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专题 03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式
（原卷版）
通用的解题思路：
求一次函数解析式：①老方法：已知两个点的坐标，一令 ，二代：将两个点的坐标代入，计算
出 ，三作答；②压轴题中的新方法，用求k公式 来先求出k，再代入一个点来求出b，当
求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。
求二次函数解析式：①一般式： ，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式；
②顶点式： ，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式；
③一般式： ，告诉二次函数与x轴的两交点时，优先选用交点式。
1．（长沙中考）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛
物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L
的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y= 的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路
线”L的解析式；
（3）当常数k满足 ≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三
角形面积的取值范围．
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2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的
“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C ；
1
①求C 关于点R（1，0）的对称函数图象C 的函数解析式；
1 2
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣
）x﹣（2m﹣ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
3.（青竹湖）定义：将点P关于原点对称的点绕原点顺时针旋转 后得到的点 称为P的反转点，连接
形成的直线称为反转线，当直线 与函数L的图象有交点时的反转线称为完美直线，它们的交点Q叫完
美点.
（1）已知函数L的觝析式为 ，点P的坐标为 ，试求出点P变换后得到的反转线；
（2）已知函数L的解析式为 ，点P为x轴上异于原点的一点，经过变换后可以得到完美直线，且
完美点Q与原点间的距离为 ，求这条完美直线的解析式；
（3）已知P为直线 上一动点，函数L的解析式为 ，点P经过变换后得到的反转线
是完美直线，且有两个完美点 ， ，当 时，求点P横坐标的取值范围.
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4.（博才）规定：我们把直线 叫做抛物线 的“温暖直线”.若该直线与该抛物线
的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线 l与抛物线L具备“温暖而幸福关
系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”.
（1）已知直线 是抛物线 的“温暖直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备
“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；
（2）已知直线 与抛物线 不具备“温暖而幸福关系”，当 时，抛物线
的最小值是 ，求直线l的解析式；
（3）已知直线 是抛物线L的“温暖直线”.将抛物线L进行左右平移得到新抛物线 ，抛物线
满足：对于抛物线上的任意两点 ， ，若 ，则 始终成立.抛
物线 与直线l相交于 ，B两点，若以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求a的值.
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5.（2022•庐阳区三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次
函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，
就会得到的一个新的点A （x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函
1
数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 y＝ax2+bx+c
（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请
按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B （﹣1，1），若该抛物线的“简
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朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
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6．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函
数 （c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝
ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，则a＝ ，b＝
，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数 的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为
1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数 的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说
明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基
点”的横坐标为x 、x ，求|x ﹣x |的取值范围．
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8．定义：将函数C 的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C 的图象，我们称函数C 是函数
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C 关于点P的相关函数．
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例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的
值．
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9.（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点
P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函
数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣ a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W
进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不
存在，请说明理由．
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10．（立信）关于x的方程 （ ）两根分别为x 和x ，若一个根是另一个根的两倍，则
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称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线l与抛物线C相交于A、B两点，其中一点的横坐标等于另一点
横坐标的2倍，则称这样的直线l与抛物线C互为“立信二倍函数”.
（1）若 是“立信二倍根方程”，求 的值；
（2）直线 ： 与抛物线 互为“立信二倍函数”求抛物线的解析式；
（3）直线 ： 与抛物线 ： （ ）互为“立信二倍函数”，若直线 与抛物线
相交于 ， 、 ， 两点，且 ，求 的取值范围．
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