文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 3-4 二次函数选填压轴 7 类常考热点问题
01 题型·解读
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
2023年四川省达州市中考真题
2023年山东省烟台市中考真题
2023年四川省遂宁市中考真题
2022年辽宁省丹东市中考真题
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
2023年四川省眉山市中考真题
2023年辽宁省营口市中考真题
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
2023年四川省广安市中考真题
2023年辽宁省丹东市中考真题
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
2023·湖北武汉中考真题
2023·湖北黄冈中考真题
2023·青海西宁·中考真题
2023年湖南省邵阳市中考真题
2023年湖北省黄石市中考真题
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
2023·湖北襄阳中考真题
2023·吉林长春中考真题
2022·四川南充·中考真题
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
2023·湖北十堰中考真题
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
2023年福建省中考真题
2022·湖南湘西中考真题
2022·江苏盐城中考真题
2023年四川省南充市中考真题
2023·浙江衢州中考真题
2023年四川省泸州市中考真题
2022·山东济南中考真题
2022·湖北荆门中考真题
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
2023·四川巴中中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
2023·四川达州·统考二模
广东梅州·九年级统考
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
02 满分·技巧
二次函数图像与系数a，b，c的关系
如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ， 两点，若
考法 解决方法 本题结果
a:二次函数图像开口向上时，a＞ a＞0
0；开口向下，则a＜0， b＜0
①a,b,c b：和a共同决定了函数对称轴的位 c＜0
置，“左同右异”
c：c为图像和y轴交点的纵坐标
两个交点：
一个交点：
②
没有交点：
③ 用特殊值进行判断： a＋b＋c＜0
a＋b＋c即为当 时的函数值； a－b＋c＜0
4a－2b＋c为当 时的函数值
只有a，b时，用对称轴代换，消
∵ ，∴ ，
④ 去一个未知数进行判断
只有a，c或只有b，c时，先用对 ∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，
⑤c＋a 称轴代换，消去一个未知数，然后 ∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0
利用④中的结果判断结果
若c的系数不是 1，可以先化成 1
⑥ 再进行计算，或这把③中的某个式
而 ，
子中的c的系数变成题里的形式
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
⑦ am2 ＋ 同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋ am2＋bm≥a＋b
bm和a＋b c
的大小关系 第一个式子是当 x＝m 时的函数
值，第二个式子是当x＝1时的函
数值；由图可知，x＝1时函数取最
小值
⑧(a+c)-b2
⑨ 可以把代数式变成顶点的纵坐标公 假如定点纵坐标小于－1，
b 4ac−b2 4ac−b2
和 的 大 式，顶点坐标（− ， 则 ＜−1，4ac−b2＜－4a，
2a 4a 4a
小关系
） b2－ 4ac＞4a
⑩若给出
a,c的数量关系可以知道， 可以判断关于a,b，c任意式子的正负
的值
也可以求出以a,b，c为参数的方程的
即 ，进而可知a,b，c的
根
关系
03 核心·题型
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
1．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；
③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ．其
中正确的结论是（ ）
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与 y轴交于正半轴，对称轴在 y轴的左边，可得 ， ，
，故①不符合题意；当 与 时的函数值相等，可得 ，故②符合题意；
当 时函数值最大，可得 ，故③不符合题意；由点 和点 在该图
象上，而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题
意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不符合题意；
∵对称轴为直线 ，
∴当 与 时的函数值相等，
∴ ，故②符合题意；
∵当 时函数值最大，
∴ ，
∴ ；故③不符合题意；
∵点 和点 在该图象上，
而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴ ．故④符合题意；
故选：D．
2023年四川省达州市中考真题
2．如图，拋物线 （ 为常数）关于直线 对称．下列五个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断
①正确；由抛物线的对称轴为 ，得到 ，即可判断②；可知 时和 时的y值相等
可判断③正确；由图知 时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为 可得
，因此 ，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由 得， ，
，
故①正确；
② 抛物线的对称轴为 ，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为 ，可知 时和 时的y值相等．
由图知 时， ，
∴ 时， ．
即 ．
故③错误；
④由图知 时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为 可得 ，
，
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
当 时， ．
由图知 时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B
2023年山东省烟台市中考真题
3．如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0合和1之间，
则以下结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则 ；④若关于
的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出 ，再根据图象
得出当 时， ，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开
口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程 移项
可得 ，根据该方程无实数根，得出抛物线 与直线 没有交点，即可
判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴ ，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，∴ ，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，∴ ，∴ ，
故①正确，符合题意；
②∵ ，∴该抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
当 时， ，把 得：当 时， ，
由图可知：当 时， ，∴ ，
故②不正确，不符合题意；
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 到对称轴的距离为 ， 到对称轴的距离为 ，
∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，∴ ，故③正确，符合题意；
④将方程 移项可得 ，
∵ 无实数根，∴抛物线 与直线 没有交点，
∵ ，∴ ．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．
2023年四川省遂宁市中考真题
4．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．下列说法：① ；②
；③ （t为全体实数）；④若图象上存在点 和点
，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ．其中正确的
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断
④即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，抛物线与y轴交点位于负半轴，
∴ ，
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
故①正确；
由图象可知， ，根据对称轴，得 ，
∴
∴ ，
故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线的最大值为 ，
当 时，其函数值为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③错误；
如图所示， 和点 满足 ，
∴ 和点 关于对称轴对称，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
解得 ，
故④正确；
故选C．
2022年辽宁省丹东市中考真题
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线
x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；
④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的顶点，若CM⊥AM，则a＝ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结
论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设
抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴ ＝ ，
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∴a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，故⑤正确，
故选：D．
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
6．如图，抛物线 经过点 ， ．下列结论：① ；② ；③若抛物
线上有点 ， ， ，则 ；④方程 的解为 ，
，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数图象可知： ， ， ，得出 ，故①不正确；将点 ，
代入，得出： ，再求出 ，故②不正确；根据函数图象可得 ，故③正确；
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把 ， 代入方程 ，得 ，解得 ， ，故④不正确．
【详解】解：根据二次函数图象可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
将点 ， 代入得出： ，
得出： ，
∴ ，
再代入 得出： ，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为 ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
把 ， 代入方程 ，
得
∴ ， ，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
2023年四川省乐山市中考真题
7．如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；②
；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的
结论有（ ）
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】抛物线 经过点 ，且 ，，可以得到 ，
，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出 ，则 ，即
可判断②；由图象可知，当 时， ，即 ，所以有 ，从而可得出
， 即 可 判 断 ③ ； 利 用 ， 再 根 据 ， 所 以
，从而可得 ，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线 的图象开口向上，∴ ，
∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴ ，∴ ，故①正确；
∵ ， ，∴
∴ ，故②正确；由图象可知，当 时， ，即 ，∴
∵ ， ，∴ ，故③正确；∵ ，
又∵ ，∴ ，
∵抛物线 的图象开口向上，∴ ，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，故选：B．
2023年四川省眉山市中考真题
8．如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时，
；其中正确结论的个数为（ ）
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ，根据对称轴为直线
可得 ，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，进而得到当
时， ，由此即可判断②；根据 时， ，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴ ，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，
∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故②正确；
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
由函数图象可知，当 时， ，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，故选D．
2023年辽宁省营口市中考真题
9．如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C．下列说
法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时， ；④当
时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得 ，根据 和点 可
得抛物线的对称轴为直线 ，即可判断②；推出 ，即可判断①；根据函数图象即可判
断③④；根据当 时，抛物线有最大值 ，即可得到 ，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵抛物线与x轴交于点 和点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，故②正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由函数图象可知，当 时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当 时， ，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，即当 时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，抛物线有最大值 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
10．如图，二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
直线 ，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；
将点 代入抛物线解析式并结合 即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定
判别式是否大于零即可判定④；判定点 ， 的对称轴为 ，然后根据抛物线的
对称性即可判定⑤．
【详解】解： 抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，即②错误；
∴ ，即①正确，
二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即 ，故③正确；
∵ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， ，
，
∴ ， ，
∴无法判断 的正负，即无法确定关于x的一元二次方程 的
根的情况，故④错误；
∵
∴点 ， 关于直线 对称
∵点 ， 均在该二次函数图像上，
∴ ，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B．
2023年四川省广安市中考真题
11．如图所示，二次函数 为常数， 的图象与 轴交于点
．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则
；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与 轴交点问题逐项分析判断
即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， .
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边， 在对称轴的右边，如图所示，
【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
.
故②正确.
图象与 轴交于点 ，
， .
.
.
故③正确.
，
.
当 时， ，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
2023年辽宁省丹东市中考真题
12．抛物线 与x轴的一个交点为 ，与y轴交于点C，点D是抛物线的
顶点，对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，则以下4个结论：① ；② ，
是抛物线 上的两个点，若 ，且 ，则 ；③在
轴上有一动点P，当 的值最小时，则点P的坐标为 ；④若关于x的方程
【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
无实数根，则b的取值范围是 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由图可知 ，即可判断①；易得 向上平移 个到位长度得到
，则 的对称轴也为直线 ，根据 ，得出 ，则
离对称轴的距离大于 离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应
点 ，连接 ，交x轴于点P，把 代入 得到 ，根据对称轴得
到 ，则 ，进而得出 ，把 代入 得出 ，用待定系
数法求出直线 的函数解析式为 ，即可判断③；由图可知，当 时，抛物
线 与直线 没有交点，则原方程无实数根，求出 ，结合 ，即可判断
④．
【详解】解：由图可知，
∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①不正确，不符合题意；
∵ 向上平移 个到位长度得到 ，
∴ 的对称轴也为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 离对称轴的距离大于 离对称轴的距离，
∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴ ，故②不正确，不符合题意；
作点C关于x轴对称的对应点 ，连接 ，交x轴于点P，
把 代入 得： ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，则 ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，则 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，故③正确，符合题意；
方程 整理为 ，
∵ ，
由图可知，当 时，抛物线 与直线 没有交点，
则原方程无实数根，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴b的取值范围为 ，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有③，共1个，
故选：A．
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x
1 2 1 2 1
＜x＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
2
【答案】②③④
【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由
方程 有两个根 和 ，且 ，即可判断③；讨论 ，结合根与系
数关系求四个根的和判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则
c＜0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ ＝﹣2， ＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为 ，
∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；
∵抛物线 交x轴于（﹣5，0），（1．0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根 和 ，且 ，则 ，③正确；
若方程 有四个根，设方程 的两根分别为 ，
则 ＝﹣2，可得 ，
设方程 的两根分别为 ，则 ＝﹣2，可得 ，
所以这四个根的和为﹣8，④正确．
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
14．如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为
），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， 都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是
x轴上方的图像，可判断③错误，求出 ， ，结合①②的结论即可判断
出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴ ，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时， ，
∵ ，
∴将 代入 ，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有 ，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时， ，
当x=2时， ，
∵ ，3a+c=0，a<0，
∴ ， ，
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，故④正确
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
15．如图，抛物线 的对称轴是 ，并与x轴交于A，B两点，若 ，
则下列结论中：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x= -
2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；
根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y
＝4a－2b＋c即可判断④.
【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故①错误
②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1
∴点A（－5，0），点B（1，0）
∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0
∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0
故②正确
③抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 ＝－2
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴b＝4a
∵a＋b＋c＝0
∴ 5a＋c＝0
∴c＝－5a
∴9a＋4c＝－11a＜0，
故③正确
④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c，
当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c
整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，
故④正确
故选C
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，
则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在
y轴的左侧可知 ，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知 ，解得
，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－
1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与
直线 的交点情况，根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），
，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直
线 的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2023·湖北武汉中考真题
17．抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个
结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】①根据图象经过 ， ，且抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，判
断出抛物线的开口向下， ，再把 代入 得 ，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 的右侧，得出
，根据 ，即可得出 ，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
根据 ，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 ，把 代入 得
，即 ，求出 ，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 ，
得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过 ， ，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，
则抛物线与x轴的两个交点都在 的左侧，
∵ 中 ，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，故①错误；
②∵ ， ， ，
∴ ，
【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴方程 的两个根的积大于0，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
∴抛物线的顶点在点 的右侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线对称轴在直线 的右侧，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∵ ，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴ ，故③正确；
④方程 可变为 ，
∵方程有两个相等的实数解，
∴ ，
∵把 代入 得 ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，n为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：②③④．
2023·湖北黄冈中考真题
18．已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
下列论中：① ；②若点 均在该二次函数图象上，则
；③若m为任意实数，则 ；④方程 的两实数根
为 ，且 ，则 ．正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【分析】将 代入 ，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据
抛物线的顶点坐标可判断③；根据 的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将 代入 ，可得 ，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线 ，
点 到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线 ，
，
又 ，
，
，
当 时，y取最大值，最大值为 ，
即二次函数 的图象的顶点坐标为 ，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，
与x轴的另一个交点坐标为 ，
【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的图象向上平移一个单位长度，即为 的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在 的左侧，另一个在 的右侧，
若方程 的两实数根为 ，且 ，则 ，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④
2023·青海西宁·中考真题
19．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线
经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】①可得 ，从而可求 ，即可求解；②可得 ，由 ，
可得 ，即可求解；③可判断抛物线也过 ，从而可得方程 的一个
根为 ，可求抛物线 的对称轴为直线 ，从而可得抛物线
与 轴的另一个交点为 ，即可求解；④当 ，当 时， ，
即可求解．
【详解】解：① 直线 经过点 ，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
故①正确；
② ，
由①得 ，
，
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
抛物线 与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当 时，
，
抛物线也过 ，
由 得
方程 ，
方程的一个根为 ，
抛物线 ，
，
抛物线 的对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，
关于x的方程 有两个根 ， ，
故③正确；
④当 ，当 时， ，
故④错误；
故选：B．
2023年湖南省邵阳市中考真题
20．已知 是抛物线 （a是常数， 上的点，现有以下四个结
论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若 ，则 ；
④若 ，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】根据对称轴公式 可判断①；当 时， ，可判断②；根据抛物
线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 ，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线 （a是常数， ，
∴ ，
故①正确；
当 时， ，
∴点 在抛物线上，
故②正确；
当 时， ，
当 时， ，
故③错误；
根据对称点的坐标得到 ，
，
故④错误．
故选B．
2023年湖北省黄石市中考真题
21．已知二次函数 的图像经过三点 ，且对称轴为
直线 ．有以下结论：① ；② ；③当 ， 时，有
；④对于任何实数 ，关于 的方程 必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据二次函数图像的对称轴为 ，且过 ，结合抛物线的对称轴即可求解．
【详解】解： ∵二次函数 的对称轴为 ，且图像经过 ，
∴ ，即 ，
∴点 在抛物线上，
∴ ，故结论①正确；
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由结论①正确可得， ，且 ，则
∴ ，则 ，故结论②正确；
∵当 ， 时，
∴点 离对称轴更近，
当 时， ；当 时， ；故结论③错误；
由 得， ，
∵结论①正确可得， ，结论②正确可得， ，
∴ ， ，
∴ ，整理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；
综上所述，正确的有 ， 个，
故选： ．
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
22．关于 的二次函数 的结论
①对于任意实数 ，都有 对应的函数值与 对应的函数值相等．
②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 时， ．
③若 ，对应的 的整数值有 个，则 或 ．
④当 且 时， ，则 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先求出该函数对称轴为直线 ，再得出 和 关于直线 对称，即可
判断①；把 代入 ，求出 ，则当 时，y随x的增大而增大，
得出 ，即可判断②；根据 ，然后进行分类
【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
讨论：当 时，当 时，即可判断③；根据当 且 时，得出y随x的增大而减小
根据 时， ，求出 ，则当 时， ，求出n的值，
即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵ ， ，
∴ ，即 和 关于直线 对称，
∴ 对应的函数值与 对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把 代入 得： ，
解得： ，
∴二次函数表达式为 ，
∵ ，该函数的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②不正确，不符合题意；
③∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
综上： 或 ，故③正确，符合题意；
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④当 且 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
【答案】
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（ 3，0），求出二次函数解析式，再根据
把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过
画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（ 3，0）代入得，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ；
当水面下降，水面宽为8米时，有
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把 代入解析式，得 ；
∴水面下降 米；故答案为：
2023·湖北襄阳中考真题
24．如图，一位篮球运动员投篮时，球从 点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度
与篮球距离出手点的水平距离 之间的函数关系式是 ．下列说法正
确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 ；②篮球出手点距离地面的高度为 ．
【答案】①
【分析】先求 的顶点为 ，再求 时 的值即可判断．
【详解】解：由 的顶点为 ，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为 ，即①正确；
由 当 时， ，即②不正确；
故答案为：①．
2023·吉林长春中考真题
25． 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航
班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼
仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱
近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米
时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4
米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，
则此时两条水柱相遇点 距地面 米．
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移
后的抛物线与 轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
2022·四川南充·中考真题
26．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物
线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高
时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高
m时，水柱落点距O点 ．
【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，
可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点
4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出 ， ，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为 ，
将（4，0）代入可得 ，
解得h=8．
故答案为：8．
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
27．已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的
增大而减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
【详解】解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，
此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
综上所述，a的值为 ．
故答案为：
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2023·湖北十堰中考真题
28．已知点 在直线 上，点 在抛物线 上，若
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点坐标为 ，
求得其坐标的横坐标，结合图象分析出 的范围，根据二次函数的性质得出 ，
进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物
线顶点坐标为
联立
解得： 或
∴ ，
由 ，则 ，对称轴为直线 ，
设 ，则点 在 上，
∵ 且 ，
∴ 点在 点的左侧，即 ， ，
当 时，
对于 ，当 ， ，此时 ，
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：A．
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
29．在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线
与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据抛物线求出对称轴 ， 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的
表达式 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，利用抛物线的性质可知，当 越大，则
抛物线的开口越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标
为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
当抛物线过点 时，
解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，
，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．
【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2023年福建省中考真题
30．已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线
对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的
右侧，且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
2022·湖南湘西中考真题
31．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折
到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象
有4个交点时，b的取值范围是 ．
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解
析式为 ，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，
0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得
到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1，x＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为 ，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程 ，即
有相等的实数解，即
解得 ，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为 ＜b＜﹣1，
故答案为： ．
2022·江苏盐城中考真题
32．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】先判断 ，再根据二次函数的性质可得： ，再利用二
次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解： 点 到 轴的距离小于2，
，
点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．
【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时， ，
的取值范围为 .
2023年四川省南充市中考真题
33．抛物线 与x轴的一个交点为 ，若 ，则实数 的取值范围是
( )
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】根据抛物线有交点，则 有实数根，得出 或 ，分类讨论，分别
求得当 和 时 的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ 有实数根，
∴
即
解得： 或 ，
当 时，如图所示，
依题意，当 时， ，
解得： ，
【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时， ，解得 ，
即 ，
当 时，
当 时， ，
解得：
∴
综上所述， 或 ，故选：B．
2023·浙江衢州中考真题
34．已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两点．若点 ，
都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解： ，
，
点 ， 都在直线 的上方，且 ，
可列不等式： ，
，
可得 ，
设抛物线 ，直线 ，
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
的开口向上，
的解为 ，
根据题意还可列不等式： ，
，
可得 ，
整理得 ，
设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
抛物线 开口向下，
的解为 或 ，
综上所述，可得 ，
故选：C．
2023年四川省泸州市中考真题
35．已知二次函数 （其中 是自变量），当 时对应的函数值 均为正数，
则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴 ，然后分两种情况： 和 ，分别根据二次函
数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数 ，
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴对称轴 ，
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴ ，
∴解得 ；
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴当 时， ，
∴解得 ，
∴ ，
∴综上所述，
当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为 或 ．
故选：D．
2022·山东济南中考真题
36．抛物线 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右
侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 ， 为图
形G上两点，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，
判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当 N点在y轴左侧时，第二种情况，当M
点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式 变形为： ，
即抛物线对称轴为 ，
当x=m-1时，有 ，
当x=m+1时，有 ，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有 ，
∴C点坐标为 ，
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当x=m时，有 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为 ，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有 ，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
或者 ，
由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时符合题意；
此时由图可知： ，
解得 ，
综上所述：m的取值范围为：
2022·湖北荆门中考真题
37．如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m
（m为常数）相交于三个不同的点A（x，y），B（x，y），C（x，y）（x＜x＜x）．设t
1 1 2 2 3 3 1 2 3
＝ ，则t的取值范围是 ．
【答案】 ＜t＜1
【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x+x ＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不
1 2
同的点，可得y＝y＝y＝m，求出x 的范围，进而求出t的范围．
1 2 3 3
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x+x＝2，
1 2
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由一次函数y＝﹣ x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝ ，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x），
3
∴y＝y＝y＝m，2＜m＜3，
1 2 3
∴2＜x＜ ，
3
∴t＝ ＝ ，
∴ ＜t＜1．
故填： ＜t＜1
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
38．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： 等
都是三倍点”，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三
倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在
一个“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两
个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内， 和 至少有一个交点，
令 ，整理得： ，
则 ，解得 ，
，
∴ ，
【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 或
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，c的取值范围是 ，
故选：D．
2023·四川巴中中考真题
39．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
与 互为“Y函数”．若函数 的图象与x轴只有一个
交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
【答案】 或
【分析】根据题意 与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐
标关于y轴对称，再进行分类讨论，即 和 两种情况，求出 与x轴
的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当 时，函数的解析式为 ，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当 时，可得 ，解得 ，
与x轴的交点坐标为 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ；
①当 时，
函数 的图象与x轴只有一个交点，
，即 ，
解得 ，
函数的解析式为 ，
当 时，可得 ，
解得 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2023年四川省乐山市中考真题
40．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得
（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到
，由 得到 ，则 ，由 进一步得到
，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
41．如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于点O， ；将 绕点
旋转 得 ，交x轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交x轴于点 ；…如此进行下去，
直至得 ．若 在第10段抛物线 上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象旋转，总结归纳出据图象的旋转后解析式规律是解题的关键．
根 据 图 象 的 旋 转 变 化 规 律 总 结 归 纳 出 旋 转 后 的 解 析 式 为
，进而求出抛物线 的解析式，再把 代入，求出m的值即可．
【详解】解：∵一段抛物线 ： 与x轴交于点O， ，
∴图象与x轴交点坐标为： ， ，
∵将 绕点 旋转 得 ，交x轴于点
∴ ；
∴ 的解析式为 ，
∵将 绕点 旋转 得 ，交x轴于点 ；
∴ ；
∴ 的解析式为 ，
……
【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 的解析式为 ，
∴ 的解析式为 ，
当 时，
2023·四川达州·统考二模
42．如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点 在函数
位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为( )
A．1012 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得 与 轴的夹角为 ，然后表示出 的解析式，
再与抛物线解析式联立求出点 的坐标，然后求出 的长，再根据正方形的性质求出 ，表示
出 的解析式，与抛物线联立求出 的坐标，然后求出 的长，再求出 的长，然后表示
出 的解析式，与抛物线联立求出 的坐标，然后求出 的长，从而根据边长的变化规律解答
即可．
【详解】解： 是正方形，
与 轴的夹角为 ，
的解析式为 ，
联立方程组得： ，
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 ， ．
点的坐标是： ， ，
；
同理可得：正方形 的边长 ；
依此类推，正方形 的边长是为 ．
故选B．
广东梅州·九年级统考
43．二次函数y= x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，A，A，A，…，A 在y轴的正半轴
0 1 2 3 2023
上，B，B，B，…，B 在二次函数y= x2第一象限的图象上，若△ABA，△ABA，
1 2 3 2023 0 1 1 1 2 2
△ABA，…，△A B A 都是等边三角形，则△A B A 的周长是（ ）
2 3 3 2022 2023 2023 2022 2023 2023
A．6069 B．6066 C．6063 D．6060
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质可得∠AAB=60°，然后表示出AB 的解析式，与二次函数解析式
1 0 1 0 1
联立求出点B 的坐标，再根据等边三角形的性质求出 AA ，同理表示出AB 的解析式，与二次函
1 0 1 1 2
数解析式联立求出点B 的坐标，再根据等边三角形的性质求出AA ，同理求出B 的坐标，然后求
2 1 2 3
出AA ，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求
2 3
得三角形的周长．
【详解】解：∵△ABA 是等边三角形，
0 1 1
∴∠AAB=60°，
1 0 1
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AB 的解析式为y= ，
0 1
联立
解得： 或 ，
∴B（ ， ），
1
∴等边 ABA 的边长为 ，
0 1 1
△
同理，AB 的解析式为y= ，
1 2
联立 ，
解得 或 ，
∴B（ ，2），
2
∴等边 ABA 的边长AA=2×（2 1）=2，
1 2 2 1 2
同理可△求出B（ ， ），
3
所以，等边 ABA 的边长AA=2×（ -1-2）=3，
2 3 3 2 3
…， △
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
A B A 的边长为2023，
2022 2023 2023
∴△A B A 的周长是6069．
2022 2023 2023
△
故选：A．
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
44．二次函数 的图象如图．点 位于坐标原点，点 ， ， ，…， 在y轴的正半轴上，
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点 ， ， ，…， 在二次函数位于第一象限的图象上，点 ， ， ，…， 在二次
函数位于第二象限的图象上，四边形 ，四边形 ，四边形 ，…，四边
形． 都是菱形， ，则 的
边长为 ，菱形 的周长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴
于点 ，过点 于点 ，过点 于点 ，根据四边形 ，四边形
， 四 边 形 ， … ， 四 边 形 ． 都 是 菱 形 ，
，得到 是等边三角形，设点 坐标为
，则： ，在 中， ，求出点 的坐标，进而求出
的边长，菱形 的周长，同法求出菱形 的周长，菱形 的周长 ，进而推出
菱形 的周长．
【详解】过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴
于点 ，过点 于点 ，过点 于点 ，
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形 ，四边形 ，四边形 ，…，四边形． 都是菱形，
，
∴ 是等边三角形；
设点 坐标为 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的边长为 ，
∴菱形 的周长 ；
设点 坐标为 ，在 中， ，
且 ，
∴ ，
【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得， 或 (舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的周长 ；
同法可得：菱形 的周长 ；
∴菱形 的周长为： ；
故答案为： ， ．
【56淘宝店铺：向阳百分百】
