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专题 3-4 二次函数选填压轴 7 类常考热点问题
01 题型·解读
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
2023年四川省达州市中考真题
2023年山东省烟台市中考真题
2023年四川省遂宁市中考真题
2022年辽宁省丹东市中考真题
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
2023年四川省眉山市中考真题
2023年辽宁省营口市中考真题
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
2023年四川省广安市中考真题
2023年辽宁省丹东市中考真题
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
2023·湖北武汉中考真题
2023·湖北黄冈中考真题
2023·青海西宁·中考真题
2023年湖南省邵阳市中考真题
2023年湖北省黄石市中考真题
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
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【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
2023·湖北襄阳中考真题
2023·吉林长春中考真题
2022·四川南充·中考真题
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
2023·湖北十堰中考真题
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
2023年福建省中考真题
2022·湖南湘西中考真题
2022·江苏盐城中考真题
2023年四川省南充市中考真题
2023·浙江衢州中考真题
2023年四川省泸州市中考真题
2022·山东济南中考真题
2022·湖北荆门中考真题
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
2023·四川巴中中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
2023·四川达州·统考二模
广东梅州·九年级统考
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
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02 满分·技巧
二次函数图像与系数a，b，c的关系
如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ， 两点
考法 解决方法 本题结果
a:二次函数图像开口向上时，a＞ a＞0
0；开口向下，则a＜0， b＜0
①a,b,c c＜0
b：和a共同决定了函数对称轴的位
置，“左同右异”
c：c为图像和y轴交点的纵坐标
两个交点：
一个交点：
②
没有交点：
③ 用特殊值进行判断： a＋b＋c＜0
a＋b＋c即为当 时的函数值； a－b＋c＜0
4a－2b＋c为当 时的函数值
只有a，b时，用对称轴代换，消去
∵ ，∴ ，
④ 一个未知数进行判断
只有a，c或只有b，c时，先用对 ∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，
⑤c＋a 称轴代换，消去一个未知数，然后 ∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0
利用④中的结果判断结果
若c的系数不是1，可以先化成1再
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⑥ 进行计算，或这把③中的某个式子 而 ，
中的c的系数变成题里的形式
⑦ am2 ＋ 同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋ am2＋bm≥a＋b
bm和a＋b c
的大小关系 第一个式子是当 x＝m 时的函数
值，第二个式子是当x＝1时的函数
值；由图可知，x＝1时函数取最小
值
⑧(a+c)-b2
⑨ 可以把代数式变成顶点的纵坐标公 假 如 定 点 纵 坐 标 小 于 － 1 ， 则
b 4ac−b2 4ac−b2
和 的 大 式，顶点坐标（− ， ＜−1，4ac−b2＜－4a，b2－
2a 4a 4a
小关系
） 4ac＞4a
⑩若给出
a,c的数量关系可以知道， 可以判断关于a,b，c任意式子的正负
也可以求出以a,b，c为参数的方程的根
的值
即 ，进而可知a,b，c的
关系
03 核心·题型
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
1．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；
③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ．其
中正确的结论是（ ）
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A．①② B．①④ C．②③ D．②④
2023年四川省达州市中考真题
2．如图，拋物线 （ 为常数）关于直线 对称．下列五个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2023年山东省烟台市中考真题
3．如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0合和1之间，
则以下结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则 ；④若关于
的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
2023年四川省遂宁市中考真题
4．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．下列说法：① ；②
；③ （t为全体实数）；④若图象上存在点 和点
，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ．其中正确的
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2022年辽宁省丹东市中考真题
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线
x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；
④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线
的顶点，若CM⊥AM，则a＝ ．其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
6．如图，抛物线 经过点 ， ．下列结论：① ；② ；③若抛物
线上有点 ， ， ，则 ；④方程 的解为 ，
，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2023年四川省乐山市中考真题
7．如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；②
；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的
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结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2023年四川省眉山市中考真题
8．如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时，
；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年辽宁省营口市中考真题
9．如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C．下列说
法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时， ；④当
时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
10．如图，二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
直线 ，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2023年四川省广安市中考真题
11．如图所示，二次函数 为常数， 的图象与 轴交于点
．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则
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；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年辽宁省丹东市中考真题
12．抛物线 与x轴的一个交点为 ，与y轴交于点C，点D是抛物线的
顶点，对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，则以下4个结论：① ；② ，
是抛物线 上的两个点，若 ，且 ，则 ；③在
轴上有一动点P，当 的值最小时，则点P的坐标为 ；④若关于x的方程
无实数根，则b的取值范围是 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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2023武汉市华中科技大学附属中学二模
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x
1 2 1 2 1
＜x＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
2
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
14．如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为
），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点
， 都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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2022黑龙江省牡丹江市中考真题
15．如图，抛物线 的对称轴是 ，并与x轴交于A，B两点，若 ，
则下列结论中：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，
则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
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2023·湖北武汉中考真题
17．抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个
结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
2023·湖北黄冈中考真题
18．已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
下列论中：① ；②若点 均在该二次函数图象上，则
；③若m为任意实数，则 ；④方程 的两实数根
为 ，且 ，则 ．正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
2023·青海西宁·中考真题
19．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线
经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
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③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
2023年湖南省邵阳市中考真题
20．已知 是抛物线 （a是常数， 上的点，现有以下四个结
论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若 ，则 ；
④若 ，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年湖北省黄石市中考真题
21．已知二次函数 的图像经过三点 ，且对称轴为
直线 ．有以下结论：① ；② ；③当 ， 时，有
；④对于任何实数 ，关于 的方程 必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
22．关于 的二次函数 的结论
①对于任意实数 ，都有 对应的函数值与 对应的函数值相等．
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②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 时， ．
③若 ，对应的 的整数值有 个，则 或 ．
④当 且 时， ，则 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
2023·湖北襄阳中考真题
24．如图，一位篮球运动员投篮时，球从 点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度
与篮球距离出手点的水平距离 之间的函数关系式是 ．下列说法正
确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 ；②篮球出手点距离地面的高度为 ．
2023·吉林长春中考真题
25． 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航
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班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼
仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱
近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米
时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4
米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，
则此时两条水柱相遇点 距地面 米．
2022·四川南充·中考真题
26．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物
线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高
时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高
m时，水柱落点距O点 ．
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
27．已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
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2023·湖北十堰中考真题
28．已知点 在直线 上，点 在抛物线 上，若
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
29．在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线
与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
2023年福建省中考真题
30．已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线
对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
2022·湖南湘西中考真题
31．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折
到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象
有4个交点时，b的取值范围是 ．
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2022·江苏盐城中考真题
32．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范
围是 ．
2023年四川省南充市中考真题
33．抛物线 与x轴的一个交点为 ，若 ，则实数 的取值范围是
( )
A． B． 或
C． D． 或
2023·浙江衢州中考真题
34．已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两点．若点 ，
都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2023年四川省泸州市中考真题
35．已知二次函数 （其中 是自变量），当 时对应的函数值 均为正数，
则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
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2022·山东济南中考真题
36．抛物线 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右
侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 ， 为图
形G上两点，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
2022·湖北荆门中考真题
37．如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m
（m为常数）相交于三个不同的点A（x，y），B（x，y），C（x，y）（x＜x＜x）．设t
1 1 2 2 3 3 1 2 3
＝ ，则t的取值范围是 ．
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
38．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： 等
都是三倍点”，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三
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倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2023·四川巴中中考真题
39．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
与 互为“Y函数”．若函数 的图象与x轴只有一个
交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
2023年四川省乐山市中考真题
40．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
41．如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于点O， ；将 绕点
旋转 得 ，交x轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交x轴于点 ；…如此进行下去，
直至得 ．若 在第10段抛物线 上，则 ．
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2023·四川达州·统考二模
42．如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点 在函数
位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为( )
A．1012 B． C． D．
广东梅州·九年级统考
43．二次函数y= x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，A，A，A，…，A 在y轴的正半轴
0 1 2 3 2023
上，B，B，B，…，B 在二次函数y= x2第一象限的图象上，若△ABA，△ABA，
1 2 3 2023 0 1 1 1 2 2
△ABA，…，△A B A 都是等边三角形，则△A B A 的周长是（ ）
2 3 3 2022 2023 2023 2022 2023 2023
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A．6069 B．6066 C．6063 D．6060
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
44．二次函数 的图象如图．点 位于坐标原点，点 ， ， ，…， 在y轴的正半轴上，
点 ， ， ，…， 在二次函数位于第一象限的图象上，点 ， ， ，…， 在二次
函数位于第二象限的图象上，四边形 ，四边形 ，四边形 ，…，四边
形． 都是菱形， ，则 的
边长为 ，菱形 的周长为 ．
22
