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热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1二次函数的图象与性质】
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大
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值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2025·陕西·一模）已知二次函数y=−x2+4ax+5(a>0)，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点(2a,5) D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，得到二次函数开口向下，
顶点坐标为(2a,4a2+5)，对称轴为直线x=2a，可判断B错误；结合a>0可判断A错误；把x=2a代
入解析式可判断C错误；根据对称轴为直线x=2a，a>0可判断D正确．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x2+4ax+5=−(x−2a) 2+4a2+5，
∴二次函数开口向下，顶点坐标为(2a,4a2+5)，对称轴为直线x=2a，故B错误，
∵a>0，
∴4a2+5>5，
∴该函数的最大值大于5，故A错误；
∵当x=2a时，y=−(2a−2a) 2+4a2+5=4a2+5≠5，
∴该函数的图象不经过点(2a,5)，故C错误；
∵a>0，
∴2a>0，
∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确．
故选：D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y= 2 (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )， (5 ，y ) 三点，则
3 1 2 2 3
y ，y ，y 的大小关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据
二次函数的图象与性质可进行求解．
2
【详解】解：由抛物线y= (x−1) 2+c可知：开口向上，对称轴为直线x=1，
3
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
(5 )
∵(−2,y )，(0,y )， ,y ，
1 2 2 3
5 3 3
而1−(−2)=3，1−0=1， −1= ，1< <3
2 2 2
∴点(0,y )离对称轴最近，点(−2,y )离对称轴最远，
2 1
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∴y >y >y ；
1 3 2
故选：D．
3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
【答案】D
【分析】将(0，6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m=3，再
利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将(0，6)代入二次函数解析式y=x2+mx+m2−m得：6=m2−m，解得：m =3，
1
m =−2，
2
b m
∵二次函数y=x2+mx+m2−m，对称轴在y轴左侧，即x=− =− <0，
2a 2
∴m>0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6= ( x+ 3) 2 + 15 ，
2 4
3 15
∴当x=− 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
2 4
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表，
则下列结论正确的是（ ）．
x … −6 −4 −2 0 3
y … −21 −5 3 3 −12
A．当x<−2时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是(−2,3)
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的
性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：x=−2和x=0时的函数值相同，
−2+0
∴对称轴为直线x= =−1，
2
由表格可知：当x<−1时，y随着x的增大而增大，y随x的减小而减小，x>−1时，y随着x的增大而
减小，
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∴抛物线的开口向下，
∵函数图象过点(0,3)和(−2,3)，且函数图象的开口向下，
∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与y轴交于正半轴，与x轴的两个交点分别在x的正半
轴和负半轴上，
∴函数图象过一，二，三，四象限，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1；
∴抛物线的顶点的横坐标为−1，不是−2，
综上：只有选项A正确，符合题意；
故选A．
5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找
出y=6时自变量x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出y=6时自变量x的值，结合
a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．
【详解】解：∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∴二次函数y=x2−2x+3图象的顶点坐标为(1,2)，
∴二次函数y=x2−2x+3在实数范围内的最小值为2，
令y=6，则x2−2x+3=6，
解得：x =3，x =−1，
1 2
∵ a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为6，
∴ a=3或a+2=−1，
∴ a=3或a=−3．
故选：D．
6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m−8
的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（ ）
8 8 8 8
A． <m<3 B． <m≤3 C． ≤m<3 D． ≤m≤3
3 3 3 3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形
结合的思想解答．
首先配方得到y=x2+2x+3m−8=(x+1) 2+3m−9，然后得出抛物线开口向上，对称轴x=−1，顶点
坐标为(−1,3m−9)，然后根据二次函数y=x2+2x+3m−8的图象只经过三个象限，得到3m−8≥0，
3m−9<0求解即可．
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【详解】解：y=x2+2x+3m−8=(x+1) 2+3m−9，
∴抛物线开口向上，对称轴x=−1，顶点坐标为(−1,3m−9)，
∵二次函数y=x2+2x+3m−8的图象只经过三个象限，
∴二次函数y=x2+2x+3m−8的图象经过第一，二，三象限
∴3m−8≥0，3m−9<0
8
∴ ≤m<3．
3
故选：C．
7．（2025·湖北黄石·一模）抛物线y=(x+2) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(2,4) B．(−2,4) C．(2,−4) D．(−2,−4)
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数y=a(x−h) 2+k(a≠0)的性质是解题的关键．
根据抛物线y=a(x−h) 2+k(a≠0)的顶点坐标为(h,k) 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵y=(x+2) 2+4 ，
∴抛物线的顶点坐标是(−2,4)．
故选：B．
【题型2二次函数图象上点的坐标特征】
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y=x2−3
上，那么正方形ABCD的面积是 ．
【答案】36
【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点D的坐标是(m,2m)，点A、
D恰好在抛物线y=x2−3上，得到2m=m2−3，解得，m =3,m =−1（不合题意，舍去），得到
❑1 ❑2
点D的坐标是(3,6)，得到正方形ABCD的边长为6，即可求出正方形ABCD的面积．
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【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y=x2−3上，
1 1 1
∴BO=CO= BC= AD= CD，
2 2 2
∴可设点D的坐标是(m,2m)，
∵点A、D恰好在抛物线y=x2−3上，
∴2m=m2−3，
解得，m =3,m =−1（不合题意，舍去），
❑1 ❑2
∴点D的坐标是(3,6)，
∴正方形ABCD的边长为6，
∴正方形ABCD的面积是36，
故答案为：36
2．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，
点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标
为A(1,1)，B(b,b2)，则AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y
轴于E，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得出AD=CE=1，CD=BE=b，则可得出b2=1+b+1，然
后解方程即可．
【详解】解∶过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵点A、B在抛物线y=x2上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，
∴点A、B的纵坐标为1、b2，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
∴AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，
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∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=1，CD=BE=b，
又OE=CE+CD+OD，
∴b2=1+b+1，
解得b =2，b =−1（不符合题意，舍去）
1 2
∴b的值为2，
故答案为：2．
3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，
且m≠0，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】将点P(m,3)代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点P(m,3)在y=−ax2+2ax+3上，
3=−am2+2am+3，
−
∴
am(m−2)=0，
解得：m=2,m=0(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线y= 1 x2−2x+c过点A ( −3, 9) ，与x轴的正半轴交于点B，与
2 2
y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．
S
△APC
当 的值最小时，点D的坐标为 ．
S
△ADC
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( 15)
【答案】 3,−
2
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的
解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键．
1
利用待定系数法求得抛物线的表达式为y= x2−2x−6，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，
2
过点D作DF∥CE交AE的延长线于点F，则
S
APC =
AP
=
AE
，推导出E
(21
,
9)
、AE=
27
为定
S AD AF 2 2 2
ADC
1 1
值；求得DF的函数表达式为y=x+ a2−3a−6，推导出AF=− (a−3) 2+18，当a=3时，AF的
2 2
S
APC
长最大， 的值最小，进而求得点D的坐标即可．
S
ADC
【详解】解：∵抛物线过点A ( −3, 9) ，代入抛物线y= 1 x2−2x+c得：
2 2
9 1
∴ = ×(−3) 2−2×(−3)+c，解得：c=−6．
2 2
1
∴抛物线的函数表达式为y= x2−2x−6；
2
当x=0时，y=6；当y=0时，解得x=−2或6，
∴B(6,0),C(0,−6)；
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得：
¿，解得：¿，
∴直线CB的函数表达式为y=x−6；
如图：过点A作x轴的平行线交CB的延长线于点E，过点D作DF∥CE交AE的延长线于点F，即
AP AE
= ，
AD AF
∵△APC和△ADC等高，
S AP AE
∴ △APC = = ，
S AD AF
△ADC
∵AE∥x轴，
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9
∴y = y = ，代入直线BC的函数表达式y=x−6得：
E A 2
9 21
=x−6，解得：x= ，
2 2
(21 9)
∴E , ，
2 2
21 27
∴AE= −(−3)= 为定值．
2 2
S
∴要使 APC 的值最小，则AF的长最大．
S
ADC
设直线DF的函数表达式为y=x+b，D ( a, 1 a2−2a−6 ) (0<a<6)，则b= 1 a2−3a−6，
2 2
1
∴直线DF的函数表达式为y=x+ a2−3a−6，
2
9 1 21
令y= ，则x=− a2+3a+ ，
2 2 2
1 21 1
∴AF=− a2+3a+ +3=− (a−3) 2+18，
2 2 2
∴当a=3时，AF的长最大， S △APC 的值最小，此时点D的坐标为 ( 3,− 15) ．
S 2
△ADC
( 15)
故答案为： 3,− ．
2
【题型3 二次函数图象与几何变换】
1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
1．（2025·河南·一模）将二次函数y=x2−2x+3的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长
度，得到抛物线y=ax2+bx+c，则a+b+c=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把y=ax2+bx+c化成顶点式，代数式求值知识点，熟
练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
先把y=x2−2x+3化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，由此
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即可得出a、b、c的值，然后将其代入a+b+c求值即可．
【详解】解：∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∴将二次函数y=x2−2x+3的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的新抛
物线的解析式为：
y=(x−1+2) 2+2−3=(x+1) 2−1=x2+2x，
∴a=1，b=2，c=0，
∴a+b+c=1+2+0=3，
故选：D．
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4x+21的最大值为25，则将此函数平移后可能得
到的函数表达式为：（ ）
A．y=2(x+4) 2+16 B．y=(x+6) 2+20
C．y=−(x−3) 2−5 D．y=−2(x−5) 2−21
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，根据函数的最大值求出a的值，根
据平移后抛物线的开口方向和大小均不变，进行判断即可．
【详解】解：∵y=ax2+4x+21有最大值为25，
4a×21−42
∴a<0， =25，
4a
解得：a=−1，
∵平移后抛物线的开口方向和大小均不变，即a的值不变，
∴将此函数平移后可能得到的函数表达式为：y=−(x−3) 2−5；
故选C．
1 3
3．（2025·河北沧州·一模）已知点P为抛物线C:y= x2− x−2上一点，在透明胶片上描画出包含点P
2 2
的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P′和抛物线C′，如图．已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为
15
，且DP=DP′，则平移得到的点P′的纵坐标为（ ）
8
1 15 23 35
A．− B． C． D．
2 8 8 8
【答案】D
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【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离,再根据DP=DP′，即可求．
【详解】解：∵抛物线C:y=
1
x2−
3
x−2=
1(
x−
3) 2
−
25
，
2 2 2 2 8
25
∴平移前的顶点纵坐标为− ，
8
15
∵平移后的抛物线的顶点纵坐标为 ，
8
15 ( 25)
∴平移的距离为 − − =5，
8 8
∵ DP=DP′，
∴顶点D在线段PP′的垂直平分线上，
15 5 35
∴平移得到的点P′的纵坐标为 + = ．
8 2 8
故答案为：D．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线y=−3(x−2) 2−1通过变换可以得到抛物线y=−3x2+1，以下变换过
程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即
可．
【详解】解：把抛物线y=−3(x−2) 2−1，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到：
y=−3(x−2+2) 2−1+2，即y=−3x2+1，
故选：A．
1
5．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线L:y=ax2− x−2与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧），
2
点A的坐标是(4,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L ，L 与x轴相交于A′、B′两点（点B′在点A′的左侧），
1 1
与y轴相交于点C′，要使S =2S ，求所有满足条件的抛物线L 的函数表达式．
△A′B′C′ △ABC 1
1 1
【答案】(1)y= x2− x−2；
4 2
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1 5 1 5
(2)y= x2− x+4或y= x2+ x+4．
4 2 4 2
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数平移的性质．
1
（1）用待定系数法，将点A的坐标(4,0)代入L:y=ax2− x−2即可求解；
2
1 1
（2）由题可知抛物线y= x2− x−2与y轴的交点为(0,−2)，当抛物线L向左或向右平移时，与y
4 2
轴的交点向上移动， |AB|=|A′B′|，要使S =2S ，则L 与y轴的交点为(0,4)，
△A′B′C′ △ABC 1
1 9 1 9
设平移后，L ：y= (x+m) 2− ，将(0,4)代入y= (x+m) 2− ，解方程即可求出答案．
1 4 4 4 4
1
【详解】（1）解：将点A的坐标(4,0)代入L:y=ax2− x−2，
2
1
得0=42a− ×4−2，
2
1
∴a= ，
4
1 1
∴抛物线L的函数表达式为y= x2− x−2；
4 2
1 1 1 9
（2）解：抛物线y= x2− x−2= (x−1) 2− 与y轴的交点为(0,−2)，
4 2 4 4
当抛物线L向左或向右平移时，
由题可知|AB|=|A′B′|，要使S =2S ，
△A′B′C′ △ABC
则L 与y轴的交点为(0,4)（负值已舍），
1
1 9
设平移后，L ：y= (x+m) 2− ，
1 4 4
1 9
将(0,4)代入y= (x+m) 2− ，
4 4
1 9
得4= m2− ，
4 4
解得m=±5，
1 9 1 5
当m=5时，y= (x+5) 2− = x2+ x+4，
4 4 4 2
1 9 1 5
当m=−5时，y= (x−5) 2− = x2− x+4，
4 4 4 2
1 5 1 5
综上所述，抛物线L 的函数表达式为y= x2− x+4或y= x2+ x+4．
1 4 2 4 2
6．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小
楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些
数据（如下表）：
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滑行时间
0 1 2 3 4
（秒）
滑行距离 0 4.5 14 28.5 48
（米）
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用
平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
(1)由上述信息，设这条曲线的表达式为s=at2+bt+c(a≠0)，求s与t的函数关系式；
(2)若将拋物线s=at2+bt+c(a≠0)先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物
线的表达式．
【答案】(1)s=2.5t2+2t
5( 8) 2 98
(2)s= t− −
2 5 5
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，根据（1）s=2．5t2+2t=
5(
t+
2) 2
−
2
，再结合“左加右减，上加下减”的平移
2 5 5
规律，即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，得¿解得¿；
∴s与t的函数关系式为s=2.5t2+2t．
（2）解：由（1）得，s=2.5t2+2t=
5(
t+
2) 2
−
2
；
2 5 5
5( 2 ) 2 2
所以，新抛物线的表达式为s= t+ −2 − +20；
2 5 5
5( 8) 2 98
即s= t− − ．
2 5 5
7．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以
近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且AB=CD=2m，AB、
CD之间的水平距离BD=8m．绳子最低点与地面的距离为1m．
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(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如
图（2）MN的高度为1.55m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F 对应的函数关系式为
1
y =a(x−2) 2+k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN.
1
(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F 对应的函数关系式为y =0.09(x−5) 2+1.19，将图
2 2
（2）中F ，F 两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象
1 2
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
1 1
【答案】(1)y= x2− x+2
16 2
(2)5
(3)1≤m≤2或4≤m≤5．
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，
函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为x=4，顶点坐标为(4,1)，点A(0,2)，点C(8,2)，设设抛物线
的表达式为：y=a(x−4) 2+1，将点A(0,2)代入y=a(x−4) 2+1求解即可；
（2）根据F 的最低点离地面1.4米，可得k=1.4，F ：y=a(x−2) 2+1.4，将点A(0,2)
1 1
y=a(x−2) 2+1.4可求出抛物线F 的表达式，根据MN的高度为1.55m，令y=1.55，求出横坐标的值，
1
即可求得ON=3，进而得到水平距离DN；
3 7
（3）由于抛物线F ：y = (x−2) 2+ ，抛物线F ：y =0.09(x−5) 2+1.19
1 1 20 5 2 2
的对称轴分别为x=2和x=5，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向
右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x=2+m，x=5+m，由于平移不改变
图形形状和大小，故当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间5≤x≤6必须包含在m≤x≤2+m
或3+m≤x≤5+m区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：（1）如图所示，
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由题意得，
1
抛物线的对称轴为x= ×BD=4，
2
顶点的坐标为：(4,1)，点A(0,2)，点C(8,2)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−4) 2+1，
1
将点A(0,2)代入y=a(x−4) 2+1得：a(0−4) 2+1=2，a= ，
16
1 1 1
∴y= (x−4) 2+1或y= x2− x+2
16 16 2
（2）解：如图所示，
由题知，F 的最低点离地面1.4米，
1
∴k=1.4
∴抛物线F 的表达式为：y=a(x−2) 2+1.4，
1
∵点A在抛物线F 上，
1
∴当x=0时，y=2，
∴4a+1.4=2
∴a=0.15
3 7
则抛物线F 的表达式为：y =0.15(x−2) 2+1.4或y = (x−2) 2+
1 1 1 20 5
∴当y=1.55时，即1.55=0.15(x−2) 2+1.4，
整理得：(x−2) 2=1
∴x =3，x =1（不合题意，舍去）
1 2
∴ON=3，DN=OD−ON=8−3=5（米）．
3 7
（3）解：由（2）题可知，抛物线F ：y = (x−2) 2+ ，抛物线F ：y =0.09(x−5) 2+1.19
1 1 20 5 2 2
的对称轴分别为x=2和x=5，
此时，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x=2+m，x=5+m
如图所示，
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∵平移不改变图形形状和大小，
∴当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤5且2+m≥6，得4≤m≤5，
②3+m≤5且5+m≥6，得1≤m≤2，
由题意知m>0，
综上所述，m的取值范围是1≤m≤2或4≤m≤5．
考向二：二次函数图像与系数关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直
线x=−1，下列结论中正确的是（ ）
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A．b2≥4ac
B．2a+b=0
C．c−a<0
D．若点B(−4,y )，C(1,y )为函数图象上的两点，则y <y
1 2 1 2
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与x轴的交点情况判断A，根据对称轴，
增减性判断B，D，根据抛物线上点的坐标特点判断C．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，选项A不正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，
b
∴x=− =−1，
2a
∴2a−b=0，选项B不正确；
∵点A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，
∴a−b+c>0，
∵b=2a
∴c−a>0，选项C不正确；
B(−4,y )关于直线x=−1的对称点坐标为(2,y )，
1 1
当x>−1时，y随x的增大而减小，2>1，
∴y <y ，选项D正确；
1 2
故选：D．
2．（2025·湖北恩施·一模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称
轴为x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当y<0时，−1<x<5；
⑤若(x ,y )，(x ,y )是抛物线上两点，且x <2<x ，y <y ，则x +x <4． 其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线x=2得出b=−4a，即
可判断①；由图象可得当x=−3时，y=9a−3b+c<0，即可判断②；由图象得出a<0，c>0，从而
可得b=−4a>0，即可判断③；求出图象与x轴的另一个交点为(5,0)，即可判断④；由(x ,y )，
1 1
(x ,y )是抛物线上两点，且x <2<x ，y <y ，得出2−x >x −2，即可判断⑤；采用数形结合的思
2 2 1 2 1 2 1 2
想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，
∴4a+b=0，故①正确；
由图象可得：当x=−3时，y=9a−3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误；
∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴b=−4a>0，
∴8a+7b+2c=−2b+7b+2c=5b+2c>0，故③正确；
∵图象过点(−1,0)，对称轴为x=2，
∴图象与x轴的另一个交点为(5,0)，
由图象可得，当y<0时，x<−1或x>5，故④错误，
∵(x ,y )，(x ,y )是抛物线上两点，且x <2<x ，y <y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴2−x >x −2，
1 2
∴x +x <4，故⑤正确；
1 2
综上所述，正确的有①③⑤；共3个，
故选：B．
3．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的
对称轴为x=1，与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间．下列结论：
1
①b2−4ac<0；②abc<0；③a<− c；
3
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④若x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，则x +x =2；
1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由图象函数与x轴有两个交点，即Δ=b2−4ac>0；由图象得a<0，c>0，由对称轴
b
x=− =1得b=−2a>0，2a+b=0，bc>0，则abc<0；抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，
2a
1
(3,0)两点之间，由对称性知另一个交点在(−1,0)，(0,0)之间，得 y=a−b+c<0，于是a<− c；
3
结合x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，且抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，得出
1 2
x +x
1 2=1，即x +x =2．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用
2 1 2
特殊点是解题的关键．
【详解】解：由图象函数与x轴有两个交点，
即Δ=b2−4ac>0；
故①错误的；
由图象函数的开口向下，得a<0，与y轴交于正半轴，c>0，
b
对称轴x=− =1，b=−2a>0，
2a
则bc>0，
∴abc<0，
故②正确；
抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间，对称轴为x=1，故知另一个交点在(−1,0)，
(0,0)之间，故x=−1时，y=a−b+c<0
1
∴a−(−2a)+c<0，得a<− c，
3
故③正确；
1 c
由a<− c，a<0，c>0知−3< <0，
3 a
∵x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，且抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，
1 2
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x +x
∴得出 1 2=1，
2
即x +x =2．
1 2
故④正确；
故选：C
4．（2024·河南周口·三模）直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到
一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符
合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由一次函数的图象可知a>0，b>0，
则抛物线y=ax2+bx+b与y轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵a>0，b>0，
∴ab>0，
b
∴抛物线y=ax2+bx+b的对称轴直线x=− <0，
2a
即对称轴位于y轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一
3
定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c− =0一定有两个不相等的实数根；④b−a<2．其
2
中，正确结论的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与
系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是
解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a,
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在−1、0之间，
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间，故②错误；
3
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y= 有两个交点，
2
3
∴方程ax2+bx+c− =0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
2
∵抛物线与x轴的另一个交点在−1，0之间，
∴a−b+c<0，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c=2，
∴a−b+2<0，
∴b−a>2．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型6 抛物线与x轴交点问题】
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1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的
解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个
数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法
大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =1 B．x =−3，x =1
1 2 1 2
C．x =−3，x =3 D．x =−3，x =−1
1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题
的关键．由图知，抛物线与x轴交于点(−3,0)，代入y=x2+2x+m求出m的值，再解方程
x2+2x+m=0即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点(−3,0)，
将(−3,0)，代入，则0=9−6+m，
∴ m=−3，
∴原方程为x2+2x−3=0
解得：x=1或x=−3；
故选：B．
2．（2024·陕西西安·一模）抛物线y= 1 x2−bx+b2−c（x为自变量）经过点A (1 −3b,m ) ，
2 2
B(4b+c,m)，且该抛物线与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等
式的解法，利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴是解题的关键．利用抛物线的对称性求得抛物线
的对称轴，进而得到b与c的关系，再利用抛物线与x轴有交点则Δ≥0，列出不等式即可求解．
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【详解】解：∵抛物线y= 1 x2−bx+b2−c（x为自变量）经过点A (1 −3b,m ) ，B(4b+c,m)，
2 2
1
−3b+4b+c
∴对称轴为 2 ，
x=
2
1
−3b+4b+c
−b 2
∴− = ，
1 2
×2
2
1
∴c=b− ，
2
| (1 )| | 1|
∴AB= 4b+c− −3b = 7b+c− =|8b−1|
2 2
∵该抛物线与x轴有交点，
1
∴Δ=(−b) 2−4× (b2−c)≥0，
2
∴2c≥b2，
∴2 ( b− 1) ≥b2 ，即(b−1) 2≤0，
2
又(b−1) 2≥0
∴b=1，
∴AB=7．
故选：D．
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得
出Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．
b b
1
x=− =− =b
【详解】解：∵抛物线y=− x2+bx−b2+2c的对称轴为直线 2a ( 1)
2 2× −
2
∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点
2−3b+4b+c−1
∴ =b，
2
即c=b−1，
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1 1
∴y=− x2+bx−b2+2c=− x2+bx−b2+2b−2，
2 2
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ=b2−4ac≥0，
即b2−4× ( − 1) ×(−b2+2b−2)≥0，
2
即b2−4b+4≤0，即(b−2) 2≤0，
∴b=2，c=b−1=2−1=1，
∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，
∴AB=4b+c−1−(2−3b)=8−(−4)=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)和(1,4)，且抛物线与x轴的其
中一个交点的横坐标m满足3<m<4，那么a的取值可能是（ ）
3
A．−3 B．1 C．2 D．−
4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点(−1,0)和(1,4)代入解析式，求出
b
b=2，根与系数的关系得到2<− =m−1<3，进而求出a的范围，即可．
a
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)和(1,4)，
∴¿，
∴b=2，
∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3<m<4，另一个交点的横坐标为−1，
∴2<m−1<3，
b
∴2<− <3，
a
2
∴−3< <−2，
a
2
∴−1<a<− ；
3
3
故a的取值可能是− ；
4
故选：D．
5．（2025·河南开封·一模）若抛物线y=x2−4x−5与x轴其中一个交点的坐标是(a,0)，则−2a2+8a+15
的值为 ．
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【答案】5
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
若抛物线y=x2−4x−5与x轴其中一个交点的坐标是(a,0)，则−a2+4a=−5，将−2a2+8a+15化
为2(−a2+4a)+15，再整体代入求值．
【详解】解：若抛物线y=x2−4x−5与x轴其中一个交点的坐标是(a,0)，
∴a2−4a−5=0，
∴−a2+4a=−5，
∴−2a2+8a+15=2(−a2+4a)+15=2×(−5)+15=5，
故答案为：5．
6．（2025·宁夏·模拟预测）抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于两点，分别是(x ,0)，(x ,0)，则x +x =
1 2 1 2
．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，与x轴的交点即令二次函数中y=0得到对应的一
−2a
元二次方程．令y=ax2−2ax−3中y=0，再由韦达定理得到x +x = =2即可．
1 2 −a
【详解】解：由题意得令y=ax2−2ax−3中y=0，
∴ax2−2ax−3=0的两根为x ,x ，
1 2
−2a
∴x +x = =2，
1 2 −a
故答案为：2．
【题型7 二次函数与不等式】
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不
等式，根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线y=x2+x+m（m是常数），当x=t时，函数值y小于m，当
x=t−1时，则函数值y的范围是（ ）
A．y<0 B．0<y<m
C．m<y<m+2 D．y>m+1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意和二次函数的性质，可以求得t的取值范围，从而可以求得当x=t−1时，函数值y的取值范围，
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本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=x2+x+m（m是常数)，当x=t时，函数值y小于m，
∴t2+t+m<m，
∴t2+t<0，
∴当t>0时，t<−1，当t<0时，t>−1，
∴−1<t<0，
当x=t−1时，y=(t−1) 2+(t−1)+m=t2−t+m，
∵−1<t<0，
∴0<−t<1，
∴t2−t>0，
∴t2−t+m>m，
∵t2−t= ( t− 1) 2 − 1 ,−1<t<0，
2 4
∴0<t2−t<2，
∴m<t2−t+m<m+2，
即m<y<m+2，
故选：C．
2．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则当y<3时，x的取值范围
是（ ）
A．−1<x<0 B．x<0或x>2
C．0<x<2 D．2<x<3
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的
关键．
先结合图像求出抛物线的对称轴与y轴的交点坐标，再利用函数对称性可得，(0,3)关于对称轴x=1的
对称点是(2,3)，结合图像即可而出结论．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴(0,3)关于对称轴x=1的对称点是(2,3)，
∴当y<3时，x<0或x>2．
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故选：B．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数y =ax2+bx+c与y =kx+m的图象相交于点A(2,0)及
1 2
B(−1,3)，当（ ）时，式子ax2+bx−kx<m−c．
A．x<−1 B．x<2 C．x<−1或x>2 D．−1<x<2
【答案】D
【分析】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键．
根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解．
【详解】解： 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y =kx+m(k≠0)的图象相交于点A(2,0)
1 2
及B(−1,3)，
∵
能使ax2+bx−kx<m−c成立的x的取值范围即使得ax2+bx+c<kx+m的取值范围，结合图象得：
−1<x<2．
∴
故选：D．
4．（2022·江苏徐州·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值
范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−1<x<3 D．x<−1或x>3
【答案】D
【分析】根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，
此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
【详解】解：由图可知，x<−1或x>3时，y>0．
∴则函数值y>0时，x的取值范围是x<−1或x>3，
故选：D．
5．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，则当y<0时，x的取值范
围为（ ）
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x −3 −2 3 4
y −12 m 0 m
A．−1<x<3 B．−2<x<4 C．x<−1或x>3 D．x<−2或x>4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题
是解题的关键．
根据表格信息找出函数值y=0时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案．
−2+4
【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为x= =1，开口向下，
2
∴当y=0时，x=3或x=−1，
∴当y<0时，x的取值范围为x<−1或x>3，
故选C．
3
6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+ 的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，
2
与y轴交于点C，若直线BC的解析式为y=mx+n，则mx≥ax2+bx的解集为（ ）
A．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．0<x<3 D．x≤0或x≥3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟
练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得C点坐标，代入y=mx+n即可得
3 3 3
到n= ，然后由mx≥ax2+bx变形为mx+ ≥ax2+bx+ ，观察图象即可得到答案．
2 2 2
3 3
【详解】解：∵ y=ax2+bx+ 与y轴交于点C，即x=0时，y= ，
2 2
( 3)
∴C 0,
2
又∵点C在直线BC：y=mx+n上，
( 3) 3
将C 0, 代入y=mx+n，得n=
2 2
3
∴直线BC的解析式为y=mx+
2
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观察图象可知，当x<0时，直线BC在抛物线的上面，当0<x<3时，直线BC在抛物线的下面，当
x>3时，直线BC在抛物线的上面，
3 3
∴mx≥ax2+bx，即mx+ ≥ax2+bx+
2 2
观察图象可知，该不等式的解集为：x≤0或x≥3．
故选：D．
7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限
的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax2+c<kx+c的解集为 ．
【答案】0<x<1/1>x>0
【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解ax2+c<kx+c是二次函数值小于一次函数值时自
变量的取值是关键． ax2+c<kx+c即二次函数的图象在一次函数的图象的下边，求自变量x的范围．
【详解】解：由题意得，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象都经过点(0,c)，
∵点A的横坐标为1，
∴关于x的不等式ax2+c<kx+c的解集为0<x<1．
故答案为：0<x<1．
考向四：二次函数的应用
【题型8 利用二次函数的性质求最值】
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步
骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函
数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
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②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
1．（2025·贵州遵义·一模）2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市
场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本
为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（
20≤x≤60，且x为整数）
售价x元/张 30 35 40 45
电影票数量y张 1640 1440 1240 1040
(1)请求出y与x之间的函数表达式；
(2)该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−40x+2840（20≤x≤60，且x为整数）
(2)当售价为x定为35或36时，有最大利润，最大利润是48400元
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数解决实际
问题成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先列出每天的利润w=−40x2+2840x−2000，然后根据二次函数的性质以及实际意义求解即
可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b
把(30,1640),(40,1240)代入y=kx+b得：
¿，解得：¿．
∴y=−40x+2840（20≤x≤60，且x为整数）．
（2）解：每天的利润w=x⋅y−2000
=x(−40x+2480)−2000
=−40x2+2840x−2000
b 2840
∴该函数的抛物线对称轴为：x=− =− =35.5，
2a −80
∵x为整数，
∴当售价为x定为35或36时，有最大利润，
∴w =48400元．
max
2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成
本价为每千克6元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为7元时，
每天售出荔枝950kg；当每千克售价为8元时，每天售出荔枝900kg，通过分析销售数据发现：每天
销售荔枝的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
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(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1300(6≤x≤10)；
(2)每千克售价定为8元时，利润可达到1800元；
(3)当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元．
【分析】（1）该函数经过点(7,950)，(8,900)，利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大，根据利润=销量×单件利润，列出关
于x的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；
（3）设利润为W，可以列出W关于x的函数解析式为W =−50(x−16) 2+5000，根据二次函数的图
象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为x=16，可知当x=10时，所获得的利润最大，把x=10代入
函数解析式求出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点(7,950)，(8,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(7,950) (8,900)代入y=kx+b，
得到：¿，
解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1300(6≤x≤10)；
（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大，
根据题意可得：(x−6)y=1800，
∴(x−6)(−50x+1300)=1800，
整理得：x2−32x+192=0，
分解因式得：(x−8)(x−24)=0，
解得：x =8，x =24，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克10元，
∴每千克售价定为8元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为W，
W =(x−6)(−50x+1300)
=−50x2+1600x−7800
=−50(x−16) 2+5000
∵−50<0，
∴函数开口向下，
∴当x<16时，w随x的增大而增大，
∵6≤x≤10，
∴当x=10时，W有最大值，
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此时W =−50×(10−16) 2+5000=3200，
max
∴当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性
质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润．
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价
为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，
每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天
销售大米的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的
性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
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∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题
的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关
系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该
设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式
是z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
1
【答案】(1)m=− ，n=18；
4
(2)① 14，405；② 400<a≤403.75．
【分析】（1）用待定系数法求出m，n的值即可；
（2）①当12<x≤20，根据利润=(售价−成本)×设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的
性质求出最值；
②当0<x≤20时，w关于x的函数解析式，再画出w关于x的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把x=16时，z=14；x=20时，z=13代入z=mx+n得：
1
¿，解得：m=− ，n=18；
4
1
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，由（1）知，当12<x≤20时，z=− x+18，
4
∴w=(z−10)y，
( 1 )
= − x+18−10 (5x+20)，
4
5 5
=− x2+35x+160=− (x−14) 2+405，
4 4
5
∵− <0，12<x≤20，
4
∴当x=14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0<x≤20时，z=15，
∴w=(15−10)(5x+20=25x+100，
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∴w=¿，
则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x=13，15时，w=403.75，
当x=12，16时，w=400，
∴a的取值范围400<a≤403.75．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分
类讨论是解题的关键．
【题型9 将实际问题转化为二次函数模型】
题型一：利用二次函数解决抛物线形问题
解决此类问题一般步骤：
①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；
②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。
题型二：二次函数在实际生活中的应用
利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范
围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
背景 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
1
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
或“正”服装1件．
生产背
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
景
背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
2 ①“风”服装：24元/件；
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②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
任务 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
1 70
【答案】任务1：y=− x+ ；任务2：w=−2x2+72x+3360(x≥10)；任务3：安排19名工人
3 3
加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有
(70−x−y)人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10)]，然后将2种服装的获利求和即可
得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70−x−y)人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70−x−y)×1=2y，
1 70
整理得：y=− x+ ；
3 3
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10)]，
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∴w=2y×24+(70−x−y)×48+x[100−2(x−10)]，
整理得：w=(−16x+1120)+(−32x+2240)+(−2x2+120x)
∴w=−2x2+72x+3360(x≥10)
任务3：由任务2得w=−2x2+72x+3360=−2(x−18) 2+4008，
∴当x=18时，获得最大利润，
1 70 52
y=− ×18+ = ，
3 3 3
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
53
当x=17时，y= ，不符合题意；
3
51
当x=19时，y= =17，符合题意；
3
∴70−x−y=34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可
获得最大利润．
2．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线
与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4
米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成
为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱
门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树
木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地
域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么
范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(2,m)和(5,m)，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数y =a x2+b x+c 经过点(0,6)，且y =a x2+b x+c 与
1 1 1 1 1 1 1 1
y =a x2+b x+c 的图象均经过(2,0)和(5,0)，则a 的取值范围是________；
2 2 2 2 2
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以O，M为端点的拱门表示原拱门，
EF表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求
此时拱顶到地面的距离h的取值范围．
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7 3 128 25
【答案】（1）x= ；（2）a > ；（3）4<h≤5或 ≤h≤
2 2 5 11 2
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
3 3( 7) 2 27
（2）待定系数法求出y = (x−2)(x−5)= x− − ，
1 5 5 2 20
y =a (x−2)(x−5)=a ( x− 7) 2 − 9a 2 ，由图象可得y 的顶点在y 的下方，即可得出− 9a 2<− 27 ，
2 2 2 2 4 2 1 4 20
求解即可；
( b b2 )
（3）设新拱门抛物线解析式为y=ax2+bx，则抛物线顶点坐标为 − ,− 由题意可得
2a 4a
b b2
− =− ，从而解得b =2，b =0（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为y=ax2+2x，
2a 4a 1 2
1 b2
将B(10,0)代入得，0=102a+10×2，解得a=− ，从而可得− =5，将D(16,10)代入得，
5 4a
11 b2 128
10=162a+16×2，解得a=− ，从而可得− = ；将(25,0)代入得，0=252a+25×2，解
128 4a 11
2 b2 25
得a=− ，从而可得− = ；分别求解即可得解．
25 4a 2
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(2,m)和(5,m)，
2+5 7
∴此抛物线的对称轴为直线x= = ；
2 2
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（2）∵二次函数y =a x2+b x+c 经过(2,0)和(5,0)，
1 1 1 1
∴y =a (x−2)(x−5)，
1 1
将(0,6)代入y =a (x−2)(x−5)可得：a ×(−2)×(−5)=6，
1 1 1
3
∴a = ，
1 5
3 3( 7) 2 27
∴y = (x−2)(x−5)= x− − ，
1 5 5 2 20
∵y =a x2+b x+c 的图象均经过(2,0)和(5,0)，
2 2 2 2
∴y =a (x−2)(x−5)=a ( x− 7) 2 − 9a 2 ，
2 2 2 2 4
∵由图象可得：y 的顶点在y 的下方，
2 1
9a 27
∴− 2<− ，
4 20
3
解得：a > ；
2 5
（3）如图所示，将点F分别向左右两侧平移3个单位得到点B、C，将BC向上平移2+8=10个单位，
矩形ABCD即为大树生长空间．
由题意得，OM=3，MF=10，BF=CF=3
∴B(10,0)，D(16,10)；
设新拱门抛物线解析式为y=ax2+bx
( b b2 )
∴抛物线顶点坐标为 − ,−
2a 4a
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
b b2
∴− =− ，
2a 4a
解得b =2，b =0（不符题意，舍去），
1 2
∴新拱门抛物线解析式为y=ax2+2x
1
将B(10,0)代入得，0=102a+10×2，解得a=−
5
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b2
∴− =5，
4a
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴4<h≤5
11
将D(16,10)代入得，10=162a+16×2，解得a=− ，
128
b2 128
∴− =
4a 11
2
将(25,0)代入得，0=252a+25×2，解得a=−
25
b2 25
∴− =
4a 2
128 25
∴ ≤h≤
11 2
128 25
综上所述，h的取值范围是4<h≤5或 ≤h≤ ．
11 2
3．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的
一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆
（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
查询信
息
如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥
拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC=BD．一根琴弦
处理信
固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8
息
根．记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3
根，…OH为第9根，…
测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦” EF高
测量数
9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m
据
米．
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
解决问
任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值．
题
任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音
谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺
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术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
1
【答案】任务1：y=− x2+25；任务2：琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米；
64
任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
任务1：以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点H为原点，令抛
物线的解析式为y=ax2+25，将点C(−40,0)代入y=ax2+25中即可得出答案；
1
任务2：将y=9代入y=− x2+25即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进
64
而求出m的值；
1
任务3：将y=17代入y=− x2+25出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
64
【详解】解：任务1:
如图，以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点H为原点，
由题意得，O(0,25)，CH=120÷2−20=40，
则点C的坐标为(−40,0)，
令抛物线的解析式为y=ax2+25，
将点C(−40,0)代入y=ax2+25中得，
1600a+25=0(a≠0)，
1
解得：a=− ，
64
1
则抛物线的解析式为y=− x2+25．
64
任务2:∵EF=9（米），
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1
∴将y=9代入y=− x2+25得，
64
x =−32，x =32（舍），
1 2
∴EH=32（米)，
∴CE=40−32=8（米），m=32÷8=4（米），
∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米．
1
任务3：将y=17代入y=− x2+25得，
64
x =−16√2，x =16√2（舍），
1 2
∵−24<−16√2<−20，
∴该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间．
4．（2025·河北·一模）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高
度AB=0.3米．在足球运行时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为
x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：
x/米 0 1 2 3 4 5 6
y/米 0.3 1.7 2.7 3.3 3.5 3.3 2.7
(1)根据数据，球射出后__________米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线对应的函数解析式；
(2)如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点B′，踢球点为A′，A′B′=AB，且踢球后球的运动路线
所在抛物线形状与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地
面的最大距离为2.3米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由．
【答案】(1)4，y=−0.2x2+1.6x+0.3；
(2)可以接到球，见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意和表中数据可知，球射出后4米时，离地面的距离最大3.5米，用待定系数法可求出函
数解析式；
（2）根据题意，当击球员后退1米在点A′踢球时，抛物线对应的函数解析式为y=−0.2(x−3) 2+3.5，
当x=6时，y=−0.2×(6−3) 2+3.5=1.7，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意和表中数据可知，球射出后4米时，离地面的距离最大3.5米，
设该抛物线对应的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意可知，c=0.3，
将(1,1.7),(2,2.7)分别代入y=ax2+bx+0.3中，
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得¿，
解得¿，
该抛物线对应的函数解析式为y=−0.2x2+1.6x+0.3，
故答案为：4；
∴
（2）解：守门员可以接到球，理由如下：
由（1）得y=−0.2x2+1.6x+0.3=−0.2(x−4) 2+3.5，
当击球员后退1米在点A′踢球时，抛物线对应的函数解析式为y=−0.2(x−3) 2+3.5，
当x=6时，y=−0.2×(6−3) 2+3.5=1.7
1.7米<2.3米，
守门员可以接到球．
∵
5．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
∴
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之
队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员
从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，
从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间有怎样的函数
关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下：
水平距离
3 3.5 4 4.5
x(m)
竖直高度 10 11.25 10 n
y(m)
（1）根据表中数据，n=_____，y关于x的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高
度y与水平距离x近似满足函数关系y=−4.5x2+30.6x−40.5．
①用d ，d 分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则d _____ d ；（填“>”“<
1 2 1 2
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”或“=”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空
中调整好入水姿势时，水平距离恰好是4.6米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1）6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；（2）①=；②不会失误，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到n的值；
（2）①将y=0代入两个函数解析式，求出d ，d 的值即可；
1 2
②将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25求出y=5.2，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过(3,10),(4,10)，
3+4
故对称轴x= =3.5
2
∴顶点坐标为(3.5,11.25)
设y关于x的函数解析式为y=a(x−3.5) 2+11.25，
将(3,10)代入，
得10=a(3−3.5) 2+11.25
解得a=−5
故y关于x的函数解析式为y=−5(x−3.5) 2+11.25，
将x=4.5代入，y=−5(4.5−3.5) 2+11.25=6.25，
∴n=6.25，
故答案为：6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
（2）①将y=0代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
解得x=2（舍去）或x=5，
∴d =5，
1
将将y=0代入y=−4.5x2+30.6x−40.5，
9
解得x= （舍去）或x=5，
5
∴d =5，
2
∴d =d ，
1 2
故答案为：=．
②不会失误，理由如下：
将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
即y=−5(4.6−3.5) 2+11.25，
∴y=5.2，
∵5.2>5，
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∴全红婵本次训练不会失误．
6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动
（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球
平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，小
球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标(x,y)，
根据平抛运动可知x，y与时间t的关系如下：¿．已知桌面的高度为100厘米，观测到三个时刻小球的
位置坐标如下表：
t（秒） 1 2 3
x（厘米） 10 20 30
y（厘米） −5 −20 −45
(1)求v和g的值；
(2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式；
(3)小球水平抛出的正前方有一高为20厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱
中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围．
【答案】(1)v=10，g=10
1
(2)y=− x2
20
(3)20厘米<L<40厘米
【分析】本题考查二次函数的应用，
1
（1）根据当t=1时，x=10，代入x=vt；当t=1时，y=−5，代入y=− gt2 ，分别求解即可
2
（2）利用（1）中所求得出¿，即可得出抛物线的解析式；
（3）将y=−80代入（2）中所求解析式即可得出答案；
根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键．
【详解】（1）解：∵当t=1时，x=10，代入x=vt，
得：10=v×1，
∴v=10，
1
∵当t=1时，y=−5，代入y=− gt2 ，
2
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1
得：−5=− g×12 ，
2
∴g=10，
∴v=10，g=10；
（2）∵v=10，g=10，
∴¿，
1
∴y=− x2 ，
20
1
∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为y=− x2 ；
20
（3）∵桌面的高度为100厘米，正方体纸箱的高度为20厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在
y=−80时进入纸箱，
1
∴将y=−80代入y=− x2 ，
20
解得：x=40或x=−40（负值不符合题意，舍去），
∵正方体纸箱的高度为20厘米，
∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：40−20=20（厘米），
∴纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围为20厘米<L<40厘米．
7．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A
处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单
位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 19 36 51 64 75 …
y/cm
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出v与x的函数图象、y与x的函数图象；
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任务一：描点画图
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象；
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函
数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出v
与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向
右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围．
1 1
【答案】（1）见详解；（2）v=− x+10；y=− x2+10x；（3）n>64
2 4
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与
二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）假定经过t秒小球追上小电动车得到关于t的一元二次方程，令Δ<0，得到关于n的不等式，解不
等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出v与x的函数图象如下：
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（2）由（b）中图象可知：v与x的函数关系为一次函数关系，
∴设v=kx+c，代入(0,10)，(2,9)得：
¿，
解得：¿，
1
∴v与x的函数关系为v=− x+10；
2
设y=ax2+bx代入(2,19)，(4,36)得：
¿，
所得：¿，
1
∴y与x的函数关系式为y=− x2+10x；
4
（3）假定经过t秒小球追上小电动车，
1
∴− t2+10t=n+2t，
4
1
∴
t2−8t+n=0．
4
1
由题意：Δ=(−8) 2−4× n<0，
4
∴n>64．
∴若黑球不能撞上小车，则n的取值范围为n>64．
故答案为：n>64．
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（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到
的新抛物线的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+3) 2+2 B．y=2(x+3) 2−2
C．y=2(x−3) 2+2 D．y=2(x−3) 2−2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．根据函数平
移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线
的函数解析式为，
y=2(x−3) 2−2，
故选：D．
2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线y=x2+(m+2)x+m，当x=2时，y>0，且当x<−2时，y随x的
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− <m≤2 B．m≥2 C．m>− D．− <m<0
3 3 3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8
当x=2时，y>0得到4+2(m+2)+m>0，则m>− ；当x<−2时，y随x的增大而减小，则
3
m+2
− ≥−2，即可求解．
2
【详解】解：当x=2时，y>0，
∴4+2(m+2)+m>0，
8
解得：m>− ，
3
∵当x<−2时，y随x的增大而减小，
m+2
∴− ≥−2，
2
∴m≤2，
8
∴− <m≤2，
3
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故选：A．
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数y=ax2+(2a−3)x+a−1(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
则实数a的取值范围为（ ）
3 3 9
A．a> B．a≥ C．0<a<2 D．1≤a<
2 2 8
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，开口向
上，而且与y轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+(2a−3)x+a−1图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x ,x ，由题意可得
1 2
¿
9
解得1≤a< ．
8
故选：D．
4．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数y=2x2+1，下列说法错误的是（ ）
A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为(0,1)
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶
点坐标为(0,1)，进而得到当x<0时，y随x增大而减小，由此即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=2x2+1，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,1)，最小值为1，
∴A选项错误，符合题意；
当x=0时，y=1，则图象与y轴的交点坐标为(0,1)，故B选项正确；
∴当x<0时，y随x增大而减小，故C选项正确；
∵对称轴为y轴，故D选项正确．
故选：A．
5．（2025·河南濮阳·一模）若A(−2,y )，B(0,y )，C(3,y )为二次函数y=−x2+4x+m的图象上的三
1 2 3
点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的
关键．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，判断y 、y 、y 的大小即可．
1 2 3
【详解】解：∵y=−x2+4x+m=−(x−2) 2+4+m，
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∴抛物线的开口向下，对称为直线x=2，
∴当x<2时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增大而减小，
∵C(3,y )关于直线x=2的对称点坐标为(1,y )，
3 3
∵A(−2,y )，B(0,y )，又−2<0<1<2，
1 2
∴y <y <y ．
1 2 3
故选：C．
6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列结论正确的是（）
x ⋯ −4 −2 0 2 4 6 ⋯
y ⋯ −11 9 21 25 21 9 ⋯
A．当x<0时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第一，二，三象限 D．图象的对称轴为x=−2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，将(−2,9),(0,21),(2,25)代入
y=ax2+bx+c，得到y=−x2+4x+21=−(x−2) 2+25于是得到对称轴为直线x=2，图象的开口向
下，当x<0时，y的值随x的值减小而减小，由图象可知，函数图象经过第一、二、三、四象限，即可
得到D、B、C错误，不符合要求，A正确，符合要求，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与
性质是解题的关键．
【详解】解：将(−2,9),(0,21),(2,25)代入y=ax2+bx+c，得：
¿，
解得，¿ ，
∴y=−x2+4x+21=−(x−2) 2+25，
∴对称轴为直线x=2，图象的开口向下，当x<0时，y的值随x的值减小而减小，
∵函数图象的顶点坐标为：(2,25)，与y轴的交点坐标为：(0,21) ,
∴函数图象经过第一、二、三、四象限，
∴D、B、C错误，不符合要求；A正确，符合要求，
故选：A．
7．（2025·广东潮州·模拟预测）将二次函数y=(x+3) 2的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y=(x−5) 2 B．y=(x+3) 2+8
C．y=(x+11) 2 D．y=(x+3) 2−8
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答
案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
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【详解】解：将二次函数y=(x+3) 2的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是
y=(x+11) 2，
故选：C．
8．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火
箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进
一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火
箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的
水平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离
0 3 4 10 15 20 22 27
x(m)
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
y(m)
你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（ ）
A．5米 B．9米 C．4米 D．8米
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后再把
x=5代入函数解析式求出y值即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式y=ax2+bx(a≠0)，
由表格得抛物线的顶点坐标为(15,9)，
则¿，解得¿，
1 6
则抛物线的表达式y=− x2+ x，
25 5
1 6
由题意知x=5，则y=− ×52+ ×5=5，
25 5
那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．
故选：A
9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且
a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2<4ac，②abc>0，③3a+c>0，④
4a+2b+c>0，⑤当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
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A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a
的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，
进而对所得结论进行判断，熟知二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物
线与y轴的交点确定是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故①不符合题意；
②由图象可知：a>0，c<0，
b
∵− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故②正确，符合题意；
③当x=−1时，y=a−b+c=a−(−2a)+c>0，
∴3a+c>0，故③符合题意；
④当x=2时，y=4a+2b+c<0，故④不符合题意；
⑤由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意，
故选：D．
10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，
C(3,−1)．抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图
象G．若直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
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2 2
A．k>2或k<− B．− <k<0或0<k<2
3 3
C．k>1或k<−3 D．k>1或k<−3或k=−2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为y=(x−1) 2，再求出抛物线与正方
形边长另一个交点为E(−1,4)，再根据直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2过定点F(2,2)，结合函数图象
解题即可．
【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为E，
，
∵正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，C(3,−1)，
∴D(3,4)，
∵抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−1) 2，
把D(3,4)代入得到4=a(3−1) 2，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−1) 2，
当y=(x−1) 2=4时，解得x =3,x =−1，
1 2
∴E(−1,4)，
∵直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2，
∴直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2过定点F(2,2)，
当x=2时y=(x−1) 2=(2−1) 2=1<2，
∴直线y=kx−2k+2(k≠0)与y=(x−1) 2必有两个交点，
∵将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象G，直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯
一交点，
∴当x=3时，抛物线过D(3,4)，y=kx−2k+2>4，即3k−2k+2>4，解得k>2，
2
当x=−1时，抛物线过E(−1,4)，y=kx−2k+2>4，即−k−2k+2>4，解得k<− ，
3
2
综上所述，k>2或k<− ，
3
故选：A．
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11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动
1
过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+bx+c，当实心球运
8
动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为 米．
【答案】8
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与x轴交点问题，熟练掌
握二次函数的顶点式和二次函数与x轴交点求法是解题的关键．先利用顶点B(3,3.125)结合顶点式得
1 1 3
出y=− (x−3) 2+3.125=− x2+ x+2，再令y=0，即可求解．
8 8 4
【详解】解：∵当实心球运动到点B(3,3.125)时达到最高点，且抛物线函数解析式为
1
y=− x2+bx+c，
8
1 1 3
∴抛物线函数解析式为y=− (x−3) 2+3.125=− x2+ x+2，
8 8 4
1 3
令y=0，得− x2+ x+2=0，
8 4
解得：x =8，x =−2，
1 2
∴C(8,0)，
∴实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为8米，
故答案为：8．
12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点P(x ,y )，Q(x ,y )为二次函数y=x2−mx+m+2图象上两点，
1 1 2 2
当x<1时，二次函数y随x增大而减小，若−2≤x ≤m+1，−2≤x ≤m+1时，|y −y |≤16恒成立，
1 2 1 2
则m的取值范围是 ．
【答案】2≤m≤4
1
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴x= m，再根据二次函数的性
2
m
质得到 ≥1，即得m≥2，又根据二次函数的性质可得当x=−2时，y有最大值，最大值为y=3m+6，
2
1 1
当x= m时，y有最小值，最小值为y=− m2+m+2，得到
2 4
|y −y | =3m+6− ( − 1 m2+m+2 ) = 1 m2+2m+4，由|y −y |≤16即可得到
1 2最大值 4 4 1 2
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1
m2+2m+4≤16，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
4
【详解】解：∵y=x2−mx+m+2，
1
∴抛物线的对称轴为直线x= m，
2
∵a=1>0，
m
∴抛物线开口向上，当x< 时，y随x增大而减小，
2
又∵当x<1时，二次函数y随x增大而减小，
m
∴ ≥1，
2
∴m≥2，
当x=−2时，y=4+2m+m+2=3m+6，
1
∵ m<m+1，
2
∴在−2≤x≤m+1中，
当x=−2时，y有最大值，最大值为y=3m+6，
当x= 1 m时，y有最小值，最小值为y= (1 m ) 2 −m· 1 m+m+2=− 1 m2+m+2，
2 2 2 4
∴当−2≤x ≤m+1，−2≤x ≤m+1时，
1 2
|y −y | =3m+6− ( − 1 m2+m+2 ) = 1 m2+2m+4，
1 2最大值 4 4
∵|y −y |≤16恒成立，
1 2
1
∴
m2+2m+4≤16，
4
1
画出函数y= m2+2m+4和y=16的图象如图所示，
4
1
由图象可得，当
m2+2m+4≤16时，−12≤m≤4，
4
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
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13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建
立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA=9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，
碗中汤面的水平宽度为 cm
【答案】16
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键．
1
根据题意得抛物线过点(14,9.8)，设抛物线解析式为y=ax2，代入得9.8=a×142，求出a= ，得到
20
1 1
抛物线的解析式为y= x2 ，令3.2= x2 ，求出x的值，即可得到答案．
20 20
【详解】解：根据题意得抛物线过点(14,9.8)，
设抛物线解析式为y=ax2，
∴ 9.8=a×142，
1
∴a= ，
20
1
∴抛物线的解析式为y= x2 ，
20
∵9.8−6.6=3.2cm，
1
令3.2= x2 ，
20
解得x=±8，
碗中汤面的水平宽度为8×2=16cm，
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故答案为：16 ．
14．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数y=3x2−6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为 ．
【答案】m≤3
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到Δ=(−6) 2−4×3×m≥0，
然后解不等式即可
【详解】解：根据题意得，Δ=(−6) 2−4×3×m≥0，
解得，m≤3，
所以，m的取值范围为m≤3，
故答案为：m≤3
15．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y =mx+n(m≠0)的图
1 2
象，当y >y 时，x的取值范围是 ．
1 2
【答案】x<−2或x>1
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可．
【详解】解：观察图象得：当x<−2或x>1时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴当y >y 时，x的取值范围是x<−2或x>1
1 2
故答案为：x<−2或x>1
16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是
2
由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
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(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =− (x−2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合
的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，即
1 2 1
可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，进
1
而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x−2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =− (x−2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即− (x−2) 2+2=0，解得x=6或x=−2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
令y =0.5，即0.5=− (x−2) 2+2，解得：x=2±2√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2√3．
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当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1．
17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该
村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.
（利润=销售额−成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）代入数据，利用待定
系数法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，根
据销售利润=销售每袋土特产的利润×每日的销售量，得到W与x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b（k≠0）
将(15,25)，(20,20)代入y=kx+b，
得¿
解得k=−1，b=40
∴y=−x+40
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40；
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（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，
W =x(40−x)−10(40−x)（0<x<40）
=−x2+50x−400
=−(x−25) 2+225，
当x=25时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
60
