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热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1二次函数的图象与性质】
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大
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值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2025·陕西·一模）已知二次函数y=−x2+4ax+5(a>0)，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点(2a,5) D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y= 2 (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )， (5 ，y ) 三点，则
3 1 2 2 3
y ，y ，y 的大小关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表，
则下列结论正确的是（ ）．
x … −6 −4 −2 0 3
y … −21 −5 3 3 −12
A．当x<−2时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是(−2,3)
5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m−8
的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（ ）
8 8 8 8
A． 1)，b的值为 ．
3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，
且m≠0，则m的值为 ．
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线y= 1 x2−2x+c过点A ( −3, 9) ，与x轴的正半轴交于点B，与
2 2
y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．
S
△APC
当 的值最小时，点D的坐标为 ．
S
△ADC
【题型3 二次函数图象与几何变换】
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1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
1．（2025·河南·一模）将二次函数y=x2−2x+3的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长
度，得到抛物线y=ax2+bx+c，则a+b+c=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4x+21的最大值为25，则将此函数平移后可能得
到的函数表达式为：（ ）
A．y=2(x+4) 2+16 B．y=(x+6) 2+20
C．y=−(x−3) 2−5 D．y=−2(x−5) 2−21
1 3
3．（2025·河北沧州·一模）已知点P为抛物线C:y= x2− x−2上一点，在透明胶片上描画出包含点P
2 2
的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P′和抛物线C′，如图．已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为
15
，且DP=DP′，则平移得到的点P′的纵坐标为（ ）
8
1 15 23 35
A．− B． C． D．
2 8 8 8
4．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线y=−3(x−2) 2−1通过变换可以得到抛物线y=−3x2+1，以下变换过
程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
1
5．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线L:y=ax2− x−2与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧），
2
点A的坐标是(4,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L ，L 与x轴相交于A′、B′两点（点B′在点A′的左侧），
1 1
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与y轴相交于点C′，要使S =2S ，求所有满足条件的抛物线L 的函数表达式．
△A′B′C′ △ABC 1
6．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小
楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些
数据（如下表）：
滑行时间
0 1 2 3 4
（秒）
滑行距离 0 4.5 14 28.5 48
（米）
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用
平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
(1)由上述信息，设这条曲线的表达式为s=at2+bt+c(a≠0)，求s与t的函数关系式；
(2)若将拋物线s=at2+bt+c(a≠0)先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物
线的表达式．
7．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以
近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且AB=CD=2m，AB、
CD之间的水平距离BD=8m．绳子最低点与地面的距离为1m．
(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如
图（2）MN的高度为1.55m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F 对应的函数关系式为
1
y =a(x−2) 2+k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN.
1
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(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F 对应的函数关系式为y =0.09(x−5) 2+1.19，将图
2 2
（2）中F ，F 两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象
1 2
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
考向二：二次函数图像与系数关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直
线x=−1，下列结论中正确的是（ ）
A．b2≥4ac
B．2a+b=0
C．c−a<0
D．若点B(−4,y )，C(1,y )为函数图象上的两点，则y 3b；③8a+7b+2c>0；④当y<0时，−1m+1
2．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则当y<3时，x的取值范围
是（ ）
A．−12
C．02 D．−10时，x的取值
范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−13
5．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，则当y<0时，x的取值范
围为（ ）
x −3 −2 3 4
y −12 m 0 m
A．−13 D．x<−2或x>4
3
6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+ 的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，
2
与y轴交于点C，若直线BC的解析式为y=mx+n，则mx≥ax2+bx的解集为（ ）
A．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．0”“<
1 2 1 2
”或“=”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空
中调整好入水姿势时，水平距离恰好是4.6米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动
（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球
平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，小
球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标(x,y)，
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根据平抛运动可知x，y与时间t的关系如下：¿．已知桌面的高度为100厘米，观测到三个时刻小球的
位置坐标如下表：
t（秒） 1 2 3
x（厘米） 10 20 30
y（厘米） −5 −20 −45
(1)求v和g的值；
(2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式；
(3)小球水平抛出的正前方有一高为20厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱
中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围．
7．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A
处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单
位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 19 36 51 64 75 …
y/cm
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出v与x的函数图象、y与x的函数图象；
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任务一：描点画图
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象；
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函
数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出v
与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向
右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围．
（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到
的新抛物线的函数解析式为（ ）
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A．y=2(x+3) 2+2 B．y=2(x+3) 2−2
C．y=2(x−3) 2+2 D．y=2(x−3) 2−2
2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线y=x2+(m+2)x+m，当x=2时，y>0，且当x<−2时，y随x的
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− − D．− B．a≥ C．00，③3a+c>0，④
4a+2b+c>0，⑤当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，
C(3,−1)．抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图
象G．若直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
2 2
A．k>2或k<− B．− 1或k<−3 D．k>1或k<−3或k=−2
11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动
1
过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+bx+c，当实心球运
8
动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为 米．
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12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点P(x ,y )，Q(x ,y )为二次函数y=x2−mx+m+2图象上两点，
1 1 2 2
当x<1时，二次函数y随x增大而减小，若−2≤x ≤m+1，−2≤x ≤m+1时，|y −y |≤16恒成立，
1 2 1 2
则m的取值范围是 ．
13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建
立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA=9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，
碗中汤面的水平宽度为 cm
14．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数y=3x2−6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为 ．
15．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y =mx+n(m≠0)的图
1 2
象，当y >y 时，x的取值范围是 ．
1 2
16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是
2
由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
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(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该
村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.
（利润=销售额−成本）
22
