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专题 02 旋转与中心对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接A A′，若∠1=25°，则
∠BA A′的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
√3
2．在平面直角坐标系中，P是双曲线y= (x<0)上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转90°的对
x
2 4
应点P (m，n)落在直线y=−2x+1上则代数式 + 的值是（ ）
1 m n
2√3 √3
A．− B．6√3 C．−8 D．−
3 2
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−√3x+2，与y轴交于点B，△AOB绕O点逆时针旋转到
如图△A′OB′的位置，旋转角记为α，将△AOB绕O点逆时针旋转，则第2023次旋转结束后，点B
的坐标为（ ）
A．(−√3,1) B．(0,2) C．(−√3,−1) D．(√3,1)
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，对角线AC与OB的交点为点D，将
正方形OABC绕原点O逆时针旋转45°，则点D的对应点D′的坐标是（ ）A． B． C． D．
(0,1) (0,√2) (0,−√2) (√2,0)
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC=30°，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
过D作DE⊥BC于E，若AB=4，则CE长为（ ）
A．√3 B．2√3−2 C．√3−1 D．2
6．如图将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
7．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接
EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）
2 1
A．5 B．5 C．5 D．√26
7 11
8．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交
CD于点H，若BC＝2√3，则HC的长为（ ）A．4 B．2√3 C．3√3 D．6
9．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°,∠A=30°,OA=2，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，
每次旋转120°，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（ ）
A．( 1 √3)B．( 1 ) C．( 1 √3) D．
− ，− − ，√3 − ， (1，0)
2 2 2 2 2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋
转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．4 D．2
11．如图，点P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接
BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．24+9√3 B．24+6√3 C．12+9√3 D．12+6√3
12．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△≝¿关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
13．如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC上一点，将BE绕点B
顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是( )
A．√3 B．2 C．2√2 D．2√3
14．如图，ΔABC中，∠BAC=90°，将ΔABC绕着点A旋转至ΔADE，点B的对应点点D恰好落
在BC边上．若AC=2√3，∠B=60°，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2√3 D．4
15．如图，在5×5的正方形网格中，有一个格点△ABC ，其中D是线段BC的中点．若在网格中找
到两个格点E，F，使得△ABC≌△≝¿，则图中符合条件的△≝¿有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(0,−3)，点B绕点A旋转90°得到点C，则点C的坐标为
．
17．若点A(m,2)关于原点的对称点B的坐标是(−3,n)，则m+n= ．
18．如图，在平面直角坐标系中，A(1,3),C(4,1)，将平行四边形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，
则点B的对应点B′的坐标是 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝√2，BC=1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C
的运动路径为 ，图中阴影部分的面积为 ．
C ´ C′
20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺
时针旋转到位置①可得到点P，此时AP＝√2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可
1 1 1
得到点P，此时AP＝1+√2；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P，此时
2 2 2 3
AP＝2+√2；…．按此规律继续旋转，直至得到点P 为止，则AP ＝ ．
3 2020 2020
21．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点 顺时针旋转 得到点 ，
A(2,1) 90° B(x,y)则x+ y的值为 ．
22．如图，将Rt△ACB绕斜边AB的中点O旋转一定的角度得到Rt△FAE，已知AC＝6，BC＝4，则
cos∠CAE＝ ．
23．△ABC中，AB=5，AC=2，点D是BC边的中点，把点D绕点B逆时针旋转60°得到点E，
连接AE，则线段AE的最小值是________．
24．如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到
△ADE，连接BE，则BE的长为 ．
25．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E,F 分别在边AD,CD 上，若∠EBF 45 ，则△EDF
的周长等于 .
三、解答题
26．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE．
(1)求∠ECD的度数；
(2)若AB=4，BD=√2，求DE的长．
27．在等腰△ABC中，AB=AC，顶角度数为α，点D是平面内一点，连接CD，将线段CD绕点D
顺时针旋转α得到线段ED，连接CE，BE，AD．
(1)如图1所示，当α=60°时，请直接写出线段BE与AD的数量关系：______；
(2)如图2所示，当α=90°时，（1）中的结论还成立吗，并说明理由；
(3)在（2）的前提下，若BE∥CD，AB=3，DE=2，请直接写出线段AD的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，
C(−1,3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A B C ，已知点C 的坐标为(4,0)，写出顶点A ，B 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称图形，写出△A B C 的各顶点的坐标；
2 2 2 2 2 2
(3)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C ，写出△A B C 的各顶点的坐标．
3 3 3 3 3 3
29．如图，在Rt△OAB中，∠BAO=90°，且点A的坐标是（2，0）（1）写出点B的坐标是__________；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为
__________；
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为__________；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则△ODE的面积是__________．
（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
30．将两个全等的等腰直角三角形按如图①放置，斜边分别交CD、CE于点M、N．
(1)如图②，将图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，求证：
△CMF≌△CMN；
(2)如图③，将△CDE绕点C旋转，当点M在AB上，点N在AB的延长线上时，试判断
AM、MN、BN之间的数量关系，并说明理由．
31．如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
(1)求证DE=FH；(2)连接BE,CH，当AB与BC的比值为_______时，四边形BEHC是菱形．
32．如图，一个含60°角的纸片顶点与等边△ABC的点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°
角的一边交直线AC于点D，在另一边上截取点E，使BE=BD，连接AE．
(1)当点D在边AC上时，如图①，求证：AC=AD+AE；
(2)当点D在边AC所在直线上，如图②、如图③时，线段AD,AC,AE之间又有怎样的数量关系？
请直接写出结论．
(3)在图③中，AD、BE交于点K，若AE=4,BC=6，则AD=_______，DK=______．
33．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N．AH⊥MN于
点H，∠MAN绕点A旋转．解答下列问题：
(1)如图①，当BM=DN时，请你写出AH与AB的数量关系 ；
(2)如图②，当BM≠DN时，猜想S 与S ，S 的关系，并完成证明；
△AMN △ABM △ADN
(3)如图③，若∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，MH=2，NH=1，则AH= ．
34．已知点O是△ABC内一点，连接OA,OB，将△BAO绕点B顺时针旋转如图，若△ABC是等边
三角形，OA=5，OB=12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC,OD，已知OC=13．
(1)求OD的长；(2)求∠AOB的大小．
35．两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD＞AB．
操作发现：
（1）如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并
说明理由．
实践探究：
（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，
则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．
【能力提升】
36．【问题探究】
（1）如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，点D是BC的中点，连接AD，
则AD的长为________．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，AB=BC，P为△ABC内一点，且AP=BP=2，∠APB=135°，
请求出CP的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2√3，BC=4，点P
为四边形ABCD内一点，且始终有∠APB=90°，连接CP、DP，请问是否存在一点P，使得
CP+DP的值最小？如果存在，求出CP+DP的最小值；如果不存在，请说明理由．
37．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O
的“垂直图形”．
(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．
①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为____．
②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为_____．
(2)E(−3,3)，F(−2,3)，H(a,0)，线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为
E′，点F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的取值范围．
38．如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，
∠EAF=45°．
(1)①如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD
重合，则线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
②如图②，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D=180°，线段BE、DF和EF之间的结论
是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(2)如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2√2，点D、E均在边BC边上，且
∠DAE=45°，若BD=1，请直接写出DE的长．
39．如图1，在矩形ABCD中，E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接DF、EF，H为DF中点，连接GH，将△BEF绕点B旋转．
(1)当△BEF旋转到如图2的位置，连接AF、CE，若AB=BC，且CE=2，则AF=__________，
GH=__________；
(2)已知AB=3，BC=4．
①当△BEF旋转到如图3位置时，连接CE，猜想GH与CE之间的数量关系和位置关系，并说明理
由．
②在△BEF旋转过程中，射线GH，CE相交于点Q，连接AQ，AQ有最小值吗？若有，请直接写出
AQ的最小值；若没有，请说明理由．
40．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，
连接DE，将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
AE AE
①当α=0°时， =______；②当α=180°时， =______．
BD BD
(2)拓展探究
AE
试判断：当0°≤α<360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
BD
(3)问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，如图3-1，图3-2，求线段BD的长．
①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时， ②如图3-2中，当点E在线段AB上时，
