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热点 05 二次函数的图象及简单应用
中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：
一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）
二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）
三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）
二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简
答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的
增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是
中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，
才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质
【题型1二次函数的图象与性质】
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大
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值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2025·陕西·一模）已知二次函数y=−x2+4ax+5(a>0)，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点(2a,5) D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y= 2 (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )， (5 ，y ) 三点，则
3 1 2 2 3
y ，y ，y 的大小关系正确的是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表，
则下列结论正确的是（ ）．
x … −6 −4 −2 0 3
y … −21 −5 3 3 −12
A．当x<−2时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是(−2,3)
5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m−8
的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（ ）
8 8 8 8
A． <m<3 B． <m≤3 C． ≤m<3 D． ≤m≤3
3 3 3 3
7．（2025·湖北黄石·一模）抛物线y=(x+2) 2+4的顶点坐标是（ ）
A．(2,4) B．(−2,4) C．(2,−4) D．(−2,−4)
【题型2二次函数图象上点的坐标特征】
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牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y=x2−3
上，那么正方形ABCD的面积是 ．
2．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，
点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，
且m≠0，则m的值为 ．
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线y= 1 x2−2x+c过点A ( −3, 9) ，与x轴的正半轴交于点B，与
2 2
y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．
S
△APC
当 的值最小时，点D的坐标为 ．
S
△ADC
【题型3 二次函数图象与几何变换】
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1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：
①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法
1．（2025·河南·一模）将二次函数y=x2−2x+3的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长
度，得到抛物线y=ax2+bx+c，则a+b+c=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4x+21的最大值为25，则将此函数平移后可能得
到的函数表达式为：（ ）
A．y=2(x+4) 2+16 B．y=(x+6) 2+20
C．y=−(x−3) 2−5 D．y=−2(x−5) 2−21
1 3
3．（2025·河北沧州·一模）已知点P为抛物线C:y= x2− x−2上一点，在透明胶片上描画出包含点P
2 2
的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P′和抛物线C′，如图．已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为
15
，且DP=DP′，则平移得到的点P′的纵坐标为（ ）
8
1 15 23 35
A．− B． C． D．
2 8 8 8
4．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线y=−3(x−2) 2−1通过变换可以得到抛物线y=−3x2+1，以下变换过
程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
1
5．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线L:y=ax2− x−2与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧），
2
点A的坐标是(4,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L ，L 与x轴相交于A′、B′两点（点B′在点A′的左侧），
1 1
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与y轴相交于点C′，要使S =2S ，求所有满足条件的抛物线L 的函数表达式．
△A′B′C′ △ABC 1
6．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小
楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些
数据（如下表）：
滑行时间
0 1 2 3 4
（秒）
滑行距离 0 4.5 14 28.5 48
（米）
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用
平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
(1)由上述信息，设这条曲线的表达式为s=at2+bt+c(a≠0)，求s与t的函数关系式；
(2)若将拋物线s=at2+bt+c(a≠0)先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物
线的表达式．
7．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以
近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且AB=CD=2m，AB、
CD之间的水平距离BD=8m．绳子最低点与地面的距离为1m．
(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如
图（2）MN的高度为1.55m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F 对应的函数关系式为
1
y =a(x−2) 2+k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN.
1
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(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F 对应的函数关系式为y =0.09(x−5) 2+1.19，将图
2 2
（2）中F ，F 两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象
1 2
在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
考向二：二次函数图像与系数关系
【题型4 二次函数图象与系数的关系】
二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右 c的特征与作用
异”）
2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点
判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直
线x=−1，下列结论中正确的是（ ）
A．b2≥4ac
B．2a+b=0
C．c−a<0
D．若点B(−4,y )，C(1,y )为函数图象上的两点，则y <y
1 2 1 2
2．（2025·湖北恩施·一模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称
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轴为x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当y<0时，−1<x<5；
⑤若(x ,y )，(x ,y )是抛物线上两点，且x <2<x ，y <y ，则x +x <4． 其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的
对称轴为x=1，与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间．下列结论：
1
①b2−4ac<0；②abc<0；③a<− c；
3
④若x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，则x +x =2；
1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·河南周口·三模）直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对
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称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一
3
定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c− =0一定有两个不相等的实数根；④b−a<2．其
2
中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考向三：二次函数与一元二次方程
【题型6 抛物线与x轴交点问题】
1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的
解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个
数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法
大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =1 B．x =−3，x =1
1 2 1 2
C．x =−3，x =3 D．x =−3，x =−1
1 2 1 2
2．（2024·陕西西安·一模）抛物线y= 1 x2−bx+b2−c（x为自变量）经过点A (1 −3b,m ) ，
2 2
B(4b+c,m)，且该抛物线与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
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1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)和(1,4)，且抛物线与x轴的其
中一个交点的横坐标m满足3<m<4，那么a的取值可能是（ ）
3
A．−3 B．1 C．2 D．−
4
5．（2025·河南开封·一模）若抛物线y=x2−4x−5与x轴其中一个交点的坐标是(a,0)，则−2a2+8a+15
的值为 ．
6．（2025·宁夏·模拟预测）抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于两点，分别是(x ,0)，(x ,0)，则x +x =
1 2 1 2
．
【题型7 二次函数与不等式】
1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不
等式，根据图象直接写出不等式的解集。
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线y=x2+x+m（m是常数），当x=t时，函数值y小于m，当
x=t−1时，则函数值y的范围是（ ）
A．y<0 B．0<y<m
C．m<y<m+2 D．y>m+1
2．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则当y<3时，x的取值范围
是（ ）
A．−1<x<0 B．x<0或x>2
C．0<x<2 D．2<x<3
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3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数y =ax2+bx+c与y =kx+m的图象相交于点A(2,0)及
1 2
B(−1,3)，当（ ）时，式子ax2+bx−kx<m−c．
A．x<−1 B．x<2 C．x<−1或x>2 D．−1<x<2
4．（2022·江苏徐州·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值
范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−1<x<3 D．x<−1或x>3
5．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，则当y<0时，x的取值范
围为（ ）
x −3 −2 3 4
y −12 m 0 m
A．−1<x<3 B．−2<x<4 C．x<−1或x>3 D．x<−2或x>4
3
6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+ 的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，
2
与y轴交于点C，若直线BC的解析式为y=mx+n，则mx≥ax2+bx的解集为（ ）
A．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．0<x<3 D．x≤0或x≥3
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7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限
的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax2+c<kx+c的解集为 ．
考向四：二次函数的应用
【题型8 利用二次函数的性质求最值】
1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步
骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函
数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
2.利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
1．（2025·贵州遵义·一模）2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市
场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本
为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（
20≤x≤60，且x为整数）
售价x元/张 30 35 40 45
电影票数量y张 1640 1440 1240 1040
(1)请求出y与x之间的函数表达式；
(2)该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成
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本价为每千克6元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为7元时，
每天售出荔枝950kg；当每千克售价为8元时，每天售出荔枝900kg，通过分析销售数据发现：每天
销售荔枝的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价
为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，
每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天
销售大米的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
4．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该
设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式
是z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
【题型9 将实际问题转化为二次函数模型】
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题型一：利用二次函数解决抛物线形问题
解决此类问题一般步骤：
①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；
②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。
题型二：二次函数在实际生活中的应用
利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范
围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
背景 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
1
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
2 ①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
任务 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
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2．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线
与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4
米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成
为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱
门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树
木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地
域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么
范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(2,m)和(5,m)，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数y =a x2+b x+c 经过点(0,6)，且y =a x2+b x+c 与
1 1 1 1 1 1 1 1
y =a x2+b x+c 的图象均经过(2,0)和(5,0)，则a 的取值范围是________；
2 2 2 2 2
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以O，M为端点的拱门表示原拱门，
EF表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求
此时拱顶到地面的距离h的取值范围．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
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深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的
一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆
（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
查询信
息
如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥
拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC=BD．一根琴弦
处理信
固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8
息
根．记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3
根，…OH为第9根，…
测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦” EF高
测量数
9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m
据
米．
解决问 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
题
任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值．
任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音
谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺
术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
4．（2025·河北·一模）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高
度AB=0.3米．在足球运行时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为
x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：
x/米 0 1 2 3 4 5 6
y/米 0.3 1.7 2.7 3.3 3.5 3.3 2.7
(1)根据数据，球射出后__________米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线对应的函数解析式；
(2)如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点B′，踢球点为A′，A′B′=AB，且踢球后球的运动路线
所在抛物线形状与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地
面的最大距离为2.3米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由．
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5．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之
队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员
从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，
从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间有怎样的函数
关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下：
水平距离
3 3.5 4 4.5
x(m)
竖直高度 10 11.25 10 n
y(m)
（1）根据表中数据，n=_____，y关于x的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高
度y与水平距离x近似满足函数关系y=−4.5x2+30.6x−40.5．
①用d ，d 分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则d _____ d ；（填“>”“<
1 2 1 2
”或“=”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空
中调整好入水姿势时，水平距离恰好是4.6米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动
（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球
平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，小
球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标(x,y)，
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根据平抛运动可知x，y与时间t的关系如下：¿．已知桌面的高度为100厘米，观测到三个时刻小球的
位置坐标如下表：
t（秒） 1 2 3
x（厘米） 10 20 30
y（厘米） −5 −20 −45
(1)求v和g的值；
(2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式；
(3)小球水平抛出的正前方有一高为20厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱
中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围．
7．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A
处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单
位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 19 36 51 64 75 …
y/cm
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出v与x的函数图象、y与x的函数图象；
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任务一：描点画图
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象；
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函
数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出v
与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向
右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围．
（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到
的新抛物线的函数解析式为（ ）
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A．y=2(x+3) 2+2 B．y=2(x+3) 2−2
C．y=2(x−3) 2+2 D．y=2(x−3) 2−2
2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线y=x2+(m+2)x+m，当x=2时，y>0，且当x<−2时，y随x的
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− <m≤2 B．m≥2 C．m>− D．− <m<0
3 3 3
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数y=ax2+(2a−3)x+a−1(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
则实数a的取值范围为（ ）
3 3 9
A．a> B．a≥ C．0<a<2 D．1≤a<
2 2 8
4．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数y=2x2+1，下列说法错误的是（ ）
A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为(0,1)
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
5．（2025·河南濮阳·一模）若A(−2,y )，B(0,y )，C(3,y )为二次函数y=−x2+4x+m的图象上的三
1 2 3
点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2
6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列结论正确的是（）
x ⋯ −4 −2 0 2 4 6 ⋯
y ⋯ −11 9 21 25 21 9 ⋯
A．当x<0时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第一，二，三象限 D．图象的对称轴为x=−2
7．（2025·广东潮州·模拟预测）将二次函数y=(x+3) 2的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y=(x−5) 2 B．y=(x+3) 2+8
C．y=(x+11) 2 D．y=(x+3) 2−8
8．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火
箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进
一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火
箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的
水平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
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x(m)
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
y(m)
你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（ ）
A．5米 B．9米 C．4米 D．8米
9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且
a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2<4ac，②abc>0，③3a+c>0，④
4a+2b+c>0，⑤当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,−1)，
C(3,−1)．抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图
象G．若直线y=kx−2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
2 2
A．k>2或k<− B．− <k<0或0<k<2
3 3
C．k>1或k<−3 D．k>1或k<−3或k=−2
11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动
1
过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+bx+c，当实心球运
8
动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为 米．
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12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点P(x ,y )，Q(x ,y )为二次函数y=x2−mx+m+2图象上两点，
1 1 2 2
当x<1时，二次函数y随x增大而减小，若−2≤x ≤m+1，−2≤x ≤m+1时，|y −y |≤16恒成立，
1 2 1 2
则m的取值范围是 ．
13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建
立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA=9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，
碗中汤面的水平宽度为 cm
14．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数y=3x2−6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为 ．
15．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y =mx+n(m≠0)的图
1 2
象，当y >y 时，x的取值范围是 ．
1 2
16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是
2
由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
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(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该
村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.
（利润=销售额−成本）
22
