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重难点 01 二次函数模型及其综合题综合训练
中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：
一、二次函数与几何变换的综合
二、二次函数与直角三角形的综合
三、二次函数与等腰三角形的综合
四、二次函数与相似三角形的综合
五、二次函数与四边形的综合
六、二次函数与最值的综合
七、二次函数与新定义的综合
八、二次函数与圆的综合
九、二次函数与角的综合
因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常
必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常
见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练
就心态！
。
考向一：二次函数与几何变换的综合
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1. 平移
2. 轴对称
1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线C ：y=−x2−2x+k与抛物线C 关于原点对称，C 和C 的顶点分
1 2 1 2
别是E．
(1)若k=3，直接写出抛物线C 的解析式： ；
2
(2)如图1，若k<0，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交C 于A点，交C 于B点，求AB的最
1 2
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小长度（用含k的式子表示）．
(3)如图2，若两条抛物线C 和C 相交于G，H，当四边形EGFH是矩形时，求k的值．
1 2
2．（2025·山东济南·一模）如图1，已知抛物线y =x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点
1
C(0,−3)，其对称轴为直线l :x=1，顶点为D，将抛物线y 绕点O旋转180°后得到新抛物线y ，抛
1 1 2
物线y 与y轴交于点E，对称轴为直线l ,y 与x轴在对称轴左侧的交点为F．
2 2 2
(1)试求抛物线y 和抛物线y 的解析式；
1 2
(2)在图1中，点P的坐标为(5,0)，动点M在直线l 上，过点M作MN∥x轴与直线l 交于点N，连接
1 2
PM,EN，求PM+MN+EN的最小值；
(3)如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段CE上运动（包括端点），△QDF的
面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y 或抛物线y 交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点
1 2
Q的坐标为 ．
3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴
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交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC，拋物线的
对称轴与BC交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得S =3S ，若
△BGH △DGH
存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标．
4．（2021·陕西西安·二模）如图，抛物线C ：y=−x2+mx+n与抛物线C ：y=ax2−4x+5(a≠0)关于y
1 2
轴对称，C 与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
1
（1）求抛物线C ，C 的函数表达式．
1 2
（2）在抛物线C 上是否存在一点N，在抛物线C 上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、
1 2
M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
考向三：二次函数与直角三角形的综合
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1.设交点式求二次函数解析式:通过设定交点式可以求解二次函数的解析式;
2.直角三角形存在性问题--直角顶点的轨迹:当两条直线相交形成一个直角时，直角顶点的轨迹是一个圆
(除端点);
3.角度等式(直角)转化为线段等式的常规套路:通过构造一线三直角内M模型，或者构造直角三角形相似，
获得线段比例式;
4.角度等式(直角)转化为线段等式的特殊套路:利用特殊角30°、45°、60°，以及特殊直角三角形的三
边关系，获得线段等式.
1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A，与
抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实
数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(−2,1)，(2,0)等均为格点．
如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a
的取值范围．
2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且
点A(−1,0)，C(4,0)，AC=BC．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的
长度最大时，求点E的坐标及S ；
△ABF
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出
所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(−1,0),B(5,0)两
点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线
BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分？若能，请求出点D的坐标；
若不能，请说明理由．
(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
4．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，
连接AC．
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(1)求抛物线的表达式．
(2)点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，连接AP，CP，求△APC面积最大时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得以点A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写
出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
考向四：二次函数与等腰三角形的综合
(1)几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况
讨论;③散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通
过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解；
(2)代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验.
1．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴
交于点C．点D是抛物线的顶点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，
且S =2S ，求点P的坐标；
△PMC △DMC
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，交y轴于
点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求
出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
3．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，
1
0），与y轴交于点C（0，3）．
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(1)求抛物线L 的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
1
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝
m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L 绕点B旋转180°得抛物线L，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物
1 2
线L 的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所
2
有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(−4,0)，
B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0,−2)，连接AE．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐
标即可；若不存在，请说明理由．
考向五：二次函数与相似三角形的综合
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①设定动点的坐标，并表示与该动点相关的其他点坐标。
②注意到分类讨论的重要性，确保问题的全面性。
③表示对应边成比例，这是相似三角形的基本性质。
④通过等量关系解方程，注意舍去不符合题意的解
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像经过原点和点A(4,0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线
AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
3
2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线y= x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
4
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3
y=− x2+bx+c经过A、B两点．
4
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
(3)点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点
P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考向六：二次函数与四边形的综合
二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型:1.四边形的面
积最值问题2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。解决这类问题的基本步
骤：
1.四边形面积最值问题的处理方法:核心步骤对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究
然后用求三角形面积最值问题的方法来求解
2对于特殊平行四边形问题要先分类，(按照边和对角线进行分类)
3.画图，(画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标)
4.计算(利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质)；①全等三角形抓住对应边对应角的相等
②在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式③平行四边形的对应边相等列相关的等式
④利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系（中点公式）
❊处理矩形萎形的方法与平行四边形方法类似
1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(3,4)，
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B(0,1)．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使
1
tan∠BCP= tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6
（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y =a x2+b x+c (a ≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交
1 1 1 1 1
于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶
点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y
轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0,3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为P，求△PBD的面积；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以
A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
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3．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图1，抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴
交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的
最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四
边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
考向七：二次函数与最值的综合
二次函数中最值问题常以几何最值模型为主，常见的是将军饮马，胡不归，阿氏圆等。想要在考试中轻松
拿下，要掌握下面四种实用方法：
①补形割形法。这种方法特别适合处理与图形有关的最值问题，通过补形和割形来找到最优解。
②铅垂高水平宽面积法。这个方法主要用于求面积的最大值，通过铅垂线和高水平宽来计算面积，轻松找
到最大值。
③切线法。对于求二次函数的最小值，切线法是个不错的选择。通过求切线与函数的交点，找到最小值的
坐标。
④三角函数法。这种方法适用于一些特殊的二次函数问题，通过三角函数的性质来求解最值
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线y=a(x−h) 2+k交x轴于O，A(4,0)两点，顶点为B(2,2√3)．
点C为OB的中点．
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(1)求抛物线y=a(x−h) 2+k的表达式；
(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0<x≤2时，求y=x2−x+c的函数值的取值范围；
3
(3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求
4
√5
PA+ PM的最小值．
5
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)，与
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y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA=4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段
DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取
得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且
与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符
合条件的点Q的坐标．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点
A(−3,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点P(x ,y )，其中y <0，若∠CAO+∠ABP=90°，求x 的值；
0 0 0 0
(3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
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(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依
题意补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
考向七：二次函数与新定义的综合
读懂题干新定义部分(比其它题目要多读两遍)，做到看到新定义的名称后立刻知道实际的函数，否则每一
步都要回头看定义。要在拿下这类题型，需要掌握下面的题型：
①非常熟悉一般式、顶点式、交点式，求函数解析式，求交点坐标；
②二次函数的性质：无论定义多么新颖，最终都需要转化为二次函数的开口方向、对称轴、顶点、交点等
常规问题；
③定义新参数或新条件，多个参数：需明确主变量与从属关系，比如把a当作变量，b和c都当作常数。
④复合型二次函数：根据区间分类，分段讨论绝对值的影响，结合图像对称性、交点个数等；
⑤二次函数根的分布:讨论开口方向、顶点与x轴位置关系，讨论判别式，讨论对称轴与根的位置关系等；
⑥动态参数问题：特殊值法，消元法或参数替换，结合函数性质分析；
⑦二次函数区间最值问题：根据对称轴分类讨论，根据二次函数性质(区间内的单调性)讨论最值；
⑧二次函数与定点定值，定轨迹：根据参数的不同，确定所过定点对称轴，顶点轨迹等，有助于画草图时
更加确定抛物线的大致位置，把握抛物线的变化规律；
⑨二次函数与几何图形交点问题：找出抛物线图形变化规律，分类讨论，数形结合分析出边界值，解不等
式。
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M
上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
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(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M (1,1)，
1
M (2,2)，M (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
2 3
k
(2)点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的
1 x
坐标是___________，直线GH的解析式是y = ___________．当y >y 时，x的取值范围是
2 1 2
___________．
1 9
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，
2 2
AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
2．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A（1−n，0），B（1+n，0） (n>0)，以AB长度为边在x轴上
方作等边三角形ABC，当函数与△ABC在第一象限内有交点，称为“特别函数”．
(1)如图1，当n=1时，一次函数y=kx+k是“特别函数”，求k的取值范围；
1
(2)如图2，函数y=−x2+2x+ 是“特别函数”，求n的取值范围；
4
1 1
(3)如图3，在(2)的条件下，函数y=−x2+2x+ 与CB交于点D，S = S ，求n的值；
4 △CDA 4 △ABC
1
(4)当m−1≤x≤m+2时，函数y=−x2+2x+ 最大值与最小值的差为|7m|，求m的值．
4
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3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【定义】
例如，如图1，过点A作AB⊥l 交l 于点B，线段AB的长度称为点A到l 的垂直距离，过A作AC平
1 1 1
行于y轴交l 于点C，AC的长就是点A到l 的竖直距离．
1 1
【探索】
当l 与x轴平行时，AB=AC，
1
当l 与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离AB与点到直线的竖直距离AC存在一定
1
1
的数量关系，当直线l 为y= x+1 时，AB= ___________AC．
1 2
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m，
现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距OA=2m，建立如图2所示的平面直角坐标
系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线y=−x2+bx，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草
坪的C处，
（1）b=___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树MN（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了
加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN，求出PN的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧
与y轴相切于点O，若此时OC=4√3m，如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，
请求出MN最高应为多少？
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4．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x轴、y轴上，点
B在第一象限，且OA=3．
定义：在正方形OABC的边上及内部且横纵坐标均为整数的点称为好点．
(1)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过的好点最多，求此一次函数的表达式；
m
(2)若反比例函数y= (x>0)的图象正好经过点(1,3)，求反比例函数图象上方和图象下方好点个数比；
x
(3)二次函数y=a x²+b x+c 的图象经过O、A两点，顶点为D(h,t)．若其图象与x轴围成的图形中，
1 1 1
恰好有4个好点(不含边界)，求t的取值范围．
考向八：二次函数与圆的综合
解决二次函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函
数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径常见的考法有：
1.直线与圆的位置关系:
平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法
有:①利用圆心到直线的距离等于半径的大小这-数量关系列出关系式解决问题；②利用勾股定理解决问
题；③利用相似列出比例式解决问题；
2.函数与圆的新定义题目:利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟；
3.函数与圆的性质综合类问题:利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素嗖ゾ概入和
“临界位置”。
1．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A(−1,0)，
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B两点，AB=4，C为抛物线顶点．
(1)求b，c的值；
(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，交AC于点M，是否存在
QM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；
1
(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+ AN的最小值．
2
2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A(−4,0)、B(1,0)，交y轴于点C(0,4)，
点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(−2,6)时，求四边形AOCP的面积；
(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说
明理由．
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3．（2024·湖南湘潭·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)请你直接写出B、C两点的坐标，并求直线BC的表达式．
(2)如图②，点P为直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，以点P为圆心的圆与直线BC
相切，当⊙P的半径最大时，求m的值．
(3)设点Q是抛物线对称轴上任意一点，点R是抛物线y=−x2+2x+3上任意一点．是否存在这样的点
R，使以B、C、R、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点R的坐标，若不存在，
请说明理由．
√5 √5
4．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 y= x2− x−2√5分别交x轴于点A，B（点A在点B的
4 2
左侧）， 交y轴于点C．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)以B为圆心， 3 为半径作圆．
①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点， 过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点）， 求线
段PM的最小值；
1
②如图2，点D为抛物线的顶点， 点Q在圆B上，连接CQ，DQ， 求DQ− CQ的最大值．
2
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考向九：二次函数与角的综合
角度问题涵盖的题型：1.角度相等问题2.角度的和差倍分关系3.特殊角问题4.非特殊角问题。面对二次
函数与角度问题的挑战，掌握这些技巧，让你轻松应对：
① 利用45°角，通过角的和差关系，找到等角利用等角的三角比相等求解，
②发现等角后，构造等腰三角形，使用距离公式2求解；
③出现倍角时，作平行线构造等角或利用等腰三角形的三线合一定理；
④根据等角，构造相似三角形，利用线段之间的比緘嵫ウ轡席縵吕近关系求解；
⑤利用角的和差关系，以及角的外角性质，发现等角。
1
1．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=− x2+bx+c与x轴
2
交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4,0)，BC=4√2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于
点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S ，S ，求S −S 的最大值；
1 2 1 2
(3)如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点
Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过坐标原点O，且顶点为
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A(2,−4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若
∠AOB+∠PBO=90°，求点P的坐标．
3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）综合与探究：如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA=OC=3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关
系式及S的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB=∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，
请说明理由．
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
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OB=OC=3OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点P为第一象限内抛物线上的一点，点Q的坐标为(1,0)，∠POC+∠OCQ=45°；
求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点T(1,−1)在新抛物线上，过点T作TM⊥TN分别
交新抛物线于M，N两点，求直线MN过定点的坐标．
（建议用时：40分钟）
1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a为常数，a≠0)．
(1)若a<0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若a=−1，求证：当−1<x<0时，y>0．
(3)若该函数的图象与x轴有两个公共点(x ,0)，(x ,0)，且−1<x <x <4，则a的取值范围是．
1 2 1 2
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2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y =ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
1
OC=OA，AB=4，对称轴为直线l :x=−1，将抛物线y 绕点O旋转180°后得到新抛物线y ，抛物
1 1 2
线y 与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l ．
2 2
(1)分别求抛物线y 和y 的表达式；
1 2
(2)如图1，点F的坐标为(−6,0)，动点M在直线l 上，过点M作MN∥x轴与直线l 交于点N，连接
1 2
FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；
(3)如图2，点H的坐标为(0,−2)，动点P在抛物线y 上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？
2
若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直
放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小
组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
0 1 2. 4 6. 9
y
25 25
（Ⅱ）描点：请将表格中的(x,y)描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
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(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−h) 2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和
竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大
小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y=a(x−h) 2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．
①此时点B′的坐标为________；
②将点B′坐标代入y=ax2中，解得a= ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为(h,k)
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入y=a(x−h) 2+k中解得a=________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数
C :y =2(x+h) 2+k和C :y =a(x+h) 2+b都经过A，B两点，且C 和C 的顶点P，Q距线段AB的距
1 1 2 2 1 2
离之和为10，求a的值．
26
