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热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1二次函数的图象与性质】
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大
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值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2025·陕西·一模）已知二次函数y=−x2+4ax+5(a>0)，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点(2a,5) D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，得到二次函数开口向下，
顶点坐标为(2a,4a2+5)，对称轴为直线x=2a，可判断B错误；结合a>0可判断A错误；把x=2a代
入解析式可判断C错误；根据对称轴为直线x=2a，a>0可判断D正确．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x2+4ax+5=−(x−2a) 2+4a2+5，
∴二次函数开口向下，顶点坐标为(2a,4a2+5)，对称轴为直线x=2a，故B错误，
∵a>0，
∴4a2+5>5，
∴该函数的最大值大于5，故A错误；
∵当x=2a时，y=−(2a−2a) 2+4a2+5=4a2+5≠5，
∴该函数的图象不经过点(2a,5)，故C错误；
∵a>0，
∴2a>0，
∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确．
故选：D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y= 2 (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )， (5 ，y ) 三点，则
3 1 2 2 3
y ，y ，y 的大小关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据
二次函数的图象与性质可进行求解．
2
【详解】解：由抛物线y= (x−1) 2+c可知：开口向上，对称轴为直线x=1，
3
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
(5 )
∵(−2,y )，(0,y )， ,y ，
1 2 2 3
5 3 3
而1−(−2)=3，1−0=1， −1= ，1< <3
2 2 2
∴点(0,y )离对称轴最近，点(−2,y )离对称轴最远，
2 1
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∴y >y >y ；
1 3 2
故选：D．
3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
【答案】D
【分析】将(0，6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m=3，再
利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将(0，6)代入二次函数解析式y=x2+mx+m2−m得：6=m2−m，解得：m =3，
1
m =−2，
2
b m
∵二次函数y=x2+mx+m2−m，对称轴在y轴左侧，即x=− =− <0，
2a 2
∴m>0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6= ( x+ 3) 2 + 15 ，
2 4
3 15
∴当x=− 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
2 4
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表，
则下列结论正确的是（ ）．
x … −6 −4 −2 0 3
y … −21 −5 3 3 −12
A．当x<−2时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是(−2,3)
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的
性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：x=−2和x=0时的函数值相同，
−2+0
∴对称轴为直线x= =−1，
2
由表格可知：当x<−1时，y随着x的增大而增大，y随x的减小而减小，x>−1时，y随着x的增大而
减小，
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∴抛物线的开口向下，
∵函数图象过点(0,3)和(−2,3)，且函数图象的开口向下，
∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与y轴交于正半轴，与x轴的两个交点分别在x的正半
轴和负半轴上，
∴函数图象过一，二，三，四象限，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1；
∴抛物线的顶点的横坐标为−1，不是−2，
综上：只有选项A正确，符合题意；
故选A．
5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找
出y=6时自变量x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出y=6时自变量x的值，结合
a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．
【详解】解：∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∴二次函数y=x2−2x+3图象的顶点坐标为(1,2)，
∴二次函数y=x2−2x+3在实数范围内的最小值为2，
令y=6，则x2−2x+3=6，
解得：x =3，x =−1，
1 2
∵ a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为6，
∴ a=3或a+2=−1，
∴ a=3或a=−3．
故选：D．
6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m−8
的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（ ）
8 8 8 8
A． 1)，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标
为A(1,1)，B(b,b2)，则AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y
轴于E，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得出AD=CE=1，CD=BE=b，则可得出b2=1+b+1，然
后解方程即可．
【详解】解∶过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵点A、B在抛物线y=x2上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，
∴点A、B的纵坐标为1、b2，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
∴AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，
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∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=1，CD=BE=b，
又OE=CE+CD+OD，
∴b2=1+b+1，
解得b =2，b =−1（不符合题意，舍去）
1 2
∴b的值为2，
故答案为：2．
3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，
且m≠0，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】将点P(m,3)代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点P(m,3)在y=−ax2+2ax+3上，
3=−am2+2am+3，
−
∴
am(m−2)=0，
解得：m=2,m=0(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线y= 1 x2−2x+c过点A ( −3, 9) ，与x轴的正半轴交于点B，与
2 2
y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．
S
△APC
当 的值最小时，点D的坐标为 ．
S
△ADC
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( 15)
【答案】 3,−
2
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的
解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键．
1
利用待定系数法求得抛物线的表达式为y= x2−2x−6，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，
2
过点D作DF∥CE交AE的延长线于点F，则
S
APC =
AP
=
AE
，推导出E
(21
,
9)
、AE=
27
为定
S AD AF 2 2 2
ADC
1 1
值；求得DF的函数表达式为y=x+ a2−3a−6，推导出AF=− (a−3) 2+18，当a=3时，AF的
2 2
S
APC
长最大， 的值最小，进而求得点D的坐标即可．
S
ADC
【详解】解：∵抛物线过点A ( −3, 9) ，代入抛物线y= 1 x2−2x+c得：
2 2
9 1
∴ = ×(−3) 2−2×(−3)+c，解得：c=−6．
2 2
1
∴抛物线的函数表达式为y= x2−2x−6；
2
当x=0时，y=6；当y=0时，解得x=−2或6，
∴B(6,0),C(0,−6)；
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得：
¿，解得：¿，
∴直线CB的函数表达式为y=x−6；
如图：过点A作x轴的平行线交CB的延长线于点E，过点D作DF∥CE交AE的延长线于点F，即
AP AE
= ，
AD AF
∵△APC和△ADC等高，
S AP AE
∴ △APC = = ，
S AD AF
△ADC
∵AE∥x轴，
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9
∴y = y = ，代入直线BC的函数表达式y=x−6得：
E A 2
9 21
=x−6，解得：x= ，
2 2
(21 9)
∴E , ，
2 2
21 27
∴AE= −(−3)= 为定值．
2 2
S
∴要使 APC 的值最小，则AF的长最大．
S
ADC
设直线DF的函数表达式为y=x+b，D ( a, 1 a2−2a−6 ) (00)个单位长度，平移后的函数图象
1 2
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
1 1
【答案】(1)y= x2− x+2
16 2
(2)5
(3)1≤m≤2或4≤m≤5．
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，
函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为x=4，顶点坐标为(4,1)，点A(0,2)，点C(8,2)，设设抛物线
的表达式为：y=a(x−4) 2+1，将点A(0,2)代入y=a(x−4) 2+1求解即可；
（2）根据F 的最低点离地面1.4米，可得k=1.4，F ：y=a(x−2) 2+1.4，将点A(0,2)
1 1
y=a(x−2) 2+1.4可求出抛物线F 的表达式，根据MN的高度为1.55m，令y=1.55，求出横坐标的值，
1
即可求得ON=3，进而得到水平距离DN；
3 7
（3）由于抛物线F ：y = (x−2) 2+ ，抛物线F ：y =0.09(x−5) 2+1.19
1 1 20 5 2 2
的对称轴分别为x=2和x=5，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向
右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x=2+m，x=5+m，由于平移不改变
图形形状和大小，故当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间5≤x≤6必须包含在m≤x≤2+m
或3+m≤x≤5+m区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：（1）如图所示，
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由题意得，
1
抛物线的对称轴为x= ×BD=4，
2
顶点的坐标为：(4,1)，点A(0,2)，点C(8,2)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−4) 2+1，
1
将点A(0,2)代入y=a(x−4) 2+1得：a(0−4) 2+1=2，a= ，
16
1 1 1
∴y= (x−4) 2+1或y= x2− x+2
16 16 2
（2）解：如图所示，
由题知，F 的最低点离地面1.4米，
1
∴k=1.4
∴抛物线F 的表达式为：y=a(x−2) 2+1.4，
1
∵点A在抛物线F 上，
1
∴当x=0时，y=2，
∴4a+1.4=2
∴a=0.15
3 7
则抛物线F 的表达式为：y =0.15(x−2) 2+1.4或y = (x−2) 2+
1 1 1 20 5
∴当y=1.55时，即1.55=0.15(x−2) 2+1.4，
整理得：(x−2) 2=1
∴x =3，x =1（不合题意，舍去）
1 2
∴ON=3，DN=OD−ON=8−3=5（米）．
3 7
（3）解：由（2）题可知，抛物线F ：y = (x−2) 2+ ，抛物线F ：y =0.09(x−5) 2+1.19
1 1 20 5 2 2
的对称轴分别为x=2和x=5，
此时，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x=2+m，x=5+m
如图所示，
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∵平移不改变图形形状和大小，
∴当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤5且2+m≥6，得4≤m≤5，
②3+m≤5且5+m≥6，得1≤m≤2，
由题意知m>0，
综上所述，m的取值范围是1≤m≤2或4≤m≤5．
考向二：二次函数图像与系数关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直
线x=−1，下列结论中正确的是（ ）
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A．b2≥4ac
B．2a+b=0
C．c−a<0
D．若点B(−4,y )，C(1,y )为函数图象上的两点，则y 0，即b2>4ac，选项A不正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，
b
∴x=− =−1，
2a
∴2a−b=0，选项B不正确；
∵点A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，
∴a−b+c>0，
∵b=2a
∴c−a>0，选项C不正确；
B(−4,y )关于直线x=−1的对称点坐标为(2,y )，
1 1
当x>−1时，y随x的增大而减小，2>1，
∴y 3b；③8a+7b+2c>0；④当y<0时，−10，从而
可得b=−4a>0，即可判断③；求出图象与x轴的另一个交点为(5,0)，即可判断④；由(x ,y )，
1 1
(x ,y )是抛物线上两点，且x <2x −2，即可判断⑤；采用数形结合的思
2 2 1 2 1 2 1 2
想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，
∴4a+b=0，故①正确；
由图象可得：当x=−3时，y=9a−3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误；
∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴b=−4a>0，
∴8a+7b+2c=−2b+7b+2c=5b+2c>0，故③正确；
∵图象过点(−1,0)，对称轴为x=2，
∴图象与x轴的另一个交点为(5,0)，
由图象可得，当y<0时，x<−1或x>5，故④错误，
∵(x ,y )，(x ,y )是抛物线上两点，且x <2x −2，
1 2
∴x +x <4，故⑤正确；
1 2
综上所述，正确的有①③⑤；共3个，
故选：B．
3．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的
对称轴为x=1，与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间．下列结论：
1
①b2−4ac<0；②abc<0；③a<− c；
3
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④若x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，则x +x =2；
1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由图象函数与x轴有两个交点，即Δ=b2−4ac>0；由图象得a<0，c>0，由对称轴
b
x=− =1得b=−2a>0，2a+b=0，bc>0，则abc<0；抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，
2a
1
(3,0)两点之间，由对称性知另一个交点在(−1,0)，(0,0)之间，得 y=a−b+c<0，于是a<− c；
3
结合x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，且抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，得出
1 2
x +x
1 2=1，即x +x =2．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用
2 1 2
特殊点是解题的关键．
【详解】解：由图象函数与x轴有两个交点，
即Δ=b2−4ac>0；
故①错误的；
由图象函数的开口向下，得a<0，与y轴交于正半轴，c>0，
b
对称轴x=− =1，b=−2a>0，
2a
则bc>0，
∴abc<0，
故②正确；
抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间，对称轴为x=1，故知另一个交点在(−1,0)，
(0,0)之间，故x=−1时，y=a−b+c<0
1
∴a−(−2a)+c<0，得a<− c，
3
故③正确；
1 c
由a<− c，a<0，c>0知−3< <0，
3 a
∵x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，且抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，
1 2
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x +x
∴得出 1 2=1，
2
即x +x =2．
1 2
故④正确；
故选：C
4．（2024·河南周口·三模）直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到
一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符
合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由一次函数的图象可知a>0，b>0，
则抛物线y=ax2+bx+b与y轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵a>0，b>0，
∴ab>0，
b
∴抛物线y=ax2+bx+b的对称轴直线x=− <0，
2a
即对称轴位于y轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一
3
定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c− =0一定有两个不相等的实数根；④b−a<2．其
2
中，正确结论的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与
系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是
解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a,
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在−1、0之间，
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间，故②错误；
3
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y= 有两个交点，
2
3
∴方程ax2+bx+c− =0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
2
∵抛物线与x轴的另一个交点在−1，0之间，
∴a−b+c<0，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c=2，
∴a−b+2<0，
∴b−a>2．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型6 抛物线与x轴交点问题】
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1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的
解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个
数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法
大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =1 B．x =−3，x =1
1 2 1 2
C．x =−3，x =3 D．x =−3，x =−1
1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题
的关键．由图知，抛物线与x轴交于点(−3,0)，代入y=x2+2x+m求出m的值，再解方程
x2+2x+m=0即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点(−3,0)，
将(−3,0)，代入，则0=9−6+m，
∴ m=−3，
∴原方程为x2+2x−3=0
解得：x=1或x=−3；
故选：B．
2．（2024·陕西西安·一模）抛物线y= 1 x2−bx+b2−c（x为自变量）经过点A (1 −3b,m ) ，
2 2
B(4b+c,m)，且该抛物线与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等
式的解法，利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴是解题的关键．利用抛物线的对称性求得抛物线
的对称轴，进而得到b与c的关系，再利用抛物线与x轴有交点则Δ≥0，列出不等式即可求解．
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【详解】解：∵抛物线y= 1 x2−bx+b2−c（x为自变量）经过点A (1 −3b,m ) ，B(4b+c,m)，
2 2
1
−3b+4b+c
∴对称轴为 2 ，
x=
2
1
−3b+4b+c
−b 2
∴− = ，
1 2
×2
2
1
∴c=b− ，
2
| (1 )| | 1|
∴AB= 4b+c− −3b = 7b+c− =|8b−1|
2 2
∵该抛物线与x轴有交点，
1
∴Δ=(−b) 2−4× (b2−c)≥0，
2
∴2c≥b2，
∴2 ( b− 1) ≥b2 ，即(b−1) 2≤0，
2
又(b−1) 2≥0
∴b=1，
∴AB=7．
故选：D．
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得
出Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．
b b
1
x=− =− =b
【详解】解：∵抛物线y=− x2+bx−b2+2c的对称轴为直线 2a ( 1)
2 2× −
2
∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点
2−3b+4b+c−1
∴ =b，
2
即c=b−1，
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1 1
∴y=− x2+bx−b2+2c=− x2+bx−b2+2b−2，
2 2
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ=b2−4ac≥0，
即b2−4× ( − 1) ×(−b2+2b−2)≥0，
2
即b2−4b+4≤0，即(b−2) 2≤0，
∴b=2，c=b−1=2−1=1，
∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，
∴AB=4b+c−1−(2−3b)=8−(−4)=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)和(1,4)，且抛物线与x轴的其
中一个交点的横坐标m满足3m+1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意和二次函数的性质，可以求得t的取值范围，从而可以求得当x=t−1时，函数值y的取值范围，
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本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=x2+x+m（m是常数)，当x=t时，函数值y小于m，
∴t2+t+m0时，t<−1，当t<0时，t>−1，
∴−10，
∴t2−t+m>m，
∵t2−t= ( t− 1) 2 − 1 ,−12
C．02．
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故选：B．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数y =ax2+bx+c与y =kx+m的图象相交于点A(2,0)及
1 2
B(−1,3)，当（ ）时，式子ax2+bx−kx2 D．−10时，x的取值
范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−13
【答案】D
【分析】根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，
此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
【详解】解：由图可知，x<−1或x>3时，y>0．
∴则函数值y>0时，x的取值范围是x<−1或x>3，
故选：D．
5．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，则当y<0时，x的取值范
围为（ ）
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x −3 −2 3 4
y −12 m 0 m
A．−13 D．x<−2或x>4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题
是解题的关键．
根据表格信息找出函数值y=0时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案．
−2+4
【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为x= =1，开口向下，
2
∴当y=0时，x=3或x=−1，
∴当y<0时，x的取值范围为x<−1或x>3，
故选C．
3
6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+ 的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，
2
与y轴交于点C，若直线BC的解析式为y=mx+n，则mx≥ax2+bx的解集为（ ）
A．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．03时，直线BC在抛物线的上面，
3 3
∴mx≥ax2+bx，即mx+ ≥ax2+bx+
2 2
观察图象可知，该不等式的解集为：x≤0或x≥3．
故选：D．
7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限
的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax2+cx>0
【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解ax2+c ；（3）4 ；
2 5
（3）如图所示，将点F分别向左右两侧平移3个单位得到点B、C，将BC向上平移2+8=10个单位，
矩形ABCD即为大树生长空间．
由题意得，OM=3，MF=10，BF=CF=3
∴B(10,0)，D(16,10)；
设新拱门抛物线解析式为y=ax2+bx
( b b2 )
∴抛物线顶点坐标为 − ,−
2a 4a
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
b b2
∴− =− ，
2a 4a
解得b =2，b =0（不符题意，舍去），
1 2
∴新拱门抛物线解析式为y=ax2+2x
1
将B(10,0)代入得，0=102a+10×2，解得a=−
5
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b2
∴− =5，
4a
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴4”“<
1 2 1 2
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”或“=”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空
中调整好入水姿势时，水平距离恰好是4.6米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1）6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；（2）①=；②不会失误，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到n的值；
（2）①将y=0代入两个函数解析式，求出d ，d 的值即可；
1 2
②将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25求出y=5.2，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过(3,10),(4,10)，
3+4
故对称轴x= =3.5
2
∴顶点坐标为(3.5,11.25)
设y关于x的函数解析式为y=a(x−3.5) 2+11.25，
将(3,10)代入，
得10=a(3−3.5) 2+11.25
解得a=−5
故y关于x的函数解析式为y=−5(x−3.5) 2+11.25，
将x=4.5代入，y=−5(4.5−3.5) 2+11.25=6.25，
∴n=6.25，
故答案为：6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
（2）①将y=0代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
解得x=2（舍去）或x=5，
∴d =5，
1
将将y=0代入y=−4.5x2+30.6x−40.5，
9
解得x= （舍去）或x=5，
5
∴d =5，
2
∴d =d ，
1 2
故答案为：=．
②不会失误，理由如下：
将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
即y=−5(4.6−3.5) 2+11.25，
∴y=5.2，
∵5.2>5，
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∴全红婵本次训练不会失误．
6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动
（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球
平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，小
球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标(x,y)，
根据平抛运动可知x，y与时间t的关系如下：¿．已知桌面的高度为100厘米，观测到三个时刻小球的
位置坐标如下表：
t（秒） 1 2 3
x（厘米） 10 20 30
y（厘米） −5 −20 −45
(1)求v和g的值；
(2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式；
(3)小球水平抛出的正前方有一高为20厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱
中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围．
【答案】(1)v=10，g=10
1
(2)y=− x2
20
(3)20厘米64
2 4
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与
二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）假定经过t秒小球追上小电动车得到关于t的一元二次方程，令Δ<0，得到关于n的不等式，解不
等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出v与x的函数图象如下：
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（2）由（b）中图象可知：v与x的函数关系为一次函数关系，
∴设v=kx+c，代入(0,10)，(2,9)得：
¿，
解得：¿，
1
∴v与x的函数关系为v=− x+10；
2
设y=ax2+bx代入(2,19)，(4,36)得：
¿，
所得：¿，
1
∴y与x的函数关系式为y=− x2+10x；
4
（3）假定经过t秒小球追上小电动车，
1
∴− t2+10t=n+2t，
4
1
∴
t2−8t+n=0．
4
1
由题意：Δ=(−8) 2−4× n<0，
4
∴n>64．
∴若黑球不能撞上小车，则n的取值范围为n>64．
故答案为：n>64．
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（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到
的新抛物线的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+3) 2+2 B．y=2(x+3) 2−2
C．y=2(x−3) 2+2 D．y=2(x−3) 2−2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．根据函数平
移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线
的函数解析式为，
y=2(x−3) 2−2，
故选：D．
2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线y=x2+(m+2)x+m，当x=2时，y>0，且当x<−2时，y随x的
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− − D．− 0得到4+2(m+2)+m>0，则m>− ；当x<−2时，y随x的增大而减小，则
3
m+2
− ≥−2，即可求解．
2
【详解】解：当x=2时，y>0，
∴4+2(m+2)+m>0，
8
解得：m>− ，
3
∵当x<−2时，y随x的增大而减小，
m+2
∴− ≥−2，
2
∴m≤2，
8
∴− B．a≥ C．00，③3a+c>0，④
4a+2b+c>0，⑤当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
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A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a
的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，
进而对所得结论进行判断，熟知二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物
线与y轴的交点确定是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故①不符合题意；
②由图象可知：a>0，c<0，
b
∵− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故②正确，符合题意；
③当x=−1时，y=a−b+c=a−(−2a)+c>0，
∴3a+c>0，故③符合题意；
④当x=2时，y=4a+2b+c<0，故④不符合题意；
⑤由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意，
故选：D．
10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，
C(3,−1)．抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图
象G．若直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
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2 2
A．k>2或k<− B．− 1或k<−3 D．k>1或k<−3或k=−2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为y=(x−1) 2，再求出抛物线与正方
形边长另一个交点为E(−1,4)，再根据直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2过定点F(2,2)，结合函数图象
解题即可．
【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为E，
，
∵正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，C(3,−1)，
∴D(3,4)，
∵抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−1) 2，
把D(3,4)代入得到4=a(3−1) 2，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−1) 2，
当y=(x−1) 2=4时，解得x =3,x =−1，
1 2
∴E(−1,4)，
∵直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2，
∴直线y=kx−2k+2=(x−2)k+2过定点F(2,2)，
当x=2时y=(x−1) 2=(2−1) 2=1<2，
∴直线y=kx−2k+2(k≠0)与y=(x−1) 2必有两个交点，
∵将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象G，直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯
一交点，
∴当x=3时，抛物线过D(3,4)，y=kx−2k+2>4，即3k−2k+2>4，解得k>2，
2
当x=−1时，抛物线过E(−1,4)，y=kx−2k+2>4，即−k−2k+2>4，解得k<− ，
3
2
综上所述，k>2或k<− ，
3
故选：A．
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11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动
1
过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+bx+c，当实心球运
8
动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为 米．
【答案】8
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与x轴交点问题，熟练掌
握二次函数的顶点式和二次函数与x轴交点求法是解题的关键．先利用顶点B(3,3.125)结合顶点式得
1 1 3
出y=− (x−3) 2+3.125=− x2+ x+2，再令y=0，即可求解．
8 8 4
【详解】解：∵当实心球运动到点B(3,3.125)时达到最高点，且抛物线函数解析式为
1
y=− x2+bx+c，
8
1 1 3
∴抛物线函数解析式为y=− (x−3) 2+3.125=− x2+ x+2，
8 8 4
1 3
令y=0，得− x2+ x+2=0，
8 4
解得：x =8，x =−2，
1 2
∴C(8,0)，
∴实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为8米，
故答案为：8．
12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点P(x ,y )，Q(x ,y )为二次函数y=x2−mx+m+2图象上两点，
1 1 2 2
当x<1时，二次函数y随x增大而减小，若−2≤x ≤m+1，−2≤x ≤m+1时，|y −y |≤16恒成立，
1 2 1 2
则m的取值范围是 ．
【答案】2≤m≤4
1
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴x= m，再根据二次函数的性
2
m
质得到 ≥1，即得m≥2，又根据二次函数的性质可得当x=−2时，y有最大值，最大值为y=3m+6，
2
1 1
当x= m时，y有最小值，最小值为y=− m2+m+2，得到
2 4
|y −y | =3m+6− ( − 1 m2+m+2 ) = 1 m2+2m+4，由|y −y |≤16即可得到
1 2最大值 4 4 1 2
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1
m2+2m+4≤16，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
4
【详解】解：∵y=x2−mx+m+2，
1
∴抛物线的对称轴为直线x= m，
2
∵a=1>0，
m
∴抛物线开口向上，当x< 时，y随x增大而减小，
2
又∵当x<1时，二次函数y随x增大而减小，
m
∴ ≥1，
2
∴m≥2，
当x=−2时，y=4+2m+m+2=3m+6，
1
∵ my 时，x的取值范围是 ．
1 2
【答案】x<−2或x>1
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可．
【详解】解：观察图象得：当x<−2或x>1时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴当y >y 时，x的取值范围是x<−2或x>1
1 2
故答案为：x<−2或x>1
16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是
2
由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
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(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =− (x−2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合
的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，即
1 2 1
可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，进
1
而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x−2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =− (x−2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即− (x−2) 2+2=0，解得x=6或x=−2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
令y =0.5，即0.5=− (x−2) 2+2，解得：x=2±2√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2√3．
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当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1．
17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该
村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.
（利润=销售额−成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）代入数据，利用待定
系数法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，根
据销售利润=销售每袋土特产的利润×每日的销售量，得到W与x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b（k≠0）
将(15,25)，(20,20)代入y=kx+b，
得¿
解得k=−1，b=40
∴y=−x+40
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40；
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（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，
W =x(40−x)−10(40−x)（0
