt+3k且﹣kt＝2﹣t，
解得k＝2或﹣ ；
当∠DFG＝90°时，过点G作GH⊥x轴于H，则△ODF≌△HFG，
∴GH＝OF＝2，HF＝OD＝3k，
∵y＝﹣2时，﹣2＝kx+3k，
∴x＝ ，∴2+ ＝3k，
解得k＝2或﹣
综上，k＝± 或2或﹣ ．
11．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y＝﹣
x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点
N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理
由．
解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣1，得
解得
∴抛物线解析式为：y＝∴抛物线对称轴为直线x＝﹣
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点C′（2，﹣1），连C′O与直线x＝1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y＝kx
∴k＝﹣
∴y＝﹣
则P点坐标为（1，﹣ ）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO＝∠NCD，∠AOC＝∠CND＝90°
∴∠CDN＝∠CAO
由相似，∠CAO＝∠CMN
∴∠CDN＝∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，﹣ a﹣1）
由△EDN∽△OAC∴ED＝2a
∴点D坐标为（0，﹣ ）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a， ）
把M代入y＝ ，解得
a＝0（舍去）或a＝4
∴a＝4
则N点坐标为（4，﹣3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO＝∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x＝1的对称点C′即为点M
由（2）M为（2，﹣1）
∴由相似CN＝ ，MN＝
由面积法求N到MC距离为
则N点坐标为（ ，﹣ ）
∴N点坐标为（4，﹣3）或（ ，﹣ ）
12．抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）求出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求
k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L ，抛物线L 与y轴交于点C，
1 1
过点C作y轴的垂线交抛物线L 于另一点D，F为抛物线L 的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一
1 1
点，若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
解：（1）由题意知 ，
解得： ，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG＝2，
∵S△BMN ＝1，即S△BNG ﹣S△BMG ＝ BG•（x
N
﹣1）﹣ BG•（x
M
﹣1）＝1，
∴x ﹣x ＝1，
N M
由 得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，解得：x＝ ＝ ，
则x ＝ 、x ＝ ，
N M
由x ﹣x ＝1得 ＝1，
N M
∴k＝±3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L 的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，
1
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时， ，
∴ ，
∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时， ，
∴ ，
∴t＝ （m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
Δ＝（1+m）2﹣8＝0，
解得：m＝2 ﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t ＝t ＝ ，
1 2
方程②有一个实数根t＝ ，
∴m＝2 ﹣1，
此时点P的坐标为（0， ）和（0， ）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得： （m+1）2﹣ （m+1）2+2＝0，
解得：m＝2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t ＝1、t ＝2，
1 2
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝2 ﹣1时，点P的坐标为（0， ）和（0， ）；
当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
13．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且
∠ACB＝90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以
点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于 或 ．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB＝OC2
∴OB＝ ，
∴m＝4，
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2．
（2）D（1，n）代入y＝ x2﹣ x﹣2，得n＝﹣3，
由 ，得 ， ，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）
∴AH＝EH＝7
∴∠EAH＝45°
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）
∴BF＝DF＝3
∴∠DBF＝45°
∴∠EAH＝∠DBF＝45°
∴∠DBH＝135°，
90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：①若△DBP ∽△EAB，则
1
∴BP ＝ ＝ ＝
1
∴OP ＝4﹣ ＝ ，
1
∴P （ ，0）．
1
②若△DBP ∽△BAE，则
2
∴BP ＝ ＝ ＝
2
∴OP ＝ ﹣4＝
2
∴P （﹣ ，0）．
2
综合①、②，得点P的坐标为：P （ ，0）或P （﹣ ，0）．
1 2
（3） 或 ．
如图所示：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，作DF⊥x轴于F．
∵∠PMD＝∠PBD，∠DFP＝∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴ ，
∴PD＝ ＝ ＝ ，
DF＝3，
BD＝ ＝3 ，
∴PM＝ ＝ ，∴△BPD的外接圆的半径＝ ；
同理可求出当P点在x轴的负半轴上时，△BPD的外接圆的半径＝ ．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+ x﹣ 与x轴交于点A、B（点A在点B右
侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得
到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD ⊥x轴于点D ，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂
1 1
足，使得△PAM与△DD A相似（不含全等）．
1
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令 x2+ x﹣ ＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣7．
1 2
∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y＝ x2+ x﹣ ＝ （x+3）2﹣2 得，D（﹣3，﹣2 ）；
（2）证明：∵DD ⊥x轴于点D ，
1 1
∴∠COF＝∠DD F＝90°，
1
∵∠D FD＝∠CFO，
1
∴△DD F∽△COF，
1
∴ ＝ ，
∵D（﹣3，﹣2 ），
∴D D＝2 ，OD ＝3，
1 1
∵AC＝CF，CO⊥AF
∴OF＝OA＝1
∴D F＝D O﹣OF＝3﹣1＝2，
1 1
∴ ＝ ，
∴OC＝ ，
∴CA＝CF＝FA＝2，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，
∴EC∥BF，
∵EC＝DC＝ ＝6，
∵BF＝6，
∴EC＝BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x， x2+ x﹣ ），
①当点P在B点的左侧时，
∵△PAM与△DD A相似，
1
∴ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣11或x ＝1（不合题意舍去）x ＝﹣ ；
1 2 1 2
当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DD A相似，
1
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣3（不合题意舍去）或x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣ （不合
1 2 1 2
题意舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DD A相似，
1∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣3（不合题意舍去）或x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣ ；
1 2 1 2
综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣ 或﹣ ；
②由①得，这样的点P共有3个．
15．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（ ，0），在第一象限内与直线
y＝x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，
①求点M的坐标；
②在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．解：（1）∵B（2，t）在直线y＝x上，
∴t＝2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE＝t，BF＝2﹣t，CD＝t﹣（2t2﹣3t）＝﹣2t2+4t，
∴S△OBC ＝S△CDO +S△CDB ＝ CD•OE+ CD•BF＝ （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）＝﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t＝2，解得t ＝t ＝1，
1 2
∴C（1，﹣1）；（3）①设MB交y轴于点N，如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB＝∠NOB＝45°，
在△AOB和△NOB中，
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON＝OA＝ ，
∴N（0， ），
∴可设直线BN解析式为y＝kx+ ，
把B点坐标代入可得2＝2k+ ，解得k＝ ，
∴直线BN的解析式为y＝ x+ ，
联立直线BN和抛物线解析式可得 ，
解得 （舍去）或 ，
∴M（﹣ ， ），
②∵C（1，﹣1），∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B（2，2），
∴OB＝2 ，OC＝ ，
∵△POC∽△MOB，
∴ ＝ ＝2，∠POC＝∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA＝∠BOG＝45°，
∴∠MOG＝∠POH，且∠PHO＝∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∵M（﹣ ， ），
∴MG＝ ，OG＝ ，
∴PH＝ MG＝ ，OH＝ OG＝ ，
∴P（ ， ）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH＝ MG＝ ，OH＝ OG＝ ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．
16．抛物线y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB，交AC于点E，若满足 ．求点D
的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否
存在这样的点P、Q，使得△BQP与△ABF相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标
及此时△BQP的面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y＝a（x﹣3）2+h．把B（4，3），C（6，﹣5）代入得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5；
（2）设直线AC的表达式为y＝kx+n，
则 ，解得： ，
∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+7，
设点D（m，﹣m2+6m﹣5）（2＜m＜6），则点E（m，﹣2m+7），
∴DE＝（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）＝﹣m2+8m﹣12，
如图①，设直线DE与直线AB交于点G，
∵AG⊥EG，
∴AG＝m﹣2，EG＝3﹣（﹣2m+7）＝2（m﹣2），
m﹣2＞0，
在Rt△AEG中，
∴AE＝ （m﹣2），
由 ，则 ，
解得：m＝3.5或2（舍去），
则D（ ， ）；
（3）存在，理由：
根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，
分三种情况：
①若∠BPQ＝90°，BP＝PQ，如图②，
过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，连接AB，
∵∠APB+∠QPA＝90°，∠QPA+∠APM＝90°，∴∠APB＝∠APM，
∵∠PAB＝∠QMP＝90°，PB＝PQ，
∴△BAP≌△QMP（AAS），
∴AB＝QM＝2，PM＝AP＝3+2＝5，
∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0）；
如图③，
同理可得：△BAP≌△PMQ（AAS），
∴AB＝PM＝2，AP＝MQ＝3﹣2＝1，
∴P（2，2），Q（3，0）；
②若∠BQP＝90°，BQ＝PQ，
如图④，过点Q作y轴的平行线交BA的延长线于点N，交过点P与x轴的平行线于点M，
同理可得：△BNQ≌△QMP（AAS），
∴NQ＝PM＝3，NG＝PM﹣AG＝3﹣2＝1，
∴BN＝MQ＝4+1＝5，
∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0）；
如图⑤，过点Q作y轴的平行线交AB的延长线于点N，交过点P与x轴的平行线于点M，
同理可得：△QNB≌△PMQ（AAS），
∴NQ＝PM＝3，
∴P（2，﹣1），Q（5，0），
③若∠PBQ＝90°，BQ＝BP，如图6，
过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，
同理可得：△PAB≌△BNQ（AAS），
∵AB＝2，NQ＝3，AB≠NQ
∴此时不存在符合条件的P、Q．
综上，点P、Q的坐标分别为：（2，﹣2）、（﹣3，0）；（2，2）、（3，0）；（2，﹣5）、（﹣
1，0）；（2，﹣1）、（5，0）．17．如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，
在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经
过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另
一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2
﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于 6 ．解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得 ＝ ＝2
∵A（4，4），B（3，0）
∴A′（8，8），B′（6，0）
将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y＝ax2+bx+c
得
解得
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣3x；
（2）①∵点P在y＝x2﹣3x的图象上，
∴n＝m2﹣3m，
∴P（m，m2﹣3m），
设直线OP的解析式为y＝kx
将点P代入，得mk＝m2﹣3m，解得k＝m﹣3，
∴OP：y＝（m﹣3）x
∵直线OP与y＝ x2﹣3x交于点Q
∴ x2﹣3x＝（m﹣3）x，解得x ＝0（舍），x ＝2m，
1 2
∴Q（2m，2m2﹣6m）②∵P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上
∴n＝m2﹣3m
∴P（m，m2﹣3m）
设直线OP的解析式为y＝kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，
得mk＝m2﹣3m
∴k＝m﹣3
∴OP的解析是为y＝（m﹣3）x
∵OP与y＝ x2﹣3x交于Q点
∴
解得 （不符合题意舍去）
∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D
则OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|2m|，QD＝|2m2﹣6m|
∵ ＝ ＝2
∴△OCP∽△ODQ
∴OQ＝2OP
∵2AP＞OQ
∴2AP＞2OP，即AP＞OP
∴ ＞
化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣ ＜m＜1+ ，且m≠0；
③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）
∵点Q在第一象限，
∴ ，解得m＞3
由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y＝2m2﹣6m∵QQ′交y＝ x2﹣3x交于点Q′
解得 （不符合题意，舍）
∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）
设OQ′的解析式为y＝kx，（6﹣2m）k＝2m2﹣6m
解得k＝﹣m，OQ′的解析式为y＝﹣mx，
∵OQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x ＝0（舍），x ＝3﹣m
1 2
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x ＝0（舍去），x ＝3﹣m
1 2
∴P′（3﹣m，m2﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点M、N
∴x2﹣3x＝2m2﹣6m
解得x ＝ ，x ＝
1 2
∵M在N左侧
∴M（ ，2m2﹣6m）
N（ ，2m2﹣6m）
∵△Q′P′M∽△QB′N
∴∵ ，
化简得m2﹣12m+27＝0
解得：m ＝3（舍），m ＝9
1 2
∴N（12，108），Q（18，108）
∴QN＝6．
故答案为：6．
18．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y ＝kx2+m（k＜0）与y ＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭
1 2
图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．
解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y ＝kx2+m（k＜0）的图象上，
1
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为y ＝﹣x2+1，
1
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y ＝ax2+b（a＞0）的图象上，
2
∴ ，
∴ ，
∴二次函数y ＝3x2﹣3；
2
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一
点，
∴MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）＝4﹣4m2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m＝4﹣4m2，
∴m＝ 或m＝ （舍），
∵0＜ ＜1，
∴MM'＝
∴存在内接正方形，此时其边长为 ；
（3）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，
∴AD＝ ＝ ，
同理：CD＝ ，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，∴BC＝ ＝ ，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB＝∠ADO，
∴在y轴上存在E，由 ，
∴ ，
∴DE＝ ，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，﹣ ），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴ ，
∴ ，
∴DF＝ ，EF＝ ，
∵S△DEE '＝ DE•E'M＝EF×DF＝ ，
∴E'M＝ ，
∵DE'＝DE＝ ，
在Rt△DE'M中，DM＝ ＝2，
∴OM＝1，
∴E'（ ，﹣1），②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE， ，
∴ ，
∴AE＝ ，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，
∴PD＝PA，
设PD＝n，
∴PO＝3﹣n，PA＝n，
在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n＝ ，
∴PA＝ ，PO＝ ，
∵AE＝ ，
∴PE＝ ，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴ ，∴OQ＝ ，
∵ ，
∴QE＝2，
∴E（﹣ ，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE＝ ＝ ，
∴AE'＝
∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，﹣ ），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，﹣ ）或（ ，﹣1）或（1，﹣ ）或（﹣ ，﹣2）．
19．如图，直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ x2+bx+c经过点A，B．
（I）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M作直线MN垂直于x轴，与直线AB和抛物线分别交于点
P、N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除
外），则称M，P，N三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．解：
（1）∵y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y＝0时，x＝3，即A（3，0）．
∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2）．
∵抛物线y＝ x2+bx+c经过点A，B，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣ x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），
∴PM＝﹣ m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴﹣ m2+ m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝ ，∴M（ ，0）；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣ m2+ m+2﹣2＝﹣ m2+ m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得m＝0（舍去）或m＝ ，
∴M（ ，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（ ，0）或（ ，0）；
②由①可知M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有2（﹣ m+2）＝﹣ m2+ m+2，解得m＝3（舍去）或m＝0.5；
当M为线段PN的中点时，则有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；
当N为线段PM的中点时，则有﹣ m+2＝2（﹣ m2+ m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣ ；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为 或﹣1或﹣ ．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC绕AB中点E旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点F，使△AEF与△BAD相似？若存在，求所有满足条件的F点的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2﹣ x+2．
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H，如图1所示．
∵将△ABC绕AB中点E旋转180°，得到△BAD，
∴△ADH≌△BOC，
∴DH＝OC＝2，AH＝BO＝1，
∴OH＝4﹣1＝3，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2）．
②四边形ADBC是矩形，理由如下：
∵将△ABC绕AB中点E旋转180°，得到△BAD，
∴AC＝BD，AD＝BC，
∴四边形ADBC是平行四边形．∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC＝2 ，BC＝ ，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形ADBC是矩形．
（3）∵A（﹣4，0）、B（1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣ ．
由题意可得：BD＝2 ，AD＝ ，
∴ ＝ ．
当△AEF∽△ADB时， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝5，
∴点F的坐标为（﹣ ，5）或（﹣ ，﹣5）；
当△FEA∽△ADB时， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ，
∴点F的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．
综上所述：点F的坐标为（﹣ ，5）或（﹣ ，﹣5）或（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．21．已知抛物线y＝﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y
轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连
接AP．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．解：（1）∵令x＝0，则y＝4，
∴A（0，4）；
∵令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
∴B（4，0），C（﹣1，0）；
（2）①∵以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，
∴△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA，
∴ 或 ，
即 或 ，解得x＝ 或x＝7，均在对称轴的右侧，
∴P（ ， ）或（7，﹣24）；
②如图所示，过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，
设Q（x，4），则P（x，﹣x2+3x+4），PQ＝x2﹣3x＝PM，
∵∠EAM+∠EMA＝90°，∠EMA+∠FMP＝90°，
∴∠FMP＝∠EAM．
∵∠MFP＝∠AEM＝90°，
∴△AEM∽△MFP，
∴ ．
∵MP＝x2﹣3x，∴ ，
∴PF＝4x﹣12，
∴OM＝（4x﹣12）﹣x＝3x﹣12，
在Rt△AOM中，
∵OM2+OA2＝AM2，即（3x﹣12）2+42＝x2，解得x ＝4，x ＝5均在抛物线对称轴的右侧，
1 2
∴P（4，0）或（5，﹣6）．
③∵抛物线y＝﹣x2+3x+4和A（0，4），
∴抛物线和直线l的交点坐标为A（0，4），（3，4），
设P（a，﹣a2+3a+4）；∵A（0，4），
∴把y＝4代入y＝﹣x2+3x+4中，得，x＝0或x＝3，
∴a＞3
∵AP的中点是R，A（0，4），
∴ ＝m， ＝n，
∴n＝﹣2m2+3m+4，
∵a＞3，
∴2m＞3，
∴m＞ ．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设
点D的横坐标为m．
（1）求点A的坐标与抛物线的表达式；
（2）连接CD，AD，设四边形OADC的面积为S．
①求S与m的关系式；
②当S最大时，求D点的坐标．
（3）若点P是对称轴上一点，当△DPF∽△BOC时，求m的值．
解：（1）∵OA＝2OB，
∴设OB＝t，OA＝2t，则B（﹣t，0）、A（2t，0），
∵抛物线对称轴为直线x＝ ，
∴ ＝ （﹣t+2t），
解得：t＝1，
∴A（2，0）、B（﹣1，0），
把A（2，0）、B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2得： ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵D为第一象限内抛物线上一动点，点D的横坐标为m，∴D（m，﹣m2+m+2），
①S＝S△OCD +S△OAD
＝ ×2×m+ ×2×（﹣m2+m+2）
＝﹣m2+2m+2，
∴S与m的关系式为S＝﹣m2+2m+2；
②∵S＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，S最大，此时D（1，2）；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（2，0），C（0，2）代入得： ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
设F（m，﹣m+2），P（ ，n），DF＝﹣m2+2m，
∵△DPF∽△BOC，
∴∠DPF＝∠BOC＝90°，
∴ ，
由②得：n＝m+1，
代入①得：（﹣m2+1）（2m﹣1）﹣ （2m﹣1）2＝0，
解得：m＝ 或m＝ （舍去）或m＝ （舍去），
综上所述，m＝ ．
