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专题 21 与圆有关的概念及性质（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 圆的基本概念】
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交
⊙O于点C，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．30°
2．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，
以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为__________．
3．（2022·河北沧州·统考二模）如图，量角器的0°刻度线的两端A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑
动，点C位于该量角器上13°刻度处．（1）若点C在靠近点A处，连接CO，则∠COA=______；
（2）当点C与原点O的距离最大时，∠ABO=______．
4．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，在扇形AOB中，D为A´B上的点，连接AD并延长与OB的延长线交
于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠CAO的度数为_________°．
5．（2022·河北承德·统考模拟预测）已知⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，把正方形ABCD放在
⊙O中，使顶点A，D落在⊙O上，此时点A的位置记为A ，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方
0
形ABCD在⊙O中绕点A顺时针旋转，使点B落到⊙O上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使
点C落到⊙O上，完成第二次旋转；……
(1)正方形ABCD每次旋转的度数为______°；
(2)将正方形ABCD连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与A 之间的距离的最小值为______．
0
【考点2 垂径定理及其推论】
6．（2022·山东济宁·校考二模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上
一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．(1)求证：FM=FP；
3
(2)若点P是FG的中点，cos∠F= ，⊙O半径长为6，求EM长．
5
7．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；
(2)若∠A=42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．
8．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．DB平分∠ADC，连接
OC,OC⊥BD．
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠A=66°，求∠ADB的度数．
9．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．
10．（2022·河南信阳·统考三模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，
竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在
水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，
C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距
离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．
【考点3 弧、弦、圆心角的关系】
11．（2022·江苏盐城·统考中考真题）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．
12．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，A´D上点E，满足
A´E=C´D，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE，EF=DG．(1)求证：CE=BG；
√21
(2)如图2，连接CG，AD=2．若sin∠ADB= ，求△FGD的周长．
7
13．（2022·上海虹口·统考二模）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=AC，点M、N分别在弦
AB、AC上，且AM=CN，AM<AN，联结OM、ON．
(1)求证：OM=ON；
(2)当∠BAC为锐角时，如果AO2=AM⋅AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．
14．（2022·广西百色·统考二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点
E，AD⊥EC于点D，且交⊙O于点F，连结BC，CF，AC．
(1)求证：BC ＝CF；(2)若AD=3，DE=4，求BE的长和tan∠CAE的值．
15．（2022·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三
等分点，AB=4，连接BC,CD,BD．
(1)填空：BC_________2BD；（填“>”“=”或“<”）
(2)求图中△BCD的面积．
【考点4 圆周角】
16．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图1，在⊙O中，AB和CD是两条弦，且AB⊥CD，垂足为点E，
连接BC，过A作AF⊥BC于F，交CD于点G；
(1)求证：¿=DE；
(2)如图2，连接AC、OC，求证：∠OCF+∠CAB=90°；
(3)如图3，在（2）的条件下，OC交AF于点N，连接EF、EN、DN，若OC//EF，EN⊥AF，
DN=2√17，求NO的长．
17．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，
以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于
点C，AE与BC交于点F．(1)求证：∠DAC=∠DEA；
(2)若点E是弧BD的中点，⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．
18．（2022·广东·二模）已知：⊙O是△ABC的外接圆，且A´B=B´C，∠ABC=60°，D为⊙O上一动点．
(1)如图1，若点D是A´B的中点，∠DBA等于多少？
(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在A´B上，求证：CD=DE+AE．
②若点D在A´C上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求∠ABD的最大值．
19．（2022·四川南充·统考三模）如图，AB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，BC与⊙O交于D，弧CD
上一点E，使得点D成为弧AE的中点，连接AE与BC交于F．
(1)比较AB与AF的长度．并说明理由．
(2)当AB=6，BC=10时，求CF的长．
20．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，B´C=B´D，⊙O的切
线BF与弦AD的延长线相交于点F.(1)求证：CD∥BF；
3
(2)连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD= ，求线段AD，CD的长.
4
【考点5 三角形的外接圆】
21．（2022·河南周口·校考二模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点
B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 ；
(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在A´C上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7
时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
22．（2022·河北沧州·统考一模）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)，
⊙O′为△ABC的外接圆．(1)O′的坐标为______；
(2)设弧AC与线段AB、BC所围成的封闭图形的面积为S（图中阴影部分），嘉琪说S>1，请通过计算判断
嘉琪的说法是否正确；
(3)我们把横纵坐标都是整数的点叫做格点．直线l与⊙O′相切于点B，直接写出直线l经过的图中格点坐
标．（切点除外）
23．（2022·浙江台州·统考一模）如图，平行四边形ABCD，⊙O是△BCD的外接圆，交直线AB、直线
AD于点E、F，连接CE、CF，
(1)如图1，若平行四边形ABCD是菱形，求证：CE=CF；
(2)如图2，若∠A=70°，求∠ECF的度数；
(3)若BD=4√2，⊙O半径为3，
①如图2，连接EF，求EF的长；
②如图3，连接EF、BF，若BF=3BE，请直接写出△BCF的面积____________．
3
24．（2022·湖北武汉·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，sin∠BAC= ，BC=6，连接BO并延长
5
交AC于点D．(1)求⊙O的半径；
(2)求OD的长．
25．（2022·辽宁铁岭·校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，△BCD是⊙O的内接三角形，BC=DC，
AB与CD交于点E，过点C作CF//BD交DA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为5，BD=8，求线段AE的长．
【考点6 圆内接四边形】
26．（2022·湖南·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是^BD的中点，延长
AD交BC的延长线于点E．
(1)求证：CE=CD；
(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．
27．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE=90°．
(1)求证：PA是圆O的切线；
1
(2)连接AC，sin∠BAC= ，BC=2，AD的长为______．
3
28．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F
在边AD上，连接EF．
(1)求证：△ABE∽△DCE；
AE DE AF FE
(2)当D´C=C´B，∠DFE=2∠CDB时，则 − =___________； + =___________；
BE CE AB AD
1 1 1
+ − =___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
AB AD AF
(3)①记四边形ABCD， 的面积依次为 ，若满足 ，试判断，
△ABE，△CDE S,S ,S √S=√S +√S
1 2 1 2
△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当D´C=C´B，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE⋅CE．
29．（2022·山东威海·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD
至点E．(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
30．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，
FH交于点E，已知CF=CH．
(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
KH AK
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： = ．
CH AC
CP
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
PF
【考点7 相交弦】
32．（2022秋·内蒙古赤峰·九年级统考期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦
互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则
AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，
CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为√13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，
CH
=5，则CD的长度 ．
DH
33．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝
AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：
BF＝2HG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．34．（2022春·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1) 求证：AH·AB=AC2；
(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；
(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明).
35．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期末）如图，AB、AC、AD是
⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE． 连结BC，BD，CD，其中BC交AD于点G．
(1)求证：△ABG∽△ADB．
(2)若∠DBE=α，求∠CAD的度数（用含α的代数式表示）．
(3)若AD=15，AB=12，BD=6，求线段CD的长．
【考点8 四点共圆】
36．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C
的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．(1)求B、C两点的坐标；
(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，
点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变
化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
37．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，
连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB于点H．
(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结
论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．
38．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是
直线m外一点，PO⊥m，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，
你发现了什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．（2）小试牛刀：如图2所示，Rt△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a．则点P为AB边上一动点，则CP
的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3所示△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接
BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求△BPE的面积．
（4）拓展提高：如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF=∠ACD
．AB=3，BC=4，请求出AE的最小值．
39．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)
到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；
DP 1
(2)联结CF，如果 = ，求∠ABP的正切值；
CF 3
√2
(3)联结AF，如果AF= AB，求n的值．
2
40．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市紫荆中学校考期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接
CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．
【考点9 圆中的最值问题】
41．（2022秋·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的直径AB的长为8，P是A´B上一动点，
∠APB的角平分线交⊙O于点Q，点I为△APB的内心，连接QA，下列结论：①点Q是定点；②PQ的
最大值为8；③QI的长为定值；④AP⋅BP的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确
结论的序号都填上）．42．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M的半径为
5，圆心M的坐标为（3，0），⊙M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是ADB上的一点（不与点
A、D、B重合）．连结AC并延长，连接BC，CD，AD．
(1)求点A的坐标；
(2)当点C在AD上时．
①求证：∠BCD=∠HCD；
②如图2，在CB上取一点G，使CA=CG，连接AG．求证：△ABG∽△ADC；
|AC−BC|
(3)如图3，当点C在BD上运动的过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变．请直接写出该
CD
定值；若变化，请说明理由．
√3 2√3
43．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线m:y= x+
3 3
与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，OP为半径的⊙O交x轴于点C、D
（点C在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接PE，交x轴于点F，且AF=AP．(1)判断直线m与⊙O的位置关系，并说明理由：
(2)求∠PEB的度数：
(3)若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接EQ交x轴于点G，交⊙O于点H，判断EG⋅EH
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
44．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，对角线AC、BD交于点
H且AC⊥BD，OE⊥BC于点E．
1
(1)求证：OE= AD；
2
(2)求证：AH2+BH2+CH2+DH2为定值．
45．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴
于C、D两点，P点为劣弧B´C上一个动点，且A(−2,0)，E(2,0)．
(1)B´C的度数为 °；
(2)如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 ；(3)如图3，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求线段AQ的长；
PC+PD
(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： 为定值，并求出这个
PA
定值．
【考点10 圆中的最值问题】
46．（2022·广东广州·校考二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=2√3,AD=BC，AD，BC交
于点E，点D为B´C的中点，点G为平面内一动点，且BG⊥EG，则AG的最小值为__________．
1
47．（2022·贵州遵义·统考三模）如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，以BC边的中点O为圆心， BC为半
2
△
1
径作圆，点D是⊙O上一动点，点E是弦CD的中点，连接AE，若BC=4，AB=3，则AE+ BE的最小值是
3
______．
48．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，AB是半径为4的⊙O的弦，且AB=6，将AB沿着弦AB折叠，点
C是折叠后的A´B上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接EO.则EO的最小值为
________．49．（2022·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在
格点上，以点O为圆心OA长为半径的圆交OB于点C．
（Ⅰ）线段BC的长等于______；
（Ⅱ）若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP+DP取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所
示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的（不要求证明）______．
50．（2022·西藏·统考模拟预测）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点
C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是
____________．
