文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模块六 函数压轴
第 12 讲 二次函数压轴专项突破一
（思维导图+9种题型（含20种考向）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
►题型01 二次函数与线段
考向一 斜线段
考向二 线段比
►题型02 二次函数与平行
考向一 平行→k平行
考向二 平行→相似
考向三 证平行
►题型03 二次函数与垂直
考向一 垂直→唯一存在
考向二 垂直→恒成立求参
考向三 垂直→恒存在
►题型04 二次函数与面积计算法
考向一 割补法
考向二 铅垂法
考向三 平行转化法
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
►题型05 二次函数面积转化法
考向一 面积比→高的比
考向二 面积比→底的比
考向三 平行转化面积
考向四 同加减转化面积
►题型06 二次函数与等角
考向一 角度→相似
考向二 角度→三角函数等
考向三 角度→相似
►题型07 二次函数与倍角
考向一 二倍角→减半
考向二 二倍角→加倍
►题型08 二次函数与角的和差
►题型09 二次函数与三角函数
考向一 知三角函数
考向二 求三角函数
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题中。
以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。
【考试重点与难点】
1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求对称
轴，并结合图像分析对称点的位置。
2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意判别式
Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。
3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨的逻辑
思维和全面的分析能力。
4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查学生
对二次函数图像与性质的综合运用能力。
【常见题型】
1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性及弧长
公式，通过构造几何图形求解最短路径。
2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学生灵
二次函数
活运用二次函数的性质和几何知识。
专项突破
3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学生的数
学建模能力和解决实际问题的能力。
4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备较强的
几何直观和逻辑推理能力。
【备考建议】
1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱环节。
通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。
2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错题，避免
重复犯错，提高解题的准确性和效率。
3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练有助于
学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。
4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问题等。
理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用能力。
总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学生可
以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。
02知识导图·思维引航
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
03 核心精讲 · 题型突破
►题型01 二次函数与线段
考向一 斜线段
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在
最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN=2，若
线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点
B(0,−6)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作
PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
考向二 线段比
1
3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线y= (x−1) 2−m(m>0)与x轴交于A、B两点，与y轴
m
交于C点，且AB=8．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连AD交线段BC于点E，且AE=6ED，求点D的坐标；
4．（22-23九年级上·山东泰安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴
y=ax2+bx+c(a>0) x
交于A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴负半轴交于点C，且OC=2OA．
(1)试求抛物线的解析式；
5
(2)如图2，点Q为抛物线上第一象限内一点，过点Q作y轴的平行线，交直线BC于点E，当QE= 时，求
2
Q点的坐标及此时△QCB的面积；
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)如图3，直线y=kx−1与y轴交于点D，与抛物线交于第四象限的点P，与直线BC交于点M，记
PM
t= ，请判断t是否有最大值，如有请求出t取最大值时点P的坐标．
DM
►题型02 二次函数与平行
考向一 平行→k平行
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a
与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=OB．
(1)直接写出a的值；
(2)如图1，点P为第一象限的抛物线上一点，且满足∠BCP=∠ACO，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于点
N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
考向二 平行→相似
1 3
6．（2023·湖北武汉·一模）如图，已知抛物线y= x2− x−n(n>0)与x轴交于A，B两点（A点在B点
2 2
的左边），与y轴交于点C．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，若AB=5，则n的值为______（直接写出结果）；
(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、
P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE:ED=1:4，求n．
考向三 证平行
7．（2021·山东德州·中考真题）小刚在用描点法画抛物线C ：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
1
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C 的一条性质： ；
1
(2)求抛物线C 的解析式；
1
(3)将抛物线C 先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C ；
1 2
1
①若直线y= x+b与两抛物线C ，C 共有两个公共点，求b的取值范围；
2 1 2
②抛物线C 的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，
2
且为C 上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ，求证：
2
AB//DQ．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
►题型03 二次函数与垂直
考向一 垂直→唯一存在
8．（2023·江苏苏州·二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与
C :y=x2+bx+c x A(−1，0)，B(3，0) y
1
轴交于点C．
(1)直接写出抛物线C 的解析式；
1
(2)如图①，有一定度为1的直尺平行于y轴．在点O，B之间平行移动，直尺两长边被线段BC和抛物线
C 截得两线段DE，FG．设点D的横坐标为t，且00)
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
侧），与y轴交点为C，已知A(−1,0)．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线OB上的动点，过点E作EF∥BD，交直线AD于点F，若△≝¿面积
为2，求点E坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线BP关于直线BC的对称直线交抛物线于点Q，过点A
作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为PG，QH，当点P在抛物线上运动时，PG⋅QH
的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．
►题型05 二次函数面积转化法
考向一 面积比→高的比
14．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点
C，其中A(−2,0),C(0,−2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面
积的2倍，求点P的坐标．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考向二 面积比→底的比
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线 与 轴只有一个公共点 ．
C :y=ax2−(2a−1)x−3a+1 x A
1
(1)求a的值；
(2)若将抛物线 向右平移1个单位长度得到抛物线 ，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 ．
C :y=4ax2 C C y B D
2 3 3
①试问：抛物线C 上是否存在这样的点E，使得△BDE∽△ABD？
3
②若直线 与抛物线 交于 ， ，点 关于抛物线 的对称轴的
y=kx−k+1 C P(x ,y ) Q(x ,y ) (x 0）与x轴交于A、B两点，与y轴
交于C，顶点为D．
(1)如图①，若△ABC为直角三角形，求a的值；
(2)如图②，设 与 交于 ，在 的变化过程中， 与 不重合部分的面积比S 的值是
AD BC M a △ABC △ABD ΔMAC
S
ΔMBD
否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；
(3)如图③，若a=2，作OA的中点N，过点N在第二象限内作x轴的垂线段EN=9，以NA、NE为邻边作
矩形ANEF，记矩形ANEF与△ACD重叠部分的面积为S，矩形ANEF以每秒1个单位长度的速度向右运
动，当AF经过D点时，停止运动．设运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．
在运动过程中，S是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值．
18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线 交x轴于点A，B（点A在点B
y=ax2+bx−3(a>0)
左侧），交y轴于点C，且OB=OC=3OA，点D为抛物线上第四象限的动点．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，直线AD交BC于点P，连接AC，BD，若△ACP和△BDP的面积分别为S 和S ，当S −S 的值
1 2 1 2
最小时，求直线AD的解析式．
►题型06 二次函数与等角
考向一 角等→全等
19．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知直线y=x−3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线
y=x2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标；
(2)如图1，点E(2,m)在抛物线上，连接BE，点P在抛物线对称轴左侧，满足∠PBC=∠EBC，请求出
点P的坐标；
(3)如图2，连接BD，CD．
①判断△BCD的形状；
②当∠BCP=∠CBD时，直接写出点P的坐标．
20．（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c过原点O，与x轴正半轴交
于另一点A，且经过点B(−1,−3)．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以BM为对角线作矩形BCMD，BC垂直于y轴，
①当抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围；
②当矩形BCMD内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求m的值；
③如图3，抛物线的顶点为E点，点P是y轴下方、抛物线对称轴上一点，若∠BPE=∠EAP，求P点的坐
标．
考向二 角等→三角函数
21．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点
C(0,5)，顶点为D．O为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，则P点的坐标为_______．
考向三 角等→相似
22．（2024·山西晋中·三模）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于点A(−1,0)，B，与y轴交于点C，作直线BC，点P为第一象限
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
内抛物线上一动点，连接PB，过点C作CQ∥PB，交x轴于点Q．
(1)求点B，C的坐标；
(2)连接PQ，求S 的最大值；
△PBQ
(3)连接AC，当∠PCB=∠ACO时，请直接写出点P的坐标．
►题型07 二次函数与倍角
考向一 二倍角→减半
23．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
y =ax2+bx+c x A B y C
1
OC=OA，AB=4，对称轴为直线l :x=−1，将抛物线y 绕点O旋转180°后得到新抛物线y ，抛物线y
1 1 2 2
与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l ．
2
(1)分别求抛物线y 和y 的表达式；
1 2
(2)如图1，点F的坐标为(−6,0)，动点M在直线l 上，过点M作MN∥x轴与直线l 交于点N，连接FM，
1 2
DN．求FM+MN+DN的最小值；
(3)如图2，点H的坐标为(0,−2)，动点P在抛物线y 上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若
2
存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考向二 二倍角→加倍
2√3
24．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A(−1,0)、B两点，与
3
y轴交于点C，OC=√3OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接PC，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标．
(3)如图2，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，已知点M是线段BC上方抛物线上一点，过点M作
MN∥y轴，交AD于N，在线段AC、AD上分别有两个动点E、F，EF=2，G是EF的中点，当
MN+DN取得最大值时，在线段BC上是否存在一点H，使得HG+HN的值最小？若存在，请求出
HG+HN的最小值；若不存在，请说明理由．
►题型08 二次函数与角的和差
25．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交
于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接PC，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与△BOC相似，请求
出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得∠PBC+∠ACO=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
26．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B
5
两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点
√5
E，求PD+ PE的最大值及此时点P的坐标；
2
√5
(3)将抛物线沿射线BC方向平移√5个单位，在PD+ PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应
2
点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF−∠ABC=45°，请直接写出所有
符合条件的点N的坐标．
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的
左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=3，直线y=x+b经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB=45°+∠BCD，求点D的坐标；
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线y=kx−k−3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的
TG
中点，求 的值．
EF
►题型09 二次函数与三角函数
考向一 知三角函数
28．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
y=ax2+bx+3(a≠0) A(−1,0)
B(3,0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若
存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若
2
tan∠MCN= ，求点M的坐标．
3
考向二 求三角函数
29．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ：
xOy L y=ax2−2ax−3a(a>0)
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛
物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐
标；若不是，请说明理由．
二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要求较高。以下是针对二
次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。
一、基础知识回顾
1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。
2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本
性质。
3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、
圆及平行线、垂直等几何图形的性质。
二、典型题型与解题技巧
1. 求解析式
例题：已知抛物线经过三点，求解析式。
方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。
2. 面积问题
例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。
方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配
方法求最值。
3. 最值问题
例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。
方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线
的距离公式）求解。
4. 与圆相关的问题
例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。
方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。
5. 构造特殊图形
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。
方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐
标。
三、解题策略
1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。
2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极
值问题。
3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。
4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。
通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效
突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。
1．（2025·广西河池·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B(1,0)两点，与y轴交于点C，
对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点P是直线AC上方抛物线上的动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴
y=(2a−1)x2−(2a+2)x+c x
1
于点A，点B，交y轴于点C．直线y= x+2经过于点A、交y轴于点D，CD=1．
2
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求拋物线的解析式；
9
(2)点P在第二象限内抛物线上一个动点，连接PC，PB，△PCB的面积等于 ，求点P的坐标；
2
(3)在（2）的条件下，连接PD，点H为第二象限内抛物线上一动点，连接HA交线段PD于点E，过点P作
HA的垂线交HA于点G，交线段AD于点F，连接EF，HP，当∠PFE=2∠HAD时，求点H坐标．
1
3．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 y=− x+2沿y轴向下平移；5个单位后，正
4
好经过抛物线 y=ax2+8ax+2的顶点C，抛物线与y轴交于点 B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当∠MBC=∠BCO时， 求点 M的坐标．
4．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点
B(0,−4)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，求DP的最大
值及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值．
5．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=−x+6交于A,B两点，点B在x
轴上，过点A作AC⊥x轴于点C，且OC:BC=1:2．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将△AOC沿AB方向平移到△PMN．
①如图2，若 经过点 与 轴交于点 ，求S 的值．
PM C,PN x Q △PCQ
S
△AOC
1
②如图3，直线y= x与抛物线AB段交于点D，与直线AB交于点E，当顶点P在线段AE上移动时，求
2
△MPN与△OBD公共部分面积的最大值．
6．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B(1,3)，又与x轴正半轴相
交于点A，∠BAO=45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M
在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若∠BMP=∠AOB，求点P的坐标；
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，
NC
求证： =cos∠BAO．
MN
24
