专题2-7二次函数中的最值问题（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2－7 二次函数中的最值问题 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 题型一 【铅垂高系列】 2023·四川凉山·中考真题 2022·天津·中考真题 2022·湖北襄阳·统考中考真题 2023·湖南娄底·中考真题 2023·湖南中考真题 2023·青海西宁·中考真题 2023·四川广安·中考真题 2023·湖南永州·中考真题 2022·四川广元·中考真题 题型二 【线段和差最值篇】 2023·湖南张家界中考真题 2022·山东淄博·统考中考真题 2022·四川遂宁中考真题 题型三 【构造二次函数模型求最值】 2023·山东东营·中考真题 2023·四川巴中·中考真题 2023·湖南张家界中考真题 2023·山东聊城·中考真题 2022·湖北襄阳中考真题 2023·湖北荆州中考真题 2022·江苏连云港中考真题 2022·湖南岳阳·中考真题 2023·宁夏·中考真题 2023·湖北襄阳中考真题 题型四 【加权线段最值】 2023·四川内江·中考真题 2023·黑龙江绥化·中考真题 题型五 【几何构造最值篇】 2022·天津·统考中考真题 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点 （1） 求抛物线解析式 【答案】 【铅垂高系列】 本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来 （2） （☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， H • 【答案】16 补充二级结论 【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12 设P ， (上面的点减去下面的点) 当 时，PH 取最大值 2，此时△APB 面积为： (AO 是△PBH， △PAH两个三角形高之和) （3） （☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B P F H C O A x 【答案】 【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上 导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大 （4） （★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF 周长和面积的最大值 y y B P B P 45° 45° F F E E C O A x C O A x 【答案】2＋2 和1 【思路分析】△PEF形状固定， （5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求 的最大值 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y B B P P D D H C O A x C O A x 【答案】 【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换 （6） （★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S ，△CDA面积为 1 S，求 的最小值 2 E y y B B P P D D S 1 S 1 S 2 S 2 C O A x C O A x 【答案】 【思路分析】化斜为自 第一步：面积比转换为共线的边之比 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比 （7） （★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD 面积最大值 y • B P • • •( ) • h 1 x C O A h 2 H D 【答案】12 【思路分析】 过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H 推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为 【几何构造最值篇】 （8） （☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧）， 设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y B B x C O E A C O E A x 【答案】2 【思路分析】 特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况 （9） （☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四 边形FMNE周长最小。 y B E' E M F C O N A x F' 【答案】 【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题， （10） （★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B N C' M C O A x 【答案】 【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形 ， 故 ，接下来就是常规的将军饮马了 （11） （★☆）点D为抛物线顶点，直线 AD上有一点 Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得 △BD’Q， ① 求OD’的最小值 ② 连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值 y D B Q D' M A x C O 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y D B Q D' M C O A x E 【答案】①4－ ；② 【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题 （12） （★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA＝OA，过D作 DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值． y B y D B D I C O E A x I x C O E A F 【答案】 【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段 则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA ＝90°，故 ， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【构造二次函数模型求最值】 （13） （☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点， 求矩形PQGH周长的最大值 y B Q P x C G O H A 【答案】 【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽 设 ，则 ，而 P 和 Q 点到对称轴的距离为 ，则 ， PQGH 的 周 长 为 ： （14） （★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值 y B E x C O D A 【答案】3 【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比 设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为： 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （15） （★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的 面积分别为S、S，求S－S 的最大值 1 2 1 2 y B P S 2 D S 1 E x C O A 【答案】 设 ， 则 （16） （★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点， N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM． ① 求n的变化范围 ② 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的 取值范围． y y D D B B M x x C O E A C N O E A 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1） ，（2） 【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型， 【详解】①设M坐标为(1，m) ∵ ， 整理得： ，由 可知， ② ⇒设平移后： 分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点， 此时N点坐标为 ，则 继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点 综上 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【加权线段最值】 （17） （★） 若y轴上有一动点M，求AM＋ BM的最小值及M点坐标 y B G H M C O A x 【答案】 ，M（0，2） 【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可 作MH⊥BC于H，则 ，AG即所求 【法一：等面积】 ，再由相似求出M点坐标 法二： ，再由三角函数求M点坐标 法三：求出AG解析式 （18） （★）若动点 D 从点 A 出发先以V 的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V 的速度向B 1 2 点运动，且V＝ 2V，当运动时间最短时，求点 G 的坐标（V 为定值） 1 2 1 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B C O G 30° A x H 【答案】 【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和 【简析】设运动总时间为t， 以 A 为顶点，在 x 轴下方构造一个 30°的角，作垂线即可进行代换， ，当 时取到最小值． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （19） （☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求 ＋ 的最 小值． y B C' D C O A x 【答案】 【思路分析】通过构造子母型相似代换 ，阿氏圆模型 取点 ，通过SAS可知 ，相似比为2，故 ， ＋ ＝ （20） （★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－ AG的最小值 y D B E 45° C O G 4 1 A x 【答案】 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角 如图，作 于E，易知 ， ， 当G，D，E三点共线时取到最小值，此时 ， ， 题型一 【铅垂高系列】 2023·四川凉山·中考真题 1．如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ， 取得最大值时，求 的 值和 的最大值 2022·广东·统考中考真题 如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ， 点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求该抛物线的解析式； (2)求 面积的最大值，并求此时P点坐标． 2022·天津·中考真题 2．已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相交于点 和点 B． (1)若 ， ①求点P的坐标； ②直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与 相交于点G，当 取得最大值 时，求点M，G的坐标 2022·湖北襄阳·统考中考真题 3．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y ＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； 2023·湖南娄底·中考真题 4．如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C． (1)求b，c的值． (2)点 是抛物线上的动点,当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积 的最大值. 2023·湖南中考真题 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，且与直线 交于 两点（点 在点 的右侧），点 为直线 上的一动点，设点 的横坐 标为 ． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的解析式． (2)过点 作 轴的垂线，与拋物线交于点 ．若 ，求 面积的最大值． 2023·青海西宁·中考真题 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，抛物线经过 点A，B，且对称轴是直线 ． (1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P 作 ，垂足为M．求 的最大值及此时P点的坐标． 2023·四川广安·中考真题 7．如图，二次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 的坐标为 ，对 称轴是直线 ，点 是 轴上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点 在线段 上运动（点 与点 、点 不重合），求四边形 面积的最大值，并求出 此时点 的坐标． 2023·湖南永州·中考真题 8．如图，抛物线 （ ， ， 为常数）经过点 ，顶点坐标为 ，点 为抛物线上的动点， 轴于H，且 ． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线 交 于点 ，求 的最大值； 2022·四川广元·中考真题 9．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当a＝ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求 PAB周长的最小值； △ (3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的 值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 1 10．已知抛物线 y x24 与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接 ，点P在线段 下方的抛 4 BC BC 物线上运动． 3 (1)如图1，连接 PB ， PC ，若 S △PBC  2 ，求点P的坐标． PQ∥y BC PH BC BC PQH (2)如图2，过点P作 轴交 于点Q， 交 于点H，求 周长的最大值． 题型二 【线段和差最值篇】 2023·湖南张家界中考真题 11．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求二次函数的表达式；(2)如图，求 周长的最小值； 2022·四川遂宁中考真题 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其 中点A的坐标为 ，点C的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为 边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为 ，求 周 长的最小值 2022·山东淄博·统考中考真题 13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4） 在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值 题型三 【构造二次函数模型求最值】 2023·山东东营·中考真题 14．如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段 上（点B在点A的左 侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？ 2023·四川巴中·中考真题 15．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和 ，其顶点的横坐标 为 ． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的表达式． (2)若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得 有最大值，并求出最大值． 2023·湖南张家界中考真题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和 点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点． 如图，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面 积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 2023·山东聊城·中考真题 17．如图①，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，连接AC， BC.点P是x轴上任意一点． 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，当点 从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作 ，交AC于点E，作 ，垂足为点D．当m为何值时， 面积最大，并求出最 大值． 2022·湖北襄阳中考真题 18．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y ＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． 在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值． 2023·湖北荆州中考真题 19．已知： 关于 的函数 ． 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线 交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ． 设 的面积为 ， 的面积为 ． ①当点 为抛物线顶点时，求 的面积； ②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明 理由． 2022·江苏连云港中考真题 yx2(m2)xm4 m>2 20．已知二次函数 ，其中 ． O0,0 (1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点A的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y  x 2上运动，平 移后所得函数的图像与 y 轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值． 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·湖南岳阳·中考真题 21．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 经过点 和点 ． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的解析式； (3)如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点 的左侧）． ①求点 和点 的坐标； ②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重合）， 试求四边形 面积的最大值． 2023·宁夏·中考真题 yax2bx3(a0) x A B y C A 22．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标 1,0 x1 是 ，抛物线的对称轴是直线 ． 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使PAPC的值最小．求点P的坐标和PAPC的最小值； M M MN x N BC MN Q (3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ． MQ 2CQ M 依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标． 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD 交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S PAM－S BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？ △ △ 若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 2023·湖北襄阳中考真题 23．在平面直角坐标系中，直线 经过抛物线 的顶点． 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 ． ①求抛物线的解析式并直接写出点 的坐标； ② 时， 的最小值为2，求 的值； ③当 时.动点 在直线 下方的抛物线上，过点 作 轴交直线 于点 ，令 ，求 的最大值． (2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为 .当直线 同时经过点 和（1）中抛物线的顶点 时，设 直线 与抛物线的另一个交点为 ，与 轴的交点为 .若 ，直接写出 的取值范围． 题型四 【加权线段最值】 2023·四川内江·中考真题 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y 轴交于点 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的 平行线交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标； 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·黑龙江绥化·中考真题 25．如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交 于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 题型五 【几何构造最值篇】 2022·天津·统考中考真题 26．已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相交于点 和 点B． 若 ，直线 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动 点，当 的最小值为5时，求点E，F的坐标． 29