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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
堂达标训练”第1题
【类型二】 用顶点式确 定二次函数解析
1．通过对用待定系数法求二次函数解 式
析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法； 已知二次函数的图象顶点坐标是
(重点) (－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的
2．会根据不同的条件，利用待定系数法 解析式．
求二次函数的解析式，在实际应用中体会二 解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋
次函数作为一种数学模型的作用．(难点) k，
∵图象顶点是(－2，3)，
∴h＝－2，k＝3，
一、情境导入 依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2.
∴二次函数的解析式为y＝2(x＋2)2＋3
＝2x2＋8x＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称
轴、极值，则设y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为
(h，k)，对称轴为x＝h，最值为当x＝h时，y
最
＝k.
值
某广场中心标志性建筑处有高低不同 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管 堂达标训练”第7题
喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷 【类型三】 用交点式确定二次函数解析
水水平距离为米．你能写出如图所示的平面 式
直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？ 已知抛物线与x轴相交于点A(－
二、合作探究 1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解
探究点一：不共线三点确定二次函数的 析式．
表达式 解析：由于已知图象与x轴的两个交点，
【类型一】 用一般式确定二次函数解析 所以可设y＝a(x－x)(x－x)求解．
1 2
式 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x
已知二次函数的图象经过点(－ 轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝
1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的 a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，
解析式． 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以
解析：由于题目给出的是抛物线上任意 所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 即y＝－x2＋1.
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2 方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，
＋bx＋c(a≠0)． 因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为
依题意得解得 y轴．
∴这个二次函数的解析式为 y＝2x2＋ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
3x－4. 堂达标训练”第6题
方法总结：当题目给出函数图象上的任 探究点二：二次函数解析式的综合运用
意三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点
成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值． A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 －3，请解答下列问题：
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(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于
C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8， 教学过程中，强调用待定系数法求二次函数
求△BCD的面积． 解析式时，要根据题目所给条件，合理设出
解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋ 其形式，然后求解，这样可以简化计算.
bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x
＝－3，求出b＝6，即可得出答案；
(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关
于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且
CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根
据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD
边上的高，即可求出△BCD的面积．
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx
＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对
称轴是x＝－3，∴－＝－3，∴b＝6，∴c＝
5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝
－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为
(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为
(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝
7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.
方法总结：此题考查了待定系数法求二
次函数的解析式，以及利用解析式分析二次
函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想
与方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第7题
三、板书设计
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