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专题 3-5 二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函
数
01 题型·解读
【题型1】焦点与准线
例题12－1
例题12—2
湘潭市·中考真题
广东深圳·中考真题
四川自贡·中考真题
宜宾·中考真题
山东滨州·中考真题
2023·湖北鄂州中考真题
2022·湖北鄂州中考真题
【题型2】焦半径倒数和为定值
广西南宁·中考真题
【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
2023·湖南怀化中考真题
湖南张家界·中考真题
【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
2023·辽宁鞍山中考真题
2023·黑龙江绥化中考真题
2023·江苏南通中考真题
2023·辽宁锦州中考真题
2023·辽宁盘锦中考真题
【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
2023·广东广州中考真题
2022·吉林中考真题
广东深圳·中考真题
2023·辽宁大连中考真题
2022·四川绵阳中考真题
【题型6】 解答题压轴题纯含参二次函数问题
2023年浙江省绍兴市中考真题
2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题
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2023年浙江省丽水市中考真题
2023年江苏省南通市中考真题
2023年江苏省淮安市中考真题
2022•北京中考真题
2022•安顺中考真题
2022•长沙中考真题
2022•广州中考真题
2022•贵阳中考真题
2022•天津中考真题
2022•嘉兴中考真题
2022•杭州中考真题
2022•连云港中考真题
02 满分·技巧
二次函数的焦点与准线
我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线
上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直
线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内
容，高中内容下放也是中考中所常见的．
我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点 M(x，y)到定点
的距离与它到定直线 的距离相等，则动点 M 形成的图形就叫抛物线
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结论1：对于抛物线 焦点坐标为 ，准线为直线
焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是 只是为了焦点坐标便于计算．
至于形如 的抛物线可化为顶点式 然后通过由 平移来确定
焦点和准线．
结论2：如下图，FM⊥FN．
证明：设 ， ，则 ，
∴ ，
∴FM⊥FN．
结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．
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证明：倍长中线证两次全等．
结论4：记MN与y轴交于点 ， ．
03 核心·题型
【题型1】焦点与准线
例题12－1
1．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点 的距离与到 轴的距离
相等．如图，点 的坐标为 ， 是抛物线 上的一个动点，求 周长的
最小值．
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例题12—2
2．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点
的距离与它到定直线 的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线
(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛
物线的解析式．
(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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湘潭市·中考真题
3．如图，点P为抛物线 上一动点
(1)若抛物线 是由抛物线 通过图像平移得到的，请写出平移的过
程；
(2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为(0，－1)，过点 P 作
于M．
①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，
求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．
广东深圳·中考真题
4．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶
点为D．
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（1）求解抛物线解析式；
（2）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： 作垂线，垂足为E，试问在该抛物
线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理
由．
四川自贡·中考真题
5．如图，已知直线AB与抛物线 相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点
(1)求抛物线C函数表达式；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
到直线 的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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宜宾·中考真题
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线
与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)知 为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与
点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
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山东滨州·中考真题
7．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定
点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使 DFQ的周长最小，并求此时
DFQ周长的最小值及点Q的坐标． △
2023·湖北鄂州中考真题
8．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 型抛物线图象．发现：如图1所示，
该类型图象上任意一点P到定点 的距离 ，始终等于它到定直线l： 的距离
（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，
叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 的中点，
．例如，抛物线 ，其焦点坐标为 ，准线方程为l： ，其
中 ， ．
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【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线 上一点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线 的焦点为F，准线方程为l．直线m： 交y轴于点C，抛
物线上动点P到x轴的距离为 ，到直线m的距离为 ，请直接写出 的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 平移至 ．抛物线
内有一定点 ，直线l过点 且与x轴平行．当动点P在
该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例
如：抛物线 上的动点P到点 的距离等于点P到直线l： 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点 是第二象限内一定点，点P是抛物线 上一动点，当 取最
小值时，请求出 的面积．
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2022·湖北鄂州中考真题
9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，
该类型图象上任意一点M到定点 F（0， ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ 上
的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y
＝﹣ 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ，例如，抛物线y
＝ x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y＝﹣ ．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝ x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．
若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线
段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：
＝ ＝ ．后人把 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝ x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的
黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 ＝ 时，请直接写出△HME的面积值．
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【题型2】焦半径倒数和为定值
广西南宁·中考真题
10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、
B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别
为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：
①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时 的值；
②试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数．
【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
2023·湖南怀化中考真题
11．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．
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(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)设直线 交抛物线于点 、 ，求证：无论 为何值，平行于 轴的直线
上总存在一点 ，使得 为直角．
湖南张家界·中考真题
12．如图，已知二次函数 a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋
b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．
(1)求a值并写出二次函数表达式；
(2)求b值；
(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：
MB＝MC；
(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
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【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
13．如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线
的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．设点M运动的路程为
， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
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2023·辽宁鞍山中考真题
14．如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ， ，垂直于 的直线
从 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线 与 重合时停止运
动，运动过程中 分别交矩形的对角线 于点E，F，以 为边在 左侧作正方形
，设正方形 与 重叠部分的面积为S，直线 的运动时间为ts，则下列图
象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2023·黑龙江绥化中考真题
15．如图，在菱形 中， ， ，动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒 个
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单位长度沿折线 向终点 运动；点 以每秒 个单位长度沿线段 向终点 运动，
当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 秒， 的面积为 个平
方单位，则下列正确表示 与 函数关系的图象是（ ）
A． B． C．
D．
2023·江苏南通中考真题
16．如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线 运动到点
停止，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路径长为 ， 的面积为 ，若
与 的对应关系如图所示，则 的值为（ ）
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A．54 B．52 C．50 D．48
2023·辽宁锦州中考真题
17．如图，在 中， ， ， ，在 中， ， ，
与 在同一条直线上，点C与点E重合． 以每秒1个单位长度的速度沿线段 所
在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时， 停止运动．设运动时间为t秒， 与
重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2023·辽宁盘锦中考真题
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正
半轴上， ， ．点M在菱形的边 和 上运动（不与点A，C重合），过
点M作 轴，与菱形的另一边交于点N，连接 ， ，设点M的横坐标为x，
的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
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A． B．
C． D．
【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
2023·广东广州中考真题
19．如图，在 中， ， ， ，点M是边 上一动点，点D，E
分别是 ， 的中点，当 时， 的长是 ．若点N在边 上，且
，点F，G分别是 ， 的中点，当 时，四边形 面积S的取值范
围是 ．
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2022·吉林中考真题
20．如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，以 的速
度沿边 向终点 匀速运动．以 为一边作 ，另一边 与折线 相交
于点 ，以 为边作菱形 ，点 在线段 上．设点 的运动时间为 ，菱形
与 重叠部分图形的面积为 ．
(1)当点 在边 上时， 的长为 ；（用含 的代数式表示）
(2)当点 落在边 上时，求 的值；
(3)求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
广东深圳·中考真题
21．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点
为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将 OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 ，
点O、B、C的对应点分别为点△ ， ， ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．
记 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
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2023·辽宁大连中考真题
22．如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交于点 ， 为线段 上一
动点（不与点 重合），过点 作 轴交直线 于点 ． 与 的重叠面积为
． 关于 的函数图象如图2所示．
(1) 的长为_______________； 的面积为_______________．
(2)求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
2022·四川绵阳中考真题
23．如图，平行四边形ABCD中，DB＝ ，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E
沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止
运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设
CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF
的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
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【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题
2023年浙江省绍兴市中考真题
24．已知二次函数 ．
(1)当 时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当 时，求 的取值范围．
(2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式．
2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题
25．在二次函数 中，
(1)若它的图象过点 ，则t的值为多少？
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
(3)如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
2023年浙江省丽水市中考真题
26．已知点 和 在二次函数 是常数， 的图像上．
(1)当 时，求 和 的值；
(2)若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
(3)求证： ．
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2023年江苏省南通市中考真题
27．定义：平面直角坐标系 中，点 ，点 ，若 ， ，其中 为常数，
且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
(1)函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”?若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由；
(2)点 与其“ 级变换点” 分别在直线 ， 上，在 ， 上分别取点 ，
．若 ，求证： ；
(3)关于x的二次函数 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在
直线 上，求n的取值范围．
2023年江苏省淮安市中考真题
28．已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图像与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
①则 的值是_________，点 的坐标是_________；
②当 时，借助图像，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 和 的值以
及 的取值范围．
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2022·北京中考真题
29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物
线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
2022·安顺中考真题
30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，
1 1
1），（ ， ），（−√2，−√2），……都是和谐点．
2 2
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
5 5
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
2 2
①求a，c的值；
1
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范
4
围．
2022·长沙中考真题
1 1 M−N
31．若关于x的函数y，当t− ≤x≤t+ 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=
2 2 2
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
2
（2）若函数y= （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
x
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h
的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
2022·广州中考真题
32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
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（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上
4m 4m
时，求G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标．
5 5
2022·贵阳中考真题
33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，
c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，
求二次函数的表达式．
2022·天津中考真题
34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）
和点B．
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（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值
时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴
上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
2022·嘉兴中考真题
35．已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原点O
1 2 2
的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，若点B（1，y ），C（3，y ）在抛物
1 3 1 2
线L 上，且y ＞y ，求n的取值范围．
3 1 2
2022·杭州中考真题
36．设二次函数y ＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
1
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y 的表达式及其图象的对称轴．
1
（2）若函数y 的表达式可以写成y ＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
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（3）设一次函数y ＝x﹣m（m是常数），若函数y 的表达式还可以写成y ＝2（x﹣m）（x﹣m﹣
2 1 1
2）的形式，当函数y＝y ﹣y 的图象经过点（x ，0）时，求x ﹣m的值．
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2022·连云港中考真题
37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平
移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
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