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专题 07 全等三角形旋转、一线三等角模型
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目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 全等三角形旋转模型】....................................................................................................................1
【考向二 全等三角形一线三等角模型】......................................................................................................26
【直击中考】
【考向一 全等三角形旋转模型】
例题：（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图①，在 中， ， ，点D，E分
别在边 ， 上，且 ．则 ．现将 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为
．如图②，连接 ， ．
(1)如图②，请直接写出 与 的数量关系．
(2)将 旋转至如图③所示位置时，请判断 与 的数量关系和位置关系，并加以证明．
(3)在旋转的过程中，当 的面积最大时， ______．（直接写出答案即可）
【变式训练】一、选择题
1．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转至点 ，若
， ，则线段 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在 中， ， ，直角 的顶点 是
的中点，将 绕顶点 旋转，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ．下列四个结论：①
；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ．在 旋转过程中，上述
四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分 交BC于点E，点F是CD
边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点， ，将 绕点P逆时针旋转90°后，角的
两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题
4．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ，点
B到x轴的距离为4，若将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为__________．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置， 的直角顶点 在边
的中点处，其中 ， ， 绕点 自由旋转，且 ， 分别交 ，
于点 ， ，当 ， 时， 的长为______．
6．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段
BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为
________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
三、解答题
7．（2022·山东日照·校考二模）在 中， ， ，点 为线段 延长线上一动点，连
接 ，将线段 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ，得到线段 ，连接 ， ．
(1)如图1，当 时，①求证： ；②求 的度数；(2)如图2，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
(3)当 时，若 ， ，请直接写出点 到 的距离为
8．（2022·河北保定·校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为
AB边上一点，tan∠ACD＝ ，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D
逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．
(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)点P运动几秒，DQ最短；
(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S BDQ＝8，求tan∠BDQ；
(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的△长．
9．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交
于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证： ；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 与 中， ，
，点D在 上．
(1)如图1，若点F在 的延长线上，连接 ，探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结
论；
(2)如图2，若点D与点A重合，且 ， ，将 绕点D旋转，连接 ，点G为 的中
点，连接 ，在旋转的过程中，求 的最小值；
(3)如图3，若点D为 的中点，连接 、 交于点M， 交 于点N，且 ，
请直接写出 的值．11．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践
问题情境
在图 所示的直角三角形纸片 中， 是斜边 的中点．数学老师让同学们将 绕中点 做图形
的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．
解决问题
（1）“实践小组”的同学们将 以点 为中心按逆时针旋转，当点 的对应点 与 重合时， 与
它的对应边 交于点 ．他们发现： ．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图 的基础上，“实践小组”的同学们继续将 以点 为中心进行逆时针旋转，当 的对应
边 时，设 与 交于点 ， 与 交于点 ．他们认为 ．他们的认识是否
正确？请说明理由．
再探发现
（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图 中连接 ，他们认为 ， 与 也具有
一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）
【考向二 全等三角形一线三等角模型】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线 上，
且 ，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为
“一线三等角“模型．
应用：(1)如图2， 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过B作
于点E．求证： ．
(2)如图3，在 中，D是 上一点，
，求点C到 边的距离．
(3)如图4，在 中，E为边 上的一点，F为边 上的一点．若
，求 的值．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于
点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、解答题
2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图1， ，垂足分别
为D，E．
(1)若 ，求 的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想 三
者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，C，E三点在同一条直线上，并且有
，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
3．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）在 中， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ．
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，在 中， ， 三点都在直线m上，且
．
(1)如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
(3)如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为 ．是否存在x，
使得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
5．（2022秋·八年级课时练习）【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当
∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；
【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，
请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐
标．
